第二章 函数（A卷·知识通关练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（北师大版2019必修第一册）

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第二章 函数（A卷·知识通关练）
核心知识1 函数定义的理解
1．（2022·全国·高一课时练习）若函数的定义域M＝{x|}，值域为N＝{y|}，则函数的图象可能是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用函数的定义，数形结合即可对选项进行判断.
【详解】A中定义域是{x|－2≤x≤0}，不是M＝{x|－2≤x≤2}，故错误；
C中图象不表示函数关系，因为存在一个对应两个，不满足函数定义；
D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}.只有中的定义域和值域满足题意，且表示函数关系，符合题意.
故选：B.
2．（2021·江苏·扬州大学附属中学高一期中）下列关系中，不是的函数的是（       ）
x
1
2
3
4
y
0
0
-6
11
A． B． C． D．

【答案】A
【分析】根据函数的定义即可判断．
【详解】对于A，因为不等式组 解集为，而函数的定义域不能为空集，故A不是函数；
对于B，因为，对于任意一个实数，都有唯一一个实数与之对应，满足函数的定义，故B是函数；
对于C，当时，，当时，能满足函数的定义，故C是函数；
对于D，满足构成函数的要素，故D是函数，
故选：A

核心考点2 求函数的定义域
题型一、具体函数的定义域
1．（2021·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）函数的定义域为（       ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【分析】根据函数解析式有意义的要求列不等式求函数定义域.
【详解】由函数解析式有意义可得
且，
所以函数的定义域是且，
故选：D.
2．（2022·全国·高一单元测试）函数的定义域为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，以及零次幂的底数不等于0，建立不等式组，求解即可.
【详解】解：由已知得，解得且，
所以函数的定义域为，
故选：B.

题型二、抽象函数的定义域
1．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______；
（2）已知函数的定义域为，则的定义域为______．
【答案】         
【分析】（1）由题意，根据，解不等式即可得答案；
（2）由题意，得，即的定义域为，进而根据，解不等式即可得答案.
【详解】解:（1）因为函数的定义域为，
所以，即，所以，
所以函数的定义域为．
（2）因为函数的定义域为，即，
所以，即的定义域为，
所以，解得，
所以函数的定义域为．
故答案为：（1）；（2）.
2．（2022·全国·高一期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.
【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为.
故选：C.

核心考点3 同一个函数的判断
1．（2021·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）在下列四组函数中，与表示同一函数的是（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根据题意，先看函数的定义域是否相同，再观察两个函数的对应法则是否相同，即可得到结论.
【详解】对于A中，函数的定义域为，而函数的定义域为，所以两个函数不是同一个函数；
对于B中，函数的定义域和对应法则完全相同，所以是同一个函数；
对于C中，函数的定义域为，而函数的定义域为 ，所以两个函数不是同一个函数；
对于D中，函数的定义域为，
而函数的定义域为，所以不是同一个函数，
故选：B

2．（多选题）（2022·重庆市巫山大昌中学校高一期末）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（       ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】ACD
【分析】根据两个函数为同一函数的定义，对四个选项逐个分析可得答案.
【详解】对于A，，，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故A正确；
对于B，，，两个函数的定义域不同，所以两个函数不为同一函数，故B不正确；
对于C，，，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故C正确；
对于D，与的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故D正确.
故选：ACD

