数学必修 第一册第二章 函数本章综合与测试课时作业

这是一份数学必修 第一册第二章 函数本章综合与测试课时作业，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.幂函数f(x)=(m2-6m+9)xm2-3m+1在(0,+∞)上单调递增,则m的值为( )
A.2B.3
C.4D.2或4
2.已知f(x)=2x,x>0,f(x+1),x≤0,则f43+f-43的值等于( )
A.-2B.4
C.2D.-4
3.函数f(x)=-x2+15x+34|x|+x的定义域是( )
A.[-17,0]∪(0,2]B.[-2,0]∪(0,17]
C.(0,17]D.[-2,0)
4.函数f(x)=(x-2)(ax+b)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,则f(2-x)>0的解集为( )
A.{x|x<-2或x>2}B.{x|-2C.{x|x<0或x>4}D.{x|05.设函数D(x)=1,x为有理数,0,x为无理数,则下列结论错误的是( )
A.D(x)的定义域为R
B.D(x)的值域为{0,1}
C.D(x)是偶函数
D.D(x)是单调函数
6.下列所给4个图象中,与所给3件事依次吻合最好的为( )
(1)小明离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是立刻返回家里取了作业本再上学;
(2)小明骑着车一路以常速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间;
(3)小明出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加速.
A.dabB.dbc
C.dacD.abd
7.若函数f(x)是偶函数,其定义域为(-∞,+∞),且在(-∞,0]上是增函数,则f14与fa2-a+12的大小关系是( )
A.f14>fa2-a+12B.f14C.f14≥fa2-a+12D.f14≤fa2-a+12
8.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)为增函数,且f(x)·ff(x)+1x=1,则f(1)等于( )
A.1+52B.1-52
C.1+52或1-52D.5
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.下列函数中,在区间(0,1)上是减函数的是( )
A.y=|x|B.y=3-x
C.y=1xD.y=-x2+4
10.下列四个选项中,是函数图象的是( )
11.下列函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上是增函数的是( )
A.y=1xB.y=2x
C.y=x2D.y=x3
12.已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0.其中正确的结论是( )
A.f(0)=0
B.f(x)为偶函数
C.f(x)为R上减函数
D.f(x)为R上增函数
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.已知f(x)是定义在R上的偶函数,令F(x)=(x-b)·f(x-b)+1 009,若实数b满足2b=a+c,则F(a)+F(c)= .
14.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)15.函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数,例如,[-3.5]=-4,[2.1]=2,已知定义在R上的函数g(x)=[x]+[2x],若A={y|y=g(x),0≤x≤1},则A中所有元素的和为 .
16.关于x的方程g(x)=t(t∈R)的实根个数记为f(t).
(1)若g(x)=x+1,则f(t)= ;
(2)若g(x)=x,x≤0,-x2+2ax+a,x>0(a∈R),存在t使得f(t+2)>f(t)成立,则a的取值范围是 .
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x+1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x<0时,方程f(x)=x2+tx+2t仅有一个实根或有两个相等的实根,求实数t的取值范围.
18.(12分)已知定义在[-2,2]上的偶函数f(x)满足当x∈[0,2]时,f(x)=-x+23-x.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=ax-2-a(a>0),若对于任意的x1,x2∈[-2,2],都有g(x1)19.(12分)设函数f(x)=x-a+1x+a为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用定义法证明f(x)在(0,+∞)上的单调性.
20.(12分)一次函数f(x)是R上的增函数,且f[f(x)]=4x+3,g(x)=f(x)(x+m).
(1)求f(x);
(2)若g(x)在(1,+∞)单调递增,求实数m的取值范围;
(3)当x∈[-1,3]时,g(x)有最大值14,求实数m的值.
21.(12分)经济学中,函数f(x)的边际函数M(x)定义为M(x)=f(x+1)-f(x),利润函数P(x)的边际利润函数定义为M1(x)=P(x+1)-P(x).某公司最多生产100台报警系统装置,生产x台的收入函数为R(x)=3 000x-20x2(单位:元),其成本函数为C(x)=500x+4 000(单位:元),利润是收入与成本之差.
(1)求利润函数P(x)的边际利润函数M1(x);
(2)利润函数P(x)与边际利润函数M1(x)是否具有相等的最大值?
(3)你认为本题中边际利润函数M1(x)取最大值的实际意义是什么?
