北师大版高中数学必修第一册第六章统计章末检测含解析

统计

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．数据12,14,15,17,19,23,27,30的70%分位数是(　　)

A．14　　　　　　　　　 B．17

C．19  D．23

解析：选D　因为8×70%＝5.6，故70%分位数是第6项数据23.

2．一组样本数据为：19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27，则这组数据的众数和中位数分别为(　　)

A．14,14  B．12,14

C．14,15.5  D．12,15.5

解析：选A　把这组数据按从小到大排列为：10,12,12,14,14,14,17,18,19,23,27，则可知其众数为14，中位数为14.

3．小波一星期的总开支分布如图①所示，一星期的食品开支如图②所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为(　　)

A．1%  B．2%

C．3%  D．5%

解析：选C　由题图②知，小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元，占食品开支的10%，而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%.

4．为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为(　　)

A．64  B．54

C．48  D．27

解析：选B　前两组中的频数为100×(0.05＋0.11)＝16.因为后五组频数和为62，所以前三组频数和为38.所以第三组频数为38－16＝22.又最大频率为0.32，故第四组频数为0.32×100＝32.所以a＝22＋32＝54.故选B.

5．设n个数据x1，x2，…，xn的平均数为，则其方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．若数据a1，a2，a3，a4的方差为3，则数据2a1＋1,2a2＋1,2a3＋1,2a4＋1的方差是(　　)

A．6  B．8

C．10  D．12

解析：选D　由题意结合方差的性质可得数据2a1＋1,2a2＋1,2a3＋1,2a4＋1的方差为22×3＝12.

6．若正数2,3,4，a，b的平均数为5，则其标准差的最小值为(　　)

A．2  B.

C．3  D.

解析：选B　由已知得2＋3＋4＋a＋b＝5×5，整理得a＋b＝16.其方差s2＝[(5－2)2＋(5－3)2＋(5－4)2＋(5－a)2＋(5－b)2]＝[64＋a2＋b2－10(a＋b)]＝(a2＋b2－96)＝[a2＋(16－a)2－96]＝(2a2－32a＋160)＝(a2－16a)＋32＝(a－8)2＋，所以当a＝8时，s2取得最小值，最小值为，此时标准差为.故选B.

7．一组数据中的每一个数都减去80，得到一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是(　　)

A．81.2,4.4  B．78.8,4.4

C．81.2,84.4  D．78.8,75.6

解析：选A　原数据的平均数应为1.2＋80＝81.2，原数据的方差与新数据的方差相同，即为4.4.

8．总体由编号为01,02，…，39,40的40个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数开始由左到右依次选取两个数，则选出来的第5个个体的编号为(　　)

50　44　66　44　21　66　06　58　05　62　61　65　54

35　02　42　35　48　96　32　14　52　41　52　48　22

66　22　15　86　26　63　75　41　99　58　42　36　72

24　58　37　52　18　51　03　37　18　39　11　79　33

A．23　　　　　　　　　 B．21

C．35  D．32

解析：选B　该随机数表第1行的第6列和第7列数为64，由此开始由左向右读，在01～40范围之内的数依次为16,26,24,23,21，所以选出来的第5个个体的编号为21.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

9．下列关于抽样的说法中正确的是(　　)

A．已知总体容量为109，若要用随机数法抽取一个样本量为10的样本，可以将总体编号为000,001,002,003，…，108

B．当总体样本量较大时，一般采用简单随机抽样

C．当总体由有明显差异的几部分构成时，可以采用分层随机抽样

D．总体容量较大且总体中的个体无明显差异，宜采用随机数法

解析：选ACD　注意两种抽样的不同之处，以及它们所适用的范围．

10．为弘扬中华民族传统文化，某中学学生会对本校高一年级1 000名学生课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下

估计该校高一学生参加传统文化活动情况不正确的是(　　)

A．参加活动次数是3场的学生约为360人

B．参加活动次数是2场或4场的学生约为480人

C．参加活动次数不高于2场的学生约为280人

D．参加活动次数不低于4场的学生约为360人

解析：选ABC　参加活动场数为3场的学生约有1 000×26%＝260(人)，A错误；参加活动场数为2场或4场的学生约有1 000×(20%＋18%)＝380(人)，B错误；参加活动场数不高于2场的学生约有1 000×(8%＋10%＋20%)＝380(人)，C错误；参加活动场数不低于4场的学生约有1 000×(18%＋12%＋4%＋2%)＝360(人)，D正确．故选A、B、C.