核心考点4 与求值有关的问题
题型一、已知自变量，求函数值
1．（2020·全国·高一课时练习）已知函数，则的值为（       ）
A．5 B．8 C．10 D．16
【答案】C
【分析】先利用换元法求出，再求的值.
【详解】解：令，则，
所以，即，
所以，
故选：C．
【点睛】此题考查求函数值，解题的关键是用换元法求解函数解析式，属于基础题.
2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则___________.
【答案】9
【分析】根据函数解析式直接求解即可.
【详解】解：根据题意，
故答案为：9
3．（2022·全国·高一课时练习）若函数的图象经过点，则（　　）
A． B．3 C．9 D．8
【答案】B
【分析】将代入函数解析式，即可求出，即可得解函数解析式，再代入求值即可.
【详解】解：由题意知，所以，即，
所以，所以，所以.
故选：B
4．（2022·广东·普宁市华美实验学校高一阶段练习）已知函数为R上的奇函数，当时，，则等于（       ）
A． B． C．1 D．3
【答案】C
【分析】根据以及可求出结果.
【详解】因为函数为R上的奇函数，当时，，
所以．
而，∴．
故选：C
题型二、已知函数值，求自变量
1．（2022·全国·高一专题练习）设函数，若，则实数的值为_____．
【答案】
【分析】根据已知条件及分段函数分段处理的原则即可求解.
【详解】由题意知，；
当时，有，解得(舍去)；
当时，有，解得(舍去)或．
所以实数的值是：．
故答案为：.

题型三、求函数的值域：
常用方法：单调性法、图象法、配方法、换元法、分离常数法、判别式法
1．（山西省2023届高三上学期第一次摸底数学试题），，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由根式的性质求定义域得集合，由二次函数性质求值域得集合，应用集合交运算求结果.
【详解】由题设或，，
所以.
故选：A
2．（2022·全国·高一课时练习）求下列函数的值域：
(1)；
(2)
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）将代入求解即可；
（2）形如的函数常用分离常数法求值域，，其值域是.
（3）根据二次函数的顶点式求解值域，再结合根式的定义域求解即可.
（4）形如的函数常用换元法求值域，先令，用t表示出x，并注明t的取值范围，再代入原函数将y表示成关于t的二次函数，最后用配方法求值域．
（1）
因为，，，，，所以函数的值域为．
（2）
因为，且，所以，所以函数的值域为．
（3）
因为，所以，所以函数的值域为.
（4）
设（换元），则且，令.
因为，所以，即函数的值域为
3．（2022·全国·高一课时练习）函数在区间上的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用换元法以及对勾函数的单调性求解即可．
【详解】设，则问题转化为求函数在区间上的最大值．根据对勾函数的性质，得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以．
故选：B
题型四、已知函数的值域，求参数的取值范围
1．（2022·全国·高一期中）若函数的值域为，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】当时易知满足题意；当时，根据的值域包含，结合二次函数性质可得结果.
【详解】当时，，即值域为，满足题意；
若，设，则需的值域包含，
，解得：；
综上所述：的取值范围为.
故选：C.
2.（多选题）（2021·广东·西樵高中高一阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，则实数对的可能值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】先画出的图象，再根据其值域为，结合选项即可判断.
【详解】解：画出的图象如图所示：

由图可知：，
，
根据选项可知：当的定义域为，值域为时，
的可能值为，，.
故选：ABC.
核心考点6求函数的解析式
常用方法：待定系数法、换元法、配凑法、方程组法
1．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
（3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（4）已知，求的解析式．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）根据已知函数代入直接求解即可，
（2）利用换元法或配凑法求解，
（3）利用待定系数法求解，设，然后根据已知条件列方程求出即可，
（4）利用方程组法求解，用－x替换中的x，将得到的式子与原式子联立可求出.
【详解】（1）因为，所以．
（2）方法一   设，则，，即，
所以，所以．
方法二   因为，所以．
（3）因为是二次函数，所以设．由，得c＝1．
由，得，
整理得，
所以，所以，所以．
（4）用－x替换中的x，得，
由，
解得．
核心考点7分段函数的图象及性质
1．（2019·陕西·渭南市尚德中学高一阶段练习）函数

（1）画出函数的图像；
（2）求函数的单调区间.
【答案】(1)见解析 (2) 增区间为，减区间为，，
【分析】（1）根据解析式作出函数图象即可；
（2）根据图象分析函数的单调区间.
【详解】解：（1）函数的图像的图像如图所示：

