高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.1 古典概型学案设计

7.2.1古典概型

【教学目标】

重点、难点

重点：理解古典概型的定义

难点： 会应用古典概型的概率公式解决实际问题

学科素养

通过听课和独自思考过后更能体会到概率论与实际生活的密切联系；在对比学习的过程中，培养学生独立思考和对比学习的能力，使学生掌握学习的方法。

【知识清单】

知识点1　基本事件

1.定义：在一次试验中，所有可能出现的基本结果中不能再分的最简单的   事件称为该次试验的     .

2.特点：一是任何两个基本事件是   的；二是任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的   

知识点2　古典概型

1.定义：古典概型满足的条件：

(1)试验中所有可能出现的基本事件只有    个；

(2)每个基本事件出现的可能性    .

2.计算公式：对于古典概型，任何事件A的概率为P(A)＝          

【经典例题】

例1：单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案，假设考生不会做，他随机地选择一个答案，问他答对的概率是多少？

例2：同时掷两个骰子，计算：

（1）一共有多少种不同的结果？

（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？

（3）向上的点数之和是5的概率是多少？

例3 ： 假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9十个数字中的任意一个.假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？

例4：某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率.

【课堂达标】

1．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，2件都是合格品的概率为（    ）

A． B． C． D．

2．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事，其中，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马，若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为（    ）

A． B． C． D．

3．同时掷两个骰子，向上的点数之和是的概率是（　　）

A． B． C． D．

4．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一.洛书上记载，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有图1：“以五居中，五方白圈皆为阳数，四隅黑点为阴数”，这就是有记载的最早的三阶幻方.按照这样的说法，将1到9这九个数字，填在如图2的九宫格中，九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置填奇数，则每一横行，每一竖列以及两条对角线上三个数字之和都等于15的结果数为（    ）

A．16 B．32 C．8 D．128

5．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是，其中，.若从该数列的前120项中随机地抽取一个数，则这个数是奇数的概率为（    ）

A． B． C． D．

7．将一枚质地均匀的硬币连掷三次，设事件：恰有1次正面向上；事件：恰有2次正面向上，则（    ）

A． B． C． D．

8．下列有关古典概型的四种说法：

①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；

②每个事件出现的可能性相等；

③每个样本点出现的可能性相等；

④已知样本点总数为，若随机事件包含个样本点，则事件发生的概率.

其中所正确说法的序号是（     ）

A．①②④ B．①③ C．③④ D．①③④

9．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2017次，那么第2016次出现正面朝上的概率是（    ）

A． B． C． D．

10．某保险公司给年龄在岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从名参保人员中随机抽取名作为样本进行分析，按年龄段、、、、分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，参保年龄与每人每年应交纳的保费如下表所示.

（1）求频率分布直方图中实数的值，并求出该样本年龄的中位数；

（2）现分别在年龄段、、、、中各选出人共人进行回访.若从这人中随机选出人，求这人所交保费之和大于元的概率.

【能力提升】

11．柜子里有3双不同的鞋子，随机地取出2只，则取出的2只鞋子刚好成对的概率为______.

12．在抗击新冠肺炎期间，甲、乙、丙、丁四名党员志愿者参加社区防控值班.若从四位志愿者中随机选三人参加夜间防控，则甲被选中的概率为___________________.

13．山西省高考将实行3+3模式，即语文数学英语必选，物理，化学，生物，历史，政治，地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假设他们对六科没有偏好，则他们选科至少两科相同的概率为________.

14．若连续掷两次骰子，第一次掷得的点数为m，第二次掷得的点数为n，则点P(m，n)落在圆x2＋y2＝16内的概率是________．(骰子为正方体，且六个面分别标有数字1，2，…，6)

15．某教研部门对本地区三所学校高三年级进行教学质量抽样调查，三所学校高三年级班级数量（单位：个）如下表所示，研究人员用分层抽样的方法从这三所学校中共抽取7个班级进行调查.

（Ⅰ）求这7个班级中来自三所学校的数量；

（Ⅱ）若在这7个班级中随机抽取2个班级做进一步调查.

（i）列出所有可能的结果；

（ii）求这2个班级至少有一个来自学校的概率.

