新教材北师大版学习笔记必修一第二章 4【学案+同步课件】.1 培优课 函数性质的综合问题

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培优课　函数性质的综合问题
第二章　 4.1　函数的奇偶性
学习目标
1.理解和掌握对称轴和对称中心满足的条件.
2.掌握函数性质的综合应用问题.
内容索引
函数图象的对称性

一
问题1　当函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称时，会满足怎样的条件呢？
提示　如图所示，在x＝a两边取对称的两个自变量的值，如a－x，a＋x，由对称性知它们的函数值相等，即f(a－x)＝f(a＋x)；反之，若对定义域内任意x都有f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
问题2　当函数y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称时，又会满足怎样的条件呢？
提示　如图所示，在x＝a两边取对称的两个自变量的值，如a－x，a＋x，由对称性知它们的函数值互为相反数，即f(a－x)＝－f(a＋x)；反之，若对定义域内任意x都有f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称.
知识梳理
1.函数图象关于直线对称
2.函数图象关于点对称
√
即f(1＋x)＋f(－x)＝0.又∵y＝f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(1＋x)＋f(x)＝0，即f(1＋x)＝－f(x)，
解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法(1)图象法：根据题意，作出符合要求的草图，便可得出结论.(2)性质法：根据对称性、单调性和奇偶性的性质，逐步推导解决求值和比较大小的问题.
反思感悟
若函数y＝f(x)在(0,2)上单调递增，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则下列结论正确的是
√
∵y＝f(x＋2)是偶函数，∴f(2－x)＝f(2＋x).故y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，
函数图象的画法

二
问题3　除了我们所熟悉的“列表、描点、连线”作图，还有哪些作图的方法？
提示　平移变换、对称变换、翻折变换.
知识梳理
1.函数图象的平移变换(1)左加右减：函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到函数y＝f(x＋a)的图象.(2)上加下减：函数y＝f(x)的图象沿y轴方向向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到函数y＝f(x)＋b的图象.
2.函数图象的对称变换
3.函数图象的翻折变换
(1)左右移动加减的是自变量，且不带系数与符号，上下移动加减的是函数值.(2)自变量的绝对值是左右翻折，函数值的绝对值是上下翻折.
注意点：
　　画出函数y＝(x－2)2的图象.
方法一　列表：
描点、连线，图象如图所示.
方法二　用图象变换法：先作出函数y＝x2的图象，然后把它向右平移2个单位长度，就得到函数y＝(x－2)2的图象，如图所示.
反思感悟
画函数图象的两种常见方法(1)描点法：列表、描点、连线.(2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、对称变换、翻折变换等.
√
函数性质的综合应用

三
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；
任取x1，x2∈(－1,1)，且令x1∵－1∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.
∵f(x)是奇函数，∴f(t－1)＋f(t)<0可转化为f(t－1)<－f(t)＝f(－t).∵f(x)在(－1,1)上是增函数，
反思感悟
奇偶性、单调性的综合应用利用函数的奇偶性将函数式转化，利用单调性解决常见不等式问题，在综合性题目中，要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形，适当应用解题技巧，化简求值，解题时，一定要特别注意函数的定义域.
　　　已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x).(1)求函数g(x)的定义域.
(2)若f(x)为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不等式g(x)≤0的解集.
由g(x)≤0，得f(x－1)＋f(3－2x)≤0，所以f(x－1)≤－f(3－2x).因为f(x)为奇函数，所以f(x－1)≤f(2x－3).而f(x)在(－2,2)上是减函数，
课堂小结
1.知识清单： (1)函数图象的对称轴和对称中心. (2)函数奇偶性、单调性的综合应用.2.方法归纳：数形结合法、等价转化法.3常见误区：忽视奇函数中的隐含条件f(0)＝0.
随堂演练

1.下列各图中，表示以x为自变量的奇函数的图象是
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2.设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，若x1<0且x1＋x2>0，则A.f(－x1)>f(－x2)B.f(－x1)＝f(－x2)C.f(－x1)√
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3.已知定义在R上的奇函数f(x)，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则不等式f(2x＋1)＋f(1)≥0的解集是A.(－∞，1) B.(－1，＋∞)C.[－1，＋∞) D.(－∞，1]
√
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因为函数f(x)是奇函数，所以不等式f(2x＋1)＋f(1)≥0等价于f(2x＋1)≥f(－1).又当x≥0时，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)在R上为增函数，所以f(2x＋1)≥f(－1)等价于2x＋1≥－1，解得x≥－1.
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4.已知函数f(x)＝|x3＋1|＋|x3－1|，则下列坐标表示的点一定在函数f(x)的图象上的是A.(－a，－f(a)) B.(a，f(－a))C.(a，－f(a)) D.(－a，－f(－a))
√
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∵f(－x)＝|－x3＋1|＋|－x3－1|＝|x3－1|＋|x3＋1|＝f(x)，且f(x)的定义域为R，∴f(x)为偶函数.∵点f(a，f(a))一定在函数f(x)的图象上，又f(a)＝f(－a)，∴点(a，f(－a))也一定在函数f(x)的图象上.
5.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x＋2)<5的解集是________.
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f(x)是偶函数，x∈R，由题意知，f(x)的图象如图所示.
5
当x≥0时，令f(x)＝5，即x2－4x＝5，解得x＝5，则f(x)<5的解集为(－5,5)，f(x)的图象向左平移两个单位长度后得到f(x＋2)的图象，所以f(x＋2)<5的解集为(－7,3).
(－7,3)
课时对点练