（2）由函数图象可知函数的增区间为，；
减区间为，，；
【点睛】本题考查函数图象及其应用，属于基础题.
2．（2020·河南·巩义市第四高级中学高一阶段练习）已知函数．
（1）求的值；
（2）画出函数图象并写出单调区间；
（3）依据图象写出函数在区间的最值．
【答案】（1）0；（2）图象见解析，单调增区间有，单调减区间有；（3）最小值为，最大值为6．
【解析】（1）利用分段函数，直接代入求值即可；
（2）描点法分段画出函数图象，根据图象的升降情况即可得出函数的单调区间；
（3）根据（2）中的单调性即可求出函数的最值．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴；
（2）利用描点法得函数图象如图，

由图可知，函数的单调增区间为，单调减区间为；
（3）由图可知，
函数的最小值为，
函数的最大值为．
【点睛】本题主要考查分段函数的图象和性质，考查数形结合思想，属于基础题．

核心考点8 求函数的单调区间或证明单调性
1．（2020·全国·高一课时练习）下列图象表示的函数中，在R上是增函数的是（       ）1
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】观察图形，结合单调性的定义可以得到选项.
【详解】解：由图形可知：
A：在上单调递减，所以不正确；
B：在上单调递增，在上单调递增，但是在定义域上不单调，所以不真确；
C：在上单调递减，在上单调递增，不正确；
D：在上单调递增，正确；
故选：D
【点睛】本题考查由图形确定函数的单调性，属于基础题.
2．（2022·全国·高一专题练习）函数的单调增区间是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分离常数，然后根据图像平移得到函数图像，继而求出单调增区间.
【详解】
的图象是由的图象沿轴向右平移个单位，然后沿轴向下平移个单位得到， 如下图

的单调增区间是．
故选：C.
3．（2022·甘肃·兰州市第五十五中学高三开学考试（文））函数的单调增区间是（       ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【分析】由可得，即为偶函数，则当时，可得的单调区间，进而得到时，的单调区间，即可得到答案
【详解】解：由，
则为偶函数，的图像关于轴对称.
当时，，对称轴为，所以在上递增，在递减；
则当时，在递增，在递减，
则有的递增区间为.

故选：C
4．（2022·全国·高一课时练习）已知函数．判断在区间上的单调性，并用定义法证明；
【答案】单调递增，证明见解析
【分析】在所给区间内取，作函数值之差即，对式子进行化简，判断的正负即可得出结论；
证明：，，且，
则，
，
由，，得，
又由，得，
于是，即，
所以在区间上单调递增.

核心考点9函数单调性的应用
题型一、用单调性求参数范围
1．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上单调递增，则，的取值可以是（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】AC
【分析】分离常数得，若在单调递增，则满足，检验选项即可求解.
【详解】在上单调递增,则满足:,即,故，满足，，满足，
故选:AC
2．（2021·江苏·高一单元测试）函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（       ）
A．(－∞，1] B．(1，5) C．[1，5) D．[1，4]
【答案】D
【分析】由函数的单调性可求解．
【详解】因为对任意，都有成立，所以是减函数，
则，解得．
故选：D．

题型二、利用单调性解不等式
1．已知函数在上单调递减，则不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利根据函数的单调性及定义域将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】解：由题意，在上单调递减.
则由可得，解得，即原不等式的解集为.
故选：B.
2．（2022·湖北黄石·高一期末）已知函数是定义在R上的增函数，并且满足，．若，求的取值范围．
【答案】.
【分析】利用赋值法得，然后结合条件转化已知不等式为，最后根据单调性即得.
【详解】
由题意知，
，
∴由，可得，
又在R上单调递增，
∴，即，
∴的取值范围是．

题型三、用单调性比较大小
1．（2022·全国·高一课时练习）定义域为R的函数满足:对任意的，有，则有（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用函数的单调性，判断选项即可．
【详解】定义域在上的函数满足：对任意的，，有，
可得函数是定义域在上的增函数，
所以（1）（3）．
故选：．
2．（2022·全国·高一课时练习）函数在上是减函数，且为实数，则有（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用可排除ABD；根据函数单调性和恒成立可知C正确.
【详解】当时，ABD中不等式左右两侧均为，不等式不成立，ABD错误；
对于恒成立，即恒成立，又为上的减函数，
，C正确.
故选：C.