【参考答案】

【知识清单】

知识点1　基本事件

1，随机    基本事件     2，互斥     和

知识点2　古典概型

1，（1）有限个     （2）相等

2,

【经典例题】

例1：解：这是一个古典概型，因为试验的可能结果只有4个：选择A、选择B、选择C、选择D，即基本事件共有4个，考生随机地选择一个答案是指选择A，B，C，D的可能性是相等的。

由古典概型的概率计算公式得P(“答对”)=1/4=0.25

例2：解：（1）掷一个骰子的结果有6种。把两个骰子标上记号1,2以便区分，由于1号投骰子的每一个结果都可与2号骰子的任意一个结果配对，组成同时掷两个骰子的一个结果，因此同时掷两个骰子的结果共有36种。

  （2）在上面的所有结果中，向上点数和为5的结果有如下4种

（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）

（3）由古典概型概率计算公式得

     P（“向上点数之和为5”）=4/36=1/9

例3 ：解：一个密码相当于一个基本事件，总共有10000个基本事件，它们分别是0000,0001,0002，…

9998,9999。随机地试密码，相当于试到任何一个密码的可能性都时相等的，所以这是一个古典概型。事件“试一次密码就能取到钱”有一个基本事件构成，即由正确的密码构成。所以

P（“试一次密码就能取到钱”）=1/10000

例4：解：合格的4听分别记作：1,2,3,4，不合格的2听分别记作：a.,b，只要检测的2听有1听不合格的，就表示查处了不合格产品。

依次不放回的取2听饮料共有如下30个基本事件：

（1,2），（1,3），（1,4），（1,a），（1,b），（2,1），（2,3）,（2,4），（2,a），（2,b），（3,1），（3,2），（3,4），（3,a），（3,b）,（4,1），（4,2），（4,3），（4,a），（4,b），（a,1），（a,2），（a,3），（a,4），（a,b），（b,1），（b,2），（b,3），（b,4），（b,a）

P（“含有不合格产品”）=18/30=0.6

【课堂达标】

1【答案】A

【解析】

【分析】

本题先列出所有的基本事件共10种，再列出目标任务的基本事件共3种，最后求概率即可.

【详解】

解：设5件产品中2件次品为、，剩下的3件合格品为、、，任取2件产品的基本事件为：、、、、、、、、、，共10种，其中2件都是合格品的基本事件为：、、，共3种.

所以2件都是合格品的概率为：.

故选：A.

【点睛】

本题考查利用古典概型求概率，是基础题.

2【答案】C

【解析】

【分析】

本题先将所有的基本事件都列出来共9种，再将田忌的马获胜的事件选出共3种，最后计算概率即可.

【详解】

解：设田忌的上等马为，中等马为：，下等马为，齐王的上等马为，中等马为：，下等马为，双方各自随机选1匹马进行1场比赛产生的基本事件为：，，，，，，，，，共9种；其中田忌的马获胜的事件为：，，，共3种，所以田忌的马获胜的概率为：.

故选：C.

【点睛】

本题考查古典概型，是基础题.

3【答案】C

【解析】

【分析】

分别计算出所有可能的结果和点数之和为的所有结果，根据古典概型概率公式求得结果.

【详解】

同时掷两个骰子，共有种结果

其中点数之和是的共有：，共种结果

点数之和是的概率为：

本题正确选项：

【点睛】

本题考查古典概型问题中的概率的计算，关键是能够准确计算出总体基本事件个数和符合题意的基本事件个数，属于基础题.

4【答案】C

【解析】

【分析】

先由题意，分别对九宫格除中间位置依次标记为①②③④⑤⑥⑦⑧，根据题意先从中选出一个数填入①位置，再假设①填，列举出其他位置填入数字的情况，即可得出结果.

【详解】

九宫格的中间填，①③⑤⑦位置填偶数，②④⑥⑧位置填奇数，

因为每一横行，每一竖列以及两条对角线上三个数字之和都等于15，

所以①⑤、③⑦位置填或；

先从中选出一个数填入①位置，则有个结果；

若①填，

则⑤填，③填，⑦填，②填，④填，⑥填，⑧填；

或⑤填，③填，⑦填，②填，④填，⑥填，⑧填；

共包含2个结果；

因此，总的结果个数为.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查列举法确定基本事件的个数，属于基础题型.

5【答案】B

【解析】

【分析】

基本事件总数为个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为个，由此求出概率.

【详解】

解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，

取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共个，

所以，所求的概率.

故选：B.

【点睛】

本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题．

6【答案】B

【解析】

【分析】

由题意可得，该数列依次每3项中，有2项是奇数，另外1项是偶数，所以前120项中有80项是奇数，即可算出答案.

【详解】

由题意可得，该数列依次每3项中，有2项是奇数，另外1项是偶数

所以前120项中有80项是奇数

所以这个数是奇数的概率为

故选：B

【点睛】

本题主要考查的是古典概型的概率计算，考查了学生的分析能力，较简单.

7【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，列举出所有的基本事件，再分别找出满足事件与事件的事件个数，分别求出其概率，最后再相加即可.

【详解】

根据题意，将一枚质地均匀的硬币连掷三次，可能出现的情况有以下种：

（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），（反反反）.

