北师数学·必修第1册 综合测试2 试卷

这是一份北师数学·必修第1册 综合测试2 试卷，共7页。

第二章综合测试
考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数y＝的值域是(　B　)
A．[0，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
[解析]　由题意知，函数y＝的定义域为R，则x2＋1≥1，∴y≥1．
2．下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的为(　A　)
A．y＝x＋1 B．y＝－x3
C．y＝ D．y＝x|x|
[解析]　A中函数为非奇非偶函数，B中函数为奇函数，C中函数为偶函数，D中函数为奇函数，故选A．
3．已知函数y＝f(x)的部分x与y的对应关系如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
3
2
1
0
0
－1
－2
－3
则f[f(4)]＝(　D　)
A．－1 B．－2
C．－3 D．3
[解析]　由图表可知，f(4)＝－3，∴f[f(4)]＝f(－3)＝3．
4．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，则函数g(x)＝(x－2)f(x)在区间上的最小值是(　C　)
A．－1 B．－2
C．－3 D．－4
[解析]　由已知得2α＝，解得α＝－1，∴g(x)＝＝1－在区间上单调递增，则g(x)min＝g＝－3，故选C．
5．已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值是(　B　)
A．－2 B．6
C．1 D．0
[解析]　解法一：令x－1＝2，则x＝3，
∴f(2)＝32－3＝6．
解法二：令x－1＝t，则x＝t＋1，
∴f(t)＝(t＋1)2－3＝t2＋2t－2，
∴f(2)＝22＋2×2－2＝6．
6．已知函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋m2－7m＋12为偶函数，则m的值是(　B　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　由题意得m－2＝0，∴m＝2．
7．如图，点P在边长为1的正方形边上运动，设M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y＝f(x)的图像大致是(　A　)


[解析]　根据题可得，当0＜x≤1时，S△APM＝×1×x＝x；
当1＜x≤2时，S△APM＝S梯形ABCM－S△ABP－S△PCM＝××1－×1×(x－1)－××(2－x)＝－x＋；
当2＜x≤时，S△APM＝S梯形ABCM－S梯形ABCP＝××1－×(1＋x－2)×1＝－x＋，
∴y＝f(x)＝
根据函数解析式，结合图形，可知选项A符合，故选A．
8．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)且在区间[0,2]上是增函数，则(　D　)
A．f(－1)＜f(3)＜f(4) B．f(4)＜f(3)＜f(－1)
C．f(3)＜f(4)＜f(－1) D．f(－1)＜f(4)＜f(3)
[解析]　因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，
又f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，则f(4)＝－f(0)＝0，
又f(x)＝－f(－x)且f(x－4)＝－f(x)，
所以f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，
又f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(1)＞f(0)，
即f(1)＞0，所以f(－1)＝－f(1)＜0，f(3)＝f(1)＞0，可得f(－1)＜f(4)＜f(3)，故选D．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9．下列幂函数中，其图象过点(0,0)，(1,1)，且为偶函数的是(　BD　)
A．y＝x B．y＝x2
C．y＝x－ D．y＝x4
[解析]　由题设知该幂函数为偶函数，且幂指数大于0，故选BD．
10．若奇函数f(x)在[3,7]上是增函数，且最小值是1，则它在[－7，－3]上(　AB　)
A．是增函数 B．最大值是－1
C．是减函数 D．最小值是－1
[解析]　∵奇函数在对称区间上的单调性相同，最值互为相反数．∴y＝f(x)在[－7，－3]上有最大值－1且为增函数．故选AB．
11．已知f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝，则F(x)(　BC　)
A．最小值－1 B．最大值为7－2
C．无最小值 D．无最大值
[解析]　作出F(x)的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，故选BC．