22.(12分)对于函数y=f(x)与常数a,b,若f(2x)=af(x)+b恒成立,则称(a,b)为函数f(x)的一个“P数对”,设函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(1)=3.
(1)若(a,b)是f(x)的一个“P数对”,且f(2)=6,f(4)=9,求常数a,b的值;
(2)若(1,1)是f(x)的一个“P数对”,且f(x)在[1,2]上单调递增,求函数f(x)在[1,8]上的最大值与最小值;
(3)若(-2,0)是f(x)的一个“P数对”,且当x∈[1,2)时,f(x)=k-|2x-3|,求k的值及f(x)在区间[1,2n)(n∈N*)上的最大值与最小值.
答案全解全析
一、单项选择题
1.C 幂函数f(x)=(m2-6m+9)xm2-3m+1中m2-6m+9=1,解得m=2或m=4,
当m=2时,f(x)=x-1,在(0,+∞)上是单调减函数,不满足题意;
当m=4时,f(x)=x5,在(0,+∞)上是单调增函数,满足题意.
所以m的值是4.故选C.
B ∵43>0,∴f43=2×43=83,
∵-43<0,∴f-43=f-43+1=f-13=f-13+1=f23=43,∴f43+f-43=123=4.
3.C 要使函数有意义,需满足-x2+15x+34≥0,|x|+x≠0,即-2≤x≤17,x>0,解得04.C ∵函数f(x)=(x-2)(ax+b)=ax2+(b-2a)x-2b为偶函数,
∴二次函数f(x)图象的对称轴为y轴,
∴-b-2a2a=0,且a≠0,即b=2a,
∴f(x)=ax2-4a.
由函数在(0,+∞)上单调递增,可得a>0.
令f(x)=0,求得x=2或x=-2,
故由f(2-x)>0,可得2-x>2或2-x<-2,
∴x<0或x>4,
故f(2-x)>0的解集为{x|x>4或x<0},故选C.
5.D 结合函数的解析式可得D(0)=1,D(2)=0,D(2)=1,D(π)=0,即函数D(x)既不是单调递增函数,也不是单调递减函数,故选D.
6.A (1)离家不久发现自己作业本忘记在家里,回到家里,这时离家的距离为0,故应选图象d;
(2)骑着车一路以常速行驶,此时图象从左到右呈上升的线段,在途中遇到一次交通堵塞,则这段时间与家的距离必为一定值,故应选图象a;
(3)先缓缓行进,后加速赶往学校,其离开家的距离随时间的变化关系是越来越快,故应选图象b.
故选A.
7.C 函数f(x)是偶函数,其定义域为(-∞,+∞),且在(-∞,0]上是增函数,
∴f(x)在(0,+∞)上是减函数,
∵a2-a+12=a-122+14≥14,
∴f14≥fa2-a+12.故选C.
8.B 令x=1,得f(1)f(f(1)+1)=1,令t=f(1),则tf(t+1)=1,所以f(t+1)=1t,
f(x)·f f(x)+1x=1中,令x=t+1,
则f(t+1)f f(t+1)+1t+1=1t·f 1t+1t+1=1,所以f 1t+1t+1=t=f(1),因为函数f(x)为定义在(0,+∞)上的增函数,所以1t+1t+1=1,变形可得t2-t-1=0,解得t=1+52或t=1-52,
所以f(1)=1+52或f(1)=1-52.
令x=2,得f(2)f f(2)+12=1,令t=f(2),则tf t+12=1,所以f t+12=1t,
令x=t+12,则f t+12·f ft+12+1t+12
=1tf1t+22t+1=1,则f 4t+1t(2t+1)=t=f(2),因为函数f(x)为定义在(0,+∞)上的增函数,所以4t+1t(2t+1)=2,所以4t2-2t-1=0,解得t=1-54或t=1+54,所以f(2)=1-54或f(2)=1+54,因为函数f(x)为定义在(0,+∞)上的增函数,所以f(1)二、多项选择题
9.BCD A.y=|x|=x(x≥0),-x(x<0),易知在区间(0,1)上为增函数,不符合题意;
B.y=3-x是一次函数,易知在区间(0,1)上为减函数,符合题意;
C.y=1x为反比例函数,易知在(-∞,0)和(0,+∞)为单调减函数,所以函数在(0,1)上为减函数,符合题意;
D.y=-x2+4为二次函数,图象开口向下,对称轴为x=0,所以在区间(0,1)上为减函数.