满足事件：恰有1次正面向上的基本事件有（正反反），（反正反），（反反正）三种，故；满足事件：恰有2次正面向上的基本事件有（正正反），（正反正），（反正正）三种，故；因此，.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查利用列举法计算基本事件的个数以及求解事件发生的概率.

8【答案】D

【解析】

【分析】

根据古典概型的基本概念及概率公式，即可得出结论

【详解】

②中所说的事件不一定是样本点，所以②不正确；

根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确.

故选:D.

【点睛】

本题考查古典概型的辨析以及概率的求法，属于基础题.

9【答案】D

【解析】

【分析】

由抛掷 一枚质地均匀的硬币，基本事件只有两种结果：正面朝上、反面朝上，每种结果等可能出现，结合古典概型及概率的计算，即可求解.

【详解】

由题意，抛掷 一枚质地均匀的硬币，只考虑第2016次，基本事件只有两种结果：正面朝上、反面朝上，每种结果等可能出现，故所求概率为.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了事件的基本概念，以及古典概型的应用，其中解答中熟记概率的概念和古典概型的概率计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

10【答案】（1），中位数为；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为能求出的值，利用中位数左侧矩形的面积之和为可求出该样本年龄的中位数；

（2）回访的这人分别记为、、、、，从人中任选人，利用列举法能求出这人所交保费之和大于元的概率．

【详解】

（1），解得：.

设该样本年龄的中位数为，前两个矩形的面积之和为，

前三个矩形的面积之和为，所以

，解得；

（2）设回访的这人分别记为、、、、，

从人中任选人的基本事件有：、、、、、、、、、，共种.

事件“两人保费之和大于元”包含的基本事件有：、、、，共种.

两人保费之和大于元的概率为.

【点睛】

本题考查频率、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

11【答案】

【解析】

【分析】

列举出所有的情况，找出符合题意的情况，由古典概型的概率计算公式，即可得出答案.

【详解】

设三双鞋子分别为、、，

则取出2只鞋子的情况有：

，，，，，

 ，，，，

，，，

，，

，共种.

其中，成对的情况有：

，，，共种，

由古典概型的公式可得，所求概率为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了通过列举法求古典概型的概率，属于基础题.

12【答案】

【解析】

【分析】

利用列举法和古典概型的概率公式计算可得结果.

【详解】

从甲、乙、丙、丁四位志愿者中随机选三人参加夜间防控，有（甲、乙、丙），（甲、乙、丁），（甲、丙、丁），（乙、丙、丁），共四种情况，其中甲被选中的情况有（甲、乙、丙），（甲、乙、丁），（甲、丙、丁），共三种情况，

所以甲被选中的概率为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了利用古典概型的概率公式求概率，属于基础题.

13【答案】

【解析】

【分析】

由题意得，基本事件总数，他们选科至少两科相同包含的基本事件个数，再根据古典概型的概率计算公式即可求出概率．

【详解】

解：山西省高考将实行模式，即语文数学英语必选，物理，化学，生物，历史，政治，地理六选三，

今年高一的小明与小芳进行选科，包含的基本事件总数，

他们选科至少两科相同包含的基本事件个数，

他们选科至少两科相同的概率为，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查古典概型的概率计算公式，考查运算求解能力，属于基础题．

14【答案】

【解析】

【分析】

根据题意求得基本事件数，然后根据古典概型概率公式求解．

【详解】

由题意得，基本事件总数为36，点P落在圆内包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8个，

由古典槪型概率公式可得所求概率为.

故答案为．

【点睛】

解答本题的关键是根据列举法得到基本事件总数和事件“点P落在圆内”包含的基本事件的个数，本题属于基础题，考查对基础知识的理解和运用．

15【答案】（Ⅰ）这7个班级中来自三所学校的数量分别为;（Ⅱ）（i）见解析；

（ii）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）先求出样本容量与总体的个数比，然后确定7个班级中来自三所学校的数量；

（Ⅱ）设来自学校的班级分别为：；来自学校的班级分别为：;来自学校的班级分别为：.

（i）用列举法写出所有可能的结果；

（ii）通过（i）可以知道这2个班级至少有一个来自学校共有15种可能结果，运用古典概型公式，求出这2个班级至少有一个来自学校的概率.

【详解】

（Ⅰ）样本容量与总体的个数比为：，

7个班级中来自三所学校的数量分别为：，

所以这7个班级中来自三所学校的数量分别为;

（Ⅱ）设来自学校的班级分别为：；来自学校的班级分别为：;来自学校的班级分别为：.

（i）这7个班级中随机抽取2个班级做进一步调查,可能的结果如下：

共有21种可能结果；

（ii）由（i）可知这2个班级至少有一个来自学校共有15种可能结果，故

这2个班级至少有一个来自学校的概率为.

【点睛】

本题考查了概率的求法，考查列举法、古典概型基础知识，考查了运算能力.