核心考点10 奇偶性的判断
1．（2020·广西·兴安县第二中学高一期中）已知函数 ，且.
(1)求m；
(2)判断的奇偶性；
【答案】(1)；
(2)函数为奇函数，证明见解析；
【分析】（1）代入，即可求解的值；
（2）由（1）得函数的定义域关于原点对称，结合，可证明函数为奇函数；
【详解】
解：∵，且
∴，解得.
（2）
解：函数为奇函数，
证明：由（1）得，定义域为，关于原点对称，
又，
所以函数为奇函数.
2．（2022·全国·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)奇函数
(2)既不是奇函数也不是偶函数
(3)既是奇函数又是偶函数
(4)偶函数
【分析】由奇偶性的定义对各个题一一判断即可得出答案.
（1）
的定义域是，关于原点对称，
又，所以是奇函数．
（2）
因为的定义域为，不关于原点对称，
所以既不是奇函数也不是偶函数．
（3）
因为的定义域为，所以，
则既是奇函数又是偶函数．
（4）
方法一（定义法）   因为函数的定义域为R，所以函数的定义域关于原点对称．
①当x＞1时，，所以；
②当时，；
③当时，，所以．
综上，可知函数为偶函数．
方法二（图象法）   作出函数的图象，如图所示，易知函数为偶函数．


核心考点11 奇偶性的应用
题型一、 利用奇偶性求参数
1．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（文））若函数为奇函数，则（       ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据奇函数的定义可得，整理化简可求得a的值，即得答案.
【详解】由函数为奇函数，可得，
所以，
所以，化简得恒成立，
所以，即,
经验证，定义域关于原点对称，且满足，故；
故选:A．
2．（2020·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）已知函数为偶函数，则________
【答案】
【分析】由偶函数的定义直接求解即可
【详解】因为函数为偶函数，
所以，即，
整理得，
因为
所以当时上式恒成立，
故答案为：0