11．PM2.5是衡量空气质量的重要指标．下图是某地9月1日到10日的PM2.5日均值(单位：μg/m3)的折线图，则下列说法正确的是(　　)

A．这10天中PM2.5日均值的众数为33

B．这10天中PM2.5日均值的中位数是32

C．这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数

D．这10天中PM2.5日均值前4天的方差大于后4天的方差

解析：选ABD　由折线图得，这10天中PM2.5日均值的众数为33，中位数为＝32，中位数小于平均数；前4天的数据波动比后4天的波动大，故前4天的方差大于后4天的方差．故选A、B、D.

12．下面是甲、乙两位同学高三上学期的5次联考的数学成绩，现已知其从第1次到第5次分数所在区间段分布的条形图(从左至右依次为第1至第5次)，则从图中一定能读出的信息是(　　)

A．甲同学的成绩的平均数大于乙同学的成绩的平均数

B．甲同学的成绩的中位数在115到120之间

C．甲同学的成绩的极差小于乙同学的成绩的极差

D．甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数

解析：选BD　对于A，甲同学的成绩的平均数甲≤(105＋120×2＋130＋140)＝123，乙同学的成绩的平均数乙≥(105＋115＋125＋135＋145)＝125，故A错误；由题图甲知，B正确；对于C，由题图知，甲同学的成绩的极差介于(30,40)之间，乙同学的成绩的极差介于(35,45)之间，所以甲同学的成绩的极差也可能大于乙同学的成绩的极差，故C错误；对于D，甲同学的成绩的中位数在115～120之间，乙同学的成绩的中位数在125～130之间，所以甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数，故D正确．故选B、D.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．下列数据的70%分位数为________．

20,14,26,18,28,30,24,26,33,12,35,22.

解析：把所给的数据按照从小到大的顺序排列可得：12,14,18,20,22,24,26,26,28,30,33,35，

因为有12个数据，所以12×70%＝8.4，不是整数，所以数据的70%分位数为第9个数28.

答案：28

14．已知一组数据按从小到大排列为－1,0,4，x,6,15，且这组数据的中位数是5，那么数据的众数是________，平均数是________．

解析：因为－1,0,4，x,6,15的中位数是5，所以×(4＋x)＝5，x＝6.所以这组数据的众数是6，平均数是×(－1＋0＋4＋6＋6＋15)＝5.

答案：6　5

15．某学校三个兴趣小组的学生人数(单位：人)分布如下表(每名同学只参加一个小组)：

学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层随机抽样，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________．

解析：由题意知，＝，解得a＝30.

答案：30

16．交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为T，其范围为[0,10]，分别有五个级别：T∈[0,2)，畅通；T∈[2,4)，基本畅通；T∈[4,6)，轻度拥堵；T∈[6,8)，中度拥堵；T∈[8,10]，严重拥堵．晚高峰时段(T≥2)，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通拥堵指数数据绘制的频率分布直方图如图所示，用分层随机抽样的方法从交通拥挤指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中共抽取6个路段，则中度拥堵的路段应抽取________个．

解析：由频率分布直方图知，[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段共有(1－0.05－0.05)×20＝18(个)，按分层随机抽样，从18个路段选出6个，抽样比为＝.

∵T∈[6,8)为中度拥堵，

∴中度拥堵的路段应抽取×(0.25＋0.2)×20＝3(个)．

答案：3

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)某市化工厂三个车间共有工人1 000 名，各车间男、女工人数如下表：

已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的可能性是0.15.

(1)求x的值；

(2)现用分层随机抽样的方法在全厂抽取50名工人，则应在第三车间抽取多少名工人？

解：(1)依题意有＝0.15，

解得x＝150.

(2)∵第一车间的工人数是173＋177＝350，

第二车间的工人数是100＋150＝250，

∴第三车间的工人数是1 000－350－250＝400.