故选BCD.
10.ACD 根据函数的定义知:
在y关于x的函数中,每确定一个x值,就随之确定一个y值,
体现在图象上,图象与垂直于x轴的直线最多只能有一个交点,
对照选项,可知只有B不是函数图象.
故选ACD.
11.BD A.函数y=1x在区间(0,+∞)上是减函数,不满足条件;
B.函数y=2x既是奇函数又在区间(0,+∞)上是增函数,满足条件;
C.y=x2是偶函数,不满足条件;
D.y=x3既是奇函数又在区间(0,+∞)上是增函数,满足条件.故选BD.
12.AC 对于A,令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0)=2f(0),∴f(0)=0,①正确;对于B,令y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,
∴f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数,B错误;对于C,由f(x+y)=f(x)+f(y)得f(x+y)-f(x)=f(y)=f[(x+y)-x],任取x1,x2且x1>x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2),
∵x1>x2,∴x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0,即f(x1)∴f(x)为R上的减函数,C正确;D错误.故选AC.
三、填空题
13.答案 2 018
解析 由题意可知a-b=b-c,
因为f(x)是定义在R上的偶函数,
所以f(a-b)=f(c-b),所以F(a)+F(c)=(a-b)f(a-b)+(c-b)f(c-b)+2 018=2 018.
14.答案 13,23
解析 由于函数f(x)是偶函数,故f(x)=f(|x|),可得f(|2x-1|)15.答案 4
解析 当x∈0,12时,2x∈[0,1),g(x)=[x]+[2x]=0;
当x∈12,1时,2x∈[1,2),g(x)=[x]+[2x]=1;
当x=1时,2x=2,g(x)=[x]+[2x]=3.
∴A={y|y=g(x),0≤x≤1}={0,1,3},
∴A中所有元素的和为4.
16.答案 (1)1 (2)(1,+∞)
解析 (1)若g(x)=x+1,则函数的值域为R,且函数为单调函数,故方程g(x)=t有且只有一个根,故f(t)=1,
(2)g(x)=x,x≤0,-x2+2ax+a,x>0(a∈R).
当t≤0时,f(t)=1恒成立,
若存在t使得f(t+2)>f(t)成立,
则x>0时,函数的最大值大于2,且函数y=-x2+2ax+a图象的对称轴在y轴右侧,
即a>0,且-4a-4a2-4>2,解得a>1,所以a的取值范围是(1,+∞).
四、解答题
17.解析 (1)当x=0时,f(x)=0,(1分)
当x<0时,-x>0,那么f(-x)=2(-x)+1,即-f(x)=-2x+1,∴f(x)=2x-1,(3分)
综上,f(x)=2x+1(x>0),0(x=0),2x-1(x<0).(4分)
(2)将f(x)代入方程,得2x-1=x2+tx+2t,化简,得x2+(t-2)x+2t+1=0,记g(x)=x2+(t-2)x+2t+1,设g(x)=0的两实根分别为x1,x2,
当x1<0当x1<0=x2时,有g(0)=0,即t=-12,此时x2-52x=0,
∴x=0或x=52,此时不符合题意;
当x1=x2<0时,
有Δ=(t-2)2-4(2t+1)=0,x=-t-22<0,
解得t=12.(9分)
综上,t的取值范围是t=12或t<-12.(10分)
18.解析 (1)设x∈[-2,0],则-x∈[0,2],∴f(-x)=x+23+x,
∵f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,
∴f(x)=f(-x)=x+23+x,
∴f(x)=x+23+x,x∈[-2,0),-x+23-x,x∈[0,2].(4分)
“对任意x1,x2∈[-2,2],都有g(x1)(5分)
因为f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,
所以f(x)在区间[-2,0)和区间[0,2]上的值域相同.
