必修 第一册第四章 对数运算和对数函数3 对数函数3.1 对数函数的概念一等奖第1课时教案及反思

这是一份必修 第一册第四章 对数运算和对数函数3 对数函数3.1 对数函数的概念一等奖第1课时教案及反思，共7页。

§3 对数函数


第1课时 对数函数的概念、图象和性质














对数函数的定义、图象与性质


思考：指数函数y＝ax的定义域和值域与对数y＝lgax的定义域和值域有什么关系？


提示：对数函数y＝lgax的定义域是指数函数y＝ax的值域，对数函数y＝lgax的值域是指数函数y＝ax的定义域．





1．下列函数是对数函数的是( )


A．y＝ln eq \f(x,2) B．y＝ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))


C．y＝lgx2 D．y＝lg2x


[答案] D


2．函数f(x)＝lg2(x－1)的定义域是( )


A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)


C．(－∞，1) D．(－∞，1]


B [由x－1>0，得x>1.]


3．函数y＝lg x的反函数是________．


[答案] y＝10x


4．已知f(x)＝lg3x.


(1)作出这个函数的图象；


(2)若f(a)

[解] (1)作出函数y＝lg3x的图象如图所示．





(2)由图象知：当0

∴所求a的取值范围为(0，2).








对数函数的概念


【例1】 对数函数的图象过点M(16，4)，则此对数函数的解析式为( )


A．y＝lg4x B．y＝lg eq \s\up-5(\f(1,4))x


C．y＝lg eq \s\up-5(\f(1,2))x D．y＝lg2x


D [由于对数函数的图象过点M(16，4)，所以4＝lga16，得a＝2.所以对数函数的解析式为y＝lg2x，故选D.]





判断一个函数是对数函数的方法








eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．下列函数是对数函数的是( )


A．y＝lg3x2 B．y＝lg3x


C．y＝lgx5 D．y＝lg2x＋1


[答案] B





对数函数的图象


角度一 对数型函数图象的判断


【例2】 函数y＝ln (1－x)的图象大致为( )





A B C D


C [由1－x>0，知x<1，排除选项A、B；


设t＝1－x(x<1)，因为t＝1－x为减函数，而y＝ln t为增函数，


所以y＝ln (1－x)为减函数．


故选C.]


角度二 作对数型函数的图象


【例3】 已知f(x)＝lga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．


[解] 因为f(－5)＝1，所以lga5＝1，即a＝5，


故f(x)＝lg5|x|＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg5x（x＞0），,lg5（－x）（x＜0）.))


所以函数y＝lg5|x|的图象如图所示．





角度三 对数函数底数对图象的影响


【例4】 如图，若C1，C2分别为函数y＝lgax和y＝lgbx的图象，则( )





A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1


C．a＞b＞1 D．b＞a＞1


B [作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.]





有关对数型函数图象问题的求解技巧


(1)求函数y＝lgaf eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＋m(a>0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝1求出x，即得定点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，m)).


(2)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得底数的大小．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


2．(1)函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝lg2x eq \s\up6(\f(2,3))的图象的大致形状是( )





A B C D


(2)若lg a＋lg b＝0 (a≠1，b≠1)，则函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝lgax与g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝lgbx的图象( )


A．关于直线y＝x对称B．关于x轴对称


C．关于y轴对称 D．关于原点对称


(1)D (2)B [(1)由于f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝lg2x eq \s\up6(\f(2,3))＝ eq \f(2,3)lg2 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))，所以函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，且当x>0时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ eq \f(2,3)lg2x在(0，＋∞)上单调递增，又函数是偶函数，所以函数图象关于y轴对称，故选D.


(2)由 lg a＋lg b＝0，得b＝ eq \f(1,a)，所以g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝lgbx＝lg eq \s\d2(\f(1,a)) eq \s\d2(\f(1,a)))x＝－lgax，所以函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))与g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的图象关于x轴对称．]





对数函数的性质


【例5】 根据函数f(x)＝lg2x的图象和性质求解以下问题：


(1)若f(a)>f(2)，求a的取值范围；


(2)求y＝lg2(2x－1)在x∈[2，14]上的最值．


[思路点拨] 可先作出y＝lg2x的图象，利用图象考查单调性解决问题．


[解] 函数y＝lg2x的图象如图．





(1)f(a)>f(2)，即lg2a>lg22，又因为y＝lg2x是增函数，则a>2.


所以a的取值范围为(2，＋∞).


(2)∵2≤x≤14，∴3≤2x－1≤27，


∴lg23≤lg2(2x－1)≤lg227.


∴函数y＝lg2(2x－1)在x∈[2，14]上的最小值为lg23，最大值为lg227.





常见的对数不等式的三种类型


(1)形如lgax＞lgab的不等式，借助y＝lgax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；


(2)形如lgax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝lgax的单调性求解；


(3)形如lgax＞lgbx的不等式，可利用图象求解．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


3．(1)比较lg2 eq \f(4,5)与lg2 eq \f(3,4)的大小；


(2)若lg2(2－x)>0，求x的取值范围．


[解] (1)函数f(x)＝lg2x在(0，＋∞)上为增函数，


又∵ eq \f(4,5)> eq \f(3,4)，∴lg2 eq \f(4,5)>lg2 eq \f(3,4).


(2)lg2(2－x)>0，即lg2(2－x)>lg21，


∵函数y＝lg2x为增函数，


∴2－x>1，即x<1.


∴x的取值范围为(－∞，1).








1．解与对数有关的问题，要首先保证在定义域范围内解题，即真数大于零，底数大于零且不等于1.


2．指数函数y＝ax与对数函数y＝lgax互为反函数，它们定义域与值域互反，图象关于直线y＝x对称．


3．应注意数形结合思想在解题中的应用．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)对数函数的定义域为R.( )


(2)y＝lg2x2与lgx3都不是对数函数．( )


(3)对数函数的图象一定在y轴右侧．( )


(4)函数y＝lg2x与y＝x2互为反函数．( )


[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×


2．函数y＝lg2x的图象大致是( )





A B C D


C [结合各选项可知，C正确．]


3．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝lgax的增减性相同，则a的取值范围是________．


(1，2) [若f(x)，g(x)均为增函数，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3－a＞1，,a＞1，))即1＜a＜2，


若f(x)，g(x)均为减函数，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0＜3－a＜1，,0＜a＜1))无解．]


4．求下列函数的定义域：


(1)y＝lg3(1－x)；


(2)y＝ eq \f(1,lg2x)；


(3)y＝lg7 eq \f(1,1－3x).


[解] (1)∵当1－x>0，即x<1时，函数y＝lg3(1－x)有意义，


∴函数y＝lg3(1－x)的定义域为(－∞，1).


(2)由lg2x≠0，得x>0且x≠1.


∴函数y＝ eq \f(1,lg2x)的定义域为{x|x>0且x≠1}．


(3)由 eq \f(1,1－3x)>0，得x< eq \f(1,3).


∴函数y＝lg7 eq \f(1,1－3x)的定义域为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3))).


学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解对数函数的概念．(重点)


2．掌握对数函数的图象，通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质．(重点)


3．掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题．(重点，难点)


4．了解反函数的概念，会求指数函数或对数函数的反函数．(难点，易混点)
1．通过对数函数的图象的学习，培养直观想象素养．


2．借助对数函数性质的应用，培养逻辑推理素养．
定义
函数y＝lgax(a>0且a≠1)叫做对数函数
图象
a>1
0性质
定义域(0，＋∞)
值域R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当01时，y∈(0，＋∞)
当01时，y∈(－∞，0)
在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))上为增函数
在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))上为减函数