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1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，则f(2)的值是A.0 B.1 C.2 D.4
√
由题意得f(2)＝f(0＋2)＝f(0)＝0.
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2.已知f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(2,5)上A.单调递增 B.单调递减C.有增有减 D.增减性不确定
√
由f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，得m＝0，所以f(x)＝－x2＋3，画出函数f(x)＝－x2＋3的图象(图略)知，f(x)在区间(2,5)上单调递减.
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∵f(x)＝f(4－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，
又∵函数f(x)为奇函数，
4.已知偶函数y＝f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，且图象经过点(－1,0)和(3,5)，则当x∈[－3，－1]时，函数y＝f(x)的值域是A.[0,5] B.[－1,5]C.[1,3] D.[3,5]
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偶函数满足f(x)＝f(|x|)，根据这个结论，
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6.(多选)若函数y＝f(x)是偶函数，定义域为R，且该函数的图象与x轴的交点有3个，则下列说法正确的是A.3个交点的横坐标之和为0B.3个交点的横坐标之和不是定值，与函数解析式有关C.f(0)＝0D.f(0)的值与函数解析式有关
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(－4，－2)∪(0,2)
7.已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(－4,4)，且在(－4,0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f(x)·g(x)<0的解集是__________________.
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设h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)，所以h(x)是奇函数，
由图象可知，当－40，g(x)<0，即h(x)<0，
当00，即h(x)<0，所以h(x)<0的解集为(－4，－2)∪(0,2).
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∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.
即f(－x)＝f(1＋x).
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∴f(2)＝f(1＋1)＝f(－1)＝－f(1)＝0，f(3)＝f(1＋2)＝f(－2)＝－f(2)＝0，同理，f(4)＝f(5)＝0.∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.
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(1)求f(2)的值；
根据题意，得函数f(x)为奇函数，
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(2)用定义法判断y＝f(x)在区间(－∞，0)上的单调性；
在(－∞，0)上任取x1，x2，且x1又由x1－1<0，x2－1<0，x2－x1>0，可得f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).由定义可知，函数y＝f(x)在区间(－∞，0)上单调递减.
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(3)求当x>0时，f(x)的解析式.
由函数f(x)为奇函数知f(x)＝－f(－x)，
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10.已知函数f(x)＝x2－mx(m>0)在区间[0,2]上的最小值为g(m).(1)求函数g(m)的解析式；
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此时g(m)＝f(2)＝4－2m.
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(2)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数h(x)为偶函数，且当x>0时，h(x)＝g(x).若h(t)>h(4)，求实数t的取值范围.
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因为当x>0时，h(x)＝g(x)，
易知函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，因为定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数h(x)为偶函数，且h(t)>h(4)，所以0<|t|<4，解得－41
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函数y＝f(x＋2)为偶函数，则函数y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称，函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，
12.若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是A.f(x)－1为奇函数 B.f(x)－1为偶函数C.f(x)＋1为奇函数 D.f(x)＋1为偶函数
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∵对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，令x1＝x2＝0，得f(0)＝－1.令x1＝x，x2＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＋1.∴f(x)＋1＝－f(－x)－1＝－[f(－x)＋1]，∴f(x)＋1为奇函数.
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13.设定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为A.{x|－11}B.{x|x<－1或01}D.{x|－1√
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∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
f(－x)＝－f(x)，x[f(x)－f(－x)]<0，∴xf(x)<0，又f(1)＝0，∴f(－1)＝0，从而有函数f(x)的图象如图所示.则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为{x|－11
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若x>0，则－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2x＝x2＋2x＝f(x)，同理可得，当x<0时，f(－x)＝f(x)，且x＝0时，f(0)＝f(0)，所以f(x)是偶函数.因为当x>0时，函数f(x)单调递增，所以不等式f(x－1)0，解得x>0或x<－2.
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15.已知函数f(x)是R上的偶函数，且对任意的x∈R有f(x＋3)＝－f(x)，当x∈(－3,0)时，f(x)＝2x－5，则f(8)等于A.－1 B.－9 C.5 D.11
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根据题意，函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，则f(8)＝f(2)，由函数f(x)为偶函数，得f(2)＝f(－2).当x∈(－3,0)时，f(x)＝2x－5，则f(－2)＝2×(－2)－5＝－9.则f(8)＝f(2)＝f(－2)＝－9.
(1)求f(－1)，并证明函数y＝f(x)是偶函数；
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得f(1)＝f(x)－f(x)＝0，再令x＝1，y＝－1，可得f(－1)＝f(1)－f(－1)，得2f(－1)＝f(1)＝0，所以f(－1)＝0，令y＝－1，可得f(－x)＝f(x)－f(－1)＝f(x)，又该函数的定义域关于原点对称，所以f(x)是偶函数.
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因为f(2)＝1，又该函数为偶函数，所以f(－2)＝1.因为函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，
所以f(|2x－4|)≤f(2)，
解得2