设应从第三车间抽取m名工人，

则有＝，

解得m＝20，∴应在第三车间抽取20名工人．

18．(本小题满分12分)某校高一(1)、(2)班各有49名学生，两班学生在一次数学测试(满分100分)中的成绩(单位：分)统计如下表：

(1)请你对下面的一段话给予简要分析：

高一(1)班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测试中，全班的平均分为79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了．”

(2)请你根据表中的数据分析两班的测试情况，并提出教学建议．

解：(1)由高一(1)班成绩的中位数是87分可知，85分排在第25名以后，从名次上讲并不能说85分在班里是上游．

(2)高一(1)班成绩的中位数是87分，说明高于87分的人数将近一半，而平均分为79分，标准差又很大，说明低分者很多，两极分化严重，建议对学习差的学生给予帮助．

高一(2)班成绩的中位数和平均数都是79分，标准差较小，说明学生成绩之间的差别也较小，学习差的学生较少，但学习优秀的学生也很少，建议采取措施提高优秀学生的人数．

19．(本小题满分12分)某校在统计一班级50名学生的数学考试成绩时，将两名学生的成绩统计错了，一个将115分统计为95分，1个将65分统计为85分，若根据统计的数据得出平均分为90分，标准差为5分，则该50名学生实际成绩的平均分及标准差分别为多少？

解：设没统计错的数据为x1，x2，…，x48，统计错的两个成绩为x49＝95，x50＝85，实际成绩为x1，x2，…，x48，t49＝115，t50＝65，则(x1＋x2＋…＋x48＋95＋85)＝90，

所以(x1＋x2＋…＋x48)＝90－，所以＝(x1＋x2＋…＋x48＋t49＋t50)＝(x1＋x2＋…＋x48)＋×(115＋65)＝90－＋＝90.

由s＝[(x1－90)2＋…＋(x48－90)2＋(95－90)2＋(85－90)2]，

s＝[(x1－90)2＋…＋(x48－90)2＋(115－90)2＋(65－90)2]，得s－s＝×(252＋252－52－52)＝×1 200＝24，

所以s＝s＋24＝52＋24＝49，

所以s2＝7，即该50名学生实际成绩的平均分为90分，标准差为7分．

20．(本小题满分12分)甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：

(1)请填写下表：

(2)从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析：

①从平均数和中位数来看，谁的成绩好些？

②从平均数和命中9环及9环以上的次数来看，谁的成绩好些？

③从折线图中两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？

解：(1)由题图，可知甲打靶的成绩为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10；乙打靶的成绩为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.

甲的平均数是7，中位数是7.5，命中9环及9环以上的次数是3；

乙的平均数是7，中位数是7，命中9环及9环以上的次数是1.

故完整表格应为

(2)①甲、乙的平均数相同，甲的中位数比乙的中位数大，所以甲成绩较好．

②甲、乙的平均数相同，甲命中9环及9环以上的次数比乙多，所以甲成绩较好．

③观察折线图，在后半部分，甲射击命中环数呈上升趋势，而乙射击命中环数在6到8之间波动，故甲更有潜力．

21．(本小题满分12分)从全校参加数学竞赛的学生的试卷中抽取一个样本，考察竞赛的成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图，图中从左到右各小组的小长方形的高之比为1∶3∶6∶4∶2，最右边一组的频数是6，请结合直方图提供的信息，解答下列问题：

(1)样本容量是多少？

(2)列出频率分布表；

(3)成绩落在哪个范围内的人数最多？并求出该小组的频数、频率；

(4)估计这次竞赛中，成绩不低于60分的学生占总人数的百分比．

解：频率分布直方图中，小长方形高之比＝面积之比＝频数之比＝频率之比．

(1)设样本容量为n.∵最右边一组的频数是6，从左到右各小组的小长方形的高之比为1∶3∶6∶4∶2，

∴(1＋3＋6＋4＋2)∶n＝2∶6，解得n＝48.

(2)频率分布表如下：

(3)成绩落在[70,80)的人数最多，频数为18，频率为.

(4)样本中成绩不低于60分的学生占总人数的×100%＝93.75%.由样本估计总体，得这次竞赛中，成绩不低于60分的学生约占总人数的93.75%.

22．(本小题满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：

(1)在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图；

(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？

解：(1)频率分布直方图如图：

(2)质量指标值的样本平均数为

＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.

质量指标值的样本方差为

s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.

所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.

(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.

由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．