当x∈[-2,0]时,f(x)=x+23+x.(6分)
设t=3+x,则t∈[1,3],x=t2-3.(7分)
则f(x)转化为h(t)=t2+2t-3=(t+1)2-4,t∈[1,3].(8分)
则当t=1时,函数h(t)取得最小值h(1)=0,所以当x∈[-2,2]时,f(x)min=0.(10分)
又g(x)max=g(2)=a-2,由a-2<0,解得a<2,因此实数a的取值范围为(0,2).(12分)
19.解析 (1)f(-x)=-x+a+1x+a=-f(x)=-x+a+1x-a,(3分)
∴a=0.(5分)
(2)f(x)=x-1x,在(0,+∞)上为增函数.(6分)
证明:任意x1,x2∈(0,+∞),且x1f(x1)-f(x2)=x1-1x1-x2+1x2=(x1-x2)·1+1x1x2,(9分)
∵00,1+1x1x2>0,(10分)
∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.(12分)
20.解析 (1)∵一次函数f(x)是R上的增函数,∴设f(x)=ax+b(a>0),
f[f(x)]=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x+3.(1分)
∴a2=4,ab+b=3,(2分)
解得a=2,b=1,或a=-2,b=-3(不合题意,舍去).(3分)
∴f(x)=2x+1.(4分)
(2)g(x)=f(x)(x+m)=(2x+1)(x+m)=2x2+(2m+1)x+m.
其图象的对称轴为直线x=-2m+14,根据题意可得-2m+14≤1,(6分)
解得m≥-52,
∴m的取值范围为-52,+∞.(7分)
(3)①当-2m+14≤1,即m≥-52时,
g(x)max=g(3)=21+7m=14,解得m=-1,符合题意;(9分)
②当-2m+14>1,即m<-52时,
g(x)max=g(-1)=1-m=14,解得m=-13,符合题意.(11分)
综上,m=-1或m=-13.(12分)
21.解析 (1)由题意得P(x)=R(x)-C(x)=(3 000x-20x2)-(500x+4 000)
=-20x2+2 500x-4 000(1≤x≤100,x∈N).(2分)
所以M1(x)=P(x+1)-P(x)=2 480-40x(1≤x≤100,x∈N).(4分)
(2)∵P(x)=-20x-12522+74 125,
∴x=62或63时,P(x)max=74 120.(6分)
∵M1(x)=2480-40x,∴x=1时,M1(x)max=2 440.(8分)
∴P(x)与M1(x)不具有相等的最大值.(10分)
(3)边际利润函数M1(x)当x取1时有最大值,说明生产第2台与生产第1台的总利润差最大,即第2台报警系统利润最大.(12分)
22.解析 (1)由题意知af(1)+b=f(2),af(2)+b=f(4),即3a+b=6,6a+b=9,解得a=1,b=3,(2分)
(2)∵(1,1)是f(x)的一个“P数对”,
∴f(2x)=f(x)+1,
∴f(2)=f(1)+1=4,f(4)=f(2)+1=5,f(8)=f(4)+1=6.
∵f(x)在[1,2]上单调递增,∴当x∈[1,2]时,f(x)max=f(2)=4,f(x)min=f(1)=3,
∴当x∈[1,2]时,3≤f(x)≤4;(3分)
当x∈[2,4]时,x2∈[1,2],3≤fx2≤4,∴4≤f(x)=fx2+1≤5;(4分)
当x∈[4,8]时,x2∈[2,4],4≤fx2≤5,∴5≤f(x)=fx2+1≤6.(5分)
综上,当x∈[1,8]时,3≤f(x)≤6.(6分)
故f(x)在[1,8]上的最大值为6,最小值为3.(7分)
(3)当x∈[1,2)时,f(x)=k-|2x-3|,
令x=1,可得f(1)=k-1=3,解得k=4,
所以,x∈[1,2)时,f(x)=4-|2x-3|,
故f(x)在[1,2)上的取值范围是[3,4].(8分)
又(-2,0)是f(x)的一个“P数对”,故f(2x)=-2f(x)恒成立,
当x∈[2k-1,2k)(k∈N*)时,x2k-1∈[1,2),f(x)=-2fx2=4fx4=…=(-2)k-1·fx2k-1,(9分)
故k为奇数时,f(x)在[2k-1,2k)上的取值范围是[3×2k-1,2k+1];
当k为偶数时,f(x)在[2k-1,2k)上的取值范围是[-2k+1,-3×2k-1].(10分)
所以当n=1时,f(x)在[1,2n)上的最大值为4,最小值为3;
当n为不小于3的奇数时,f(x)在[1,2n)上的最大值为2n+1,最小值为-2n;
当n为不小于2的偶数时,f(x)在[1,2n)上的最大值为2n,最小值为-2n+1.(12分)