12．已知f(x)是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以断定f(x)是增函数的是(　CD　)
A．对任意x≥0，都有f(x＋1)＞f(x)
B．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≥x2，都有f(x1)≥f(x2)
C．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2＜0，都有f(x1)－f(x2)＜0
D．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有＞0
[解析]　根据题意，依次分析选项：对于选项A，对任意x≥0，都有f(x＋1)＞f(x)，不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于选项B，当f(x)为常数函数时，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，都有f(x1)＝f(x2)，不是增函数，不符合题意；对于选项C，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2＜0，都有f(x1)－f(x2)＜0，符合题意；对于选项D，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，设x1＞x2，若＞0，必有f(x1)－f(x2)＞0，则函数在[0，＋∞)上为增函数，符合题意．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．函数f(x)＝＋的定义域是__{x|x≤2且x≠－1}__．
[解析]　由题意得，
解得x≤2且x≠－1，
∴函数f(x)的定义域为{x|x≤2且x≠－1}．
14．已知f(x)＝则f＋f等于__4__．
[解析]　∵f(x)＝
∴f＝f＝f＝f＝f＝×2＝，f＝2×＝，
∴f＋f＝＋＝4．
15．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(9,3)，则f＝____，函数f的定义域为__(0,1]__．
[解析]　幂函数f(x)的图象经过点(9,3)，所以3＝9α，所以α＝，所以幂函数f(x)＝，故f＝，故－1≥0，解得0＜x≤1．
16．设α∈{1,2,3，－1}，则使y＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的α的值为__1或3__．
[解析]　当α＝1时，y＝x为奇函数，且在R上单调递增，满足题意；当α＝2时，y＝x2为偶函数不满足题意；当α＝3时，y＝x3为奇函数，且在R上单调递增，满足题意；当α＝－1时，y＝为奇函数，但在(0，＋∞)上单调递减，不满足题意．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝ax＋b，且f(1)＝2，f(2)＝－1．
(1)求f(m＋1)的值；
(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明．
[解析]　(1)由f(1)＝2，f(2)＝－1，得a＋b＝2,2a＋b＝－1，即a＝－3，b＝5，
故f(x)＝－3x＋5，
f(m＋1)＝－3(m＋1)＋5＝－3m＋2．
(2)f(x)在R上是减函数．证明：任取x1＜x2(x1，x2∈R)，
则f(x2)－f(x1)＝(－3x2＋5)－(－3x1＋5)＝3x1－3x2＝3(x1－x2)，因为x1＜x2，所以f(x2)－f(x1)＜0，
即函数f(x)在R上单调递减．
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(a≠1)．
(1)若a＞0，求f(x)的定义域；
(2)若f(x)在区间(0,1]上单调递减，求实数a的取值范围．
[解析]　(1)当a＞0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤，即函数f(x)的定义域是．
(2)当a－1＞0，即a＞1时，要使f(x)在(0,1]上单调递减，则需3－a×1≥0，此时1＜a≤3．
当a－1＜0，即a＜1时，要使f(x)在(0,1]上单调递减，则需－a＞0，且3－a×1≥0，此时a＜0．
综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]．
19．(本小题满分12分)某商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为P＝(t∈N*)．设商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(0＜t≤30，t∈N*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大时是第几天．
[解析]　设日销售金额为y元，则y＝PQ，所以
y＝
当0＜t＜25且t∈N*时，y＝－(t－10)2＋900，
所以当t＝10时，ymax＝900．①
当25≤t≤30且t∈N*时，y＝(t－70)2－900，
所以当t＝25时，ymax＝1 125．②
结合①②得ymax＝1 125．因此这种商品日销售金额的最大值为1 125元，且在第25天日销售金额最大．
20．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围．
[解析]　(1)由f(0)＝f(2)知二次函数f(x)关于直线x＝1对称，又函数f(x)的最小值为1，
故可设f(x)＝a(x－1)2＋1，
由f(0)＝3，得a＝2．
故f(x)＝2x2－4x＋3．
(2)要使函数不单调，则2a＜1＜a＋1，
则0＜a＜．
故实数a的取值范围．
21．(本小题满分12分)如果函数y＝f(x)(x∈D)满足：
①f(x)在D上是单调函数；
②存在闭区间[a，b]⊆D，使f(x)在区间[a，b]上的值域也是[a，b]．
那么就称函数y＝f(x)为闭函数．
试判断函数y＝x2＋2x在[－1，＋∞)内是否为闭函数．如果是闭函数，那么求出符合条件的区间[a，b]；如果不是闭函数，请说明理由．
[解析]　设x1，x2是[－1，＋∞)内的任意两个不相等的实数，且－1≤x1＜x2，则有
f(x2)－f(x1)＝(x＋2x2)－(x＋2x1)
＝(x－x)＋2(x2－x1)＝(x2－x1)(x1＋x2＋2)．
∵－1≤x1＜x2，∴x2－x1＞0，x1＋x2＋2＞0．
∴(x2－x1)(x1＋x2＋2)＞0．
∴f(x2)＞f(x1)．
∴函数y＝x2＋2x在[－1，＋∞)内是增函数．
假设存在符合条件的区间[a，b]，则有
即
解得或或或
又∵－1≤a＜b，∴．
∴函数y＝x2＋2x在[－1，＋∞)内是闭函数，符合条件的区间是[－1,0]．
22．(本小题满分12分)已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在(0，)上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
(1)已知f(x)＝，x∈[0,1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；
(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值．
[解析]　(1)y＝f(x)＝＝2x＋1＋－8，设u＝2x＋1，x∈[0,1]，∴1≤u≤3，则y＝u＋－8，u∈[1,3]．由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，f(x)单调递减，所以单调减区间为；当2≤u≤3，即≤x≤1时，f(x)单调递增，所以单调增区间为[，1]；由f(0)＝－3，f()＝－4，f(1)＝－，得f(x)的值域为[－4，－3]．
(2)g(x)＝－x－2a为减函数，故g(x)∈[－1－2a，－2a]，x∈[0,1]．由题意知，f(x)的值域是g(x)的值域的子集，∴∴a＝．