题型二、 利用奇偶性求解析式
1．（2020·广西·兴安县第二中学高一期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________．
【答案】
【分析】首先当时，可知，结合已知条件求出，然后利用函数奇偶性求的解析式即可.
【详解】解：当时，则，
因为当时，，且是定义在上的奇函数，
所以，即，
故时，的解析式为.
故答案为：.
2．（2022·全国·高一课时练习）已知是偶函数，当时，，则当时，_________．
【答案】
【分析】根据偶函数的性质计算即可
【详解】由，则，且函数是偶函数，故当时，
故答案为：
题型三、 奇偶性与单调性的综合应用
1．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，在上单调递增且图像关于轴对称的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】根据单调性与奇偶性可得答案
【详解】关于A选项，函数为奇函数，其图像关于原点对称，故A错误；
关于B选项，函数为偶函数，其图像图像关于轴对称，且函数在上单调递增，故B正确；
关于C选项，函数的定义域是，故函数为非奇非偶函数，故C错误；
关于D选项，函数的定义域为，，所以函数为偶函数，当时，，所以函数在上单调递增，故D正确．
故选：BD.
2．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根据函数奇偶性的定义，结合幂函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】解：对于A，函数的定义域为，且，
所以函数为奇函数，根据幂函数的性质，可得函数在区间上单调递增，故A正确；
对于B，函数的定义域为，且，
所以函数为奇函数，易知在上单调递增，故B正确；
对于C，函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故C错误；
对于D，函数在区间上单调递减，故D错误.
故选：AB.
3．（2021·全国·高一课时练习）设偶函数 在区间 上单调递增， 则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性，将转化为，再利用函数单调性即可比较大小.
【详解】根据题意为偶函数，则，
又由函数 在区间 上单调递增，且,
所以，
所以，
故选：B．
4．（2022·全国·高一课时练习）已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】采用分离常数法和偶函数的性质可确定的单调性，结合可构造不等式求得结果.
【详解】，在上单调递减，又为偶函数，
，，，解得：或，
的解集为.
故选：D.
5．（2022·全国·高一课时练习）已知是定义在上的奇函数，当时，为增函数，且，那么不等式的解集是_______.
【答案】
【分析】把不等式化成不等式组，再利用函数的奇偶性、单调性求解作答.
【详解】因为奇函数，且在上是增函数，，
则在上是增函数，且，
不等式化为： 或 ，解得或，
所以不等式的解集是.
故答案为：
核心考点12 幂函数的概念的应用
题型一、判断是否为幂函数
1．（2022·全国·高一课时练习）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可
【详解】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个
故选：B
题型二、求幂函数的解析式
1．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图象过点，则______．
【答案】1
【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式即可计算作答.
【详解】依题意，设，为常数，则，解得，即，
所以.
故答案为：1
题型三、求幂函数的图象
1．（2021·全国·高一课时练习）下列四个图像中，函数的图像是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先判断函数的定义域，再根据幂函数的性质判断即可；
【详解】解：因为，即，所以，解得，即函数的定义域为，故排除A、C、D，且函数在定义域上单调递增，故B正确；
故选：B
2．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由已知条件求出幂函数的解析式，然后利用排除法可得其图象
【详解】设幂函数为，
因为幂函数的图象经过点，
所以，即，
解得，
所以，
则函数的定义域为，所以排除CD，
因为，所以在上为减函数，
所以排除B，
故选：A
题型四、幂函数恒过定点问题
1．（2022·全国·高一课时练习）下列命题正确的是（       ）
A．幂函数的图象都经过，两点
B．函数的图象经过第二象限
C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同
D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点
【答案】D
【分析】通过举反例可判断A、C项，根据幂函数的性质可判断B项，根据幂函数的性质集合偶函数的定义可判断D项.
【详解】解：对于A，幂函数的图象都经过点，当时，不过点，故A项错误；
对于B，的图象过第一、三象限，故B项错误；
对于C，与的图象有三个交点，这两个函数不相同，故C项错误；
对于D，因为幂函数的图象都经过点，所以幂函数为偶函数时，图象一定经过点，故D项正确．
故选：D．

核心考点13 幂函数的单调性
1．（2022·湖北黄石·高一期末）幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为______．
【答案】
【分析】利用幂函数的定义，幂函数的单调性列式计算作答.
【详解】因函数是幂函数，则，解得m=1或m=-3，
又函数在上单调递减，则，
所以实数m的值为-3.
故答案为：-3
2．（2022·全国·高一课时练习）已知，若函数在上单调递减，且为偶函数，则______．
【答案】
【分析】根据幂函数的单调性知，即可确定的可能值，讨论并判断对应奇偶性，即可得结果.
【详解】由题知：，
所以的值可能为，，．
当时，为偶函数，符合题意．
当时，为奇函数，不符合题意．
当时，，定义域为，则为非奇非偶函数，不符合题意．
综上，．
故答案为：

核心考点14 函数性质的综合应用
1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数
(1)证明：为偶函数；
(2)判断的单调性并用定义证明；
(3)解不等式
【答案】(1)证明见解析
(2)为上的增函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据奇偶性的定义证明即可；
（2）首先得到的解析式，再利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号，下结论的步骤完成即可；
（3）根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；
（1）
证明：的定义域为，
又，故为偶函数；
（2）
解：，所以为上的增函数，
证明： 任取，，且，






∵，∴，又，
∴，即，
∴为上的增函数；
（3）
解：不等式，
等价于
即，
∵为上的增函数，
∴，解得，故不等式的解集为.