北师大版高中数学必修第一册第五章函数应用章末检测含解析

章末检测(五)　函数应用

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．利用二分法求方程log3x＝5－x的近似解，可以取一个区间(　　)

A．(0，1)　　　　　　　 B．(1，2)

C．(2，3)  D．(3，4)

解析：选D　设函数f(x)＝log3x－(5－x)，因为f(3)＝1－2＝－1<0，f(4)＝log34－1>0，所以f(3)·f(4)<0，由零点存在定理可知函数f(x)在区间(3，4)上至少存在一个零点，故求方程log3x＝5－x的近似解可取区间(3，4)．故选D.

2．函数f(x)＝－x2＋1的零点个数是(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：选C　令f(x)＝－x2＋1＝0，得＝x2－1，则函数f(x)的零点个数，即y＝与y＝x2－1的交点个数，如图所示，

由图可知有两个交点，故函数f(x)＝－x2＋1有两个零点．

3．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：

不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是(　　)

A．(－3，－1)和(2，4)  B．(－3，－1)和(－1，1)

C．(－1，1)和(1，2)  D．(－∞，－3)和(4，＋∞)

解析：选A　因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以在(－3，－1)内必有根．又f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以在(2，4)内必有根．

4．已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有一个解，则实数λ的值是(　　)

A.  B．

C．－  D．－

解析：选C　∵f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，∴由f(x)为奇函数得f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，∴由题可知方程2x2＋1＝x－λ有唯一解，即2x2－x＋1＝－λ有唯一解．又2x2－x＋1＝2＋，∴可知－λ＝，∴λ＝－.

5．已知函数f(x)＝若方程f(x)－2x＝0恰有三个不同的实根，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－1，1)  B．[－1，2)

C．[－2，2)  D．[0，2]

解析：选B　令g(x)＝f(x)－2x，则由题意可得函数g(x)＝恰有三个不同的零点．如图，结合函数y＝－x＋2与y＝x2＋3x＋2的图象可知－1≤a<2.故选B.

6．一位设计师在边长为3的正方形ABCD中设计图案，他分别以A，B，C，D为圆心，b为半径画圆，形成了如图所示的图形，则图形中实线部分总长度的最小值为(　　)

A．π  B．2π

C．3π  D．4π

解析：选C　由题意知实线部分的总长度l＝4(3－2b)＋2πb＝(2π－8)b＋12，l是关于b的一次函数，因为2π－8<0，所以l＝(2π－8)b＋12在上单调递减，因此当b取时，l取得最小值，所以lmin＝(2π－8)×＋12＝3π.

7．已知函数f(x)＝2|x|＋x2＋a有唯一的零点，则实数a的值为(　　)

A．1  B．－1

C．0  D．－2

解析：选B　设函数g(x)＝2|x|＋x2，因为g(－x)＝g(x)，所以函数g(x)为偶函数．因为g(x)＝2|x|＋x2在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以g(x)≥g(0)＝1.因为f(x)＝2|x|＋x2＋a有唯一的零点，所以－a＝1，即a＝－1.

8．设函数f(x)＝其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.若直线y＝kx＋k(k>0)与函数y＝f(x)的图象恰有三个不同的交点，则实数k的取值范围是(　　)

A.  B．

C.  D.

解析：选D　如图，作出函数f(x)的图象和y＝kx＋k的大致图象，由题意，有解得≤k<.故选D.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

9．函数f(x)＝x3＋3x－2的一个正零点所在的区间不可能是(　　)

A．(3，4)  B．(2，3)

C．(1，2)  D．(0，1)

解析：选ABC　因为f(x)＝x3＋3x－2在R上是增函数，所以f(x)至多有一个零点．又因为f(0)＝－2<0，f(1)＝2>0，所以f(x)有且仅有一个零点且零点在(0，1)内，所以f(x)的正零点不可能在(3，4)，(2，3)，(1，2)内．故选A、B、C.

10．已知函数f(x)＝2x－logx，实数a，b，c满足a<b<c，且f(a)f(b)f(c)<0，若实数x0是函数f(x)的一个零点，则下列结论可能成立的是(　　)

A．x0>c  B．x0<c

C．x0>a  D．x0<a

解析：选ABC　由于函数f(x)＝2x－logx为区间(0，＋∞)上的增函数，且a<b<c，f(a)f(b)f(c)<0，则有如下两种情况：①f(a)<f(b)<f(c)<0；②f(a)<0<f(b)<f(c)．又x0是函数f(x)的一个零点，即f(x0)＝0，故当f(a)<f(b)<f(c)<0＝f(x0)时，由单调性，可得x0>c>b>a，当f(a)<0＝f(x0)<f(b)<f(c)时，可得c>b>x0>a.故选A、B、C.

11．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(f(x))＝0有8个不同的实根，则实数a的值可能为(　　)

A．－6  B．8

C．9  D．12

解析：选CD　当a≤0时，f(x)＝0仅有x＝0一根，故f(f(x))＝0有8个不同的实根不可能成立．

当a>0时，画出f(x)的大致图象如图所示，当f(f(x))＝0时，f1(x)＝－2a，f2(x)＝0，f3(x)＝a.

又f(f(x))＝0有8个不同的实根，故结合图象可知f1(x)＝－2a有3个不同的实根，f2(x)＝0有3个不同的实根，f3(x)＝a有2个不同的实根．

由f1(x)＝－2a有3个不同的实根，且y＝x2－ax＝－，可得－2a>－，解得a>8.

由f3(x)＝a有2个不同的实根，可得a<2a，解得a>0.

综上可知，a>8.故选C、D.

12．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－1，若函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)(a>1)在区间(－1，3)恰有3个不同的零点，则实数a的取值可以是(　　)

A．1  B．3

C．4  D．5

解析：选CD　由题意，函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－1，

则当x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]，函数f(x)＝f(－x)＝2－x－1，

又对任意x∈R，都有f(x－1)＝f(x＋1)，则f(x)＝f(x＋2)，

又函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)(a>1)在区间(－1，3)恰有3个不同的零点，即函数y＝f(x)与y＝loga(x＋2)的图象在区间(－1，3)上有3个不同的交点，

又由f(1)＝f(3)＝1，

则满足loga(1＋2)<1，且loga(3＋2)≥1，解得3<a≤5，

即实数a的取值可以是4，5.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．已知函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(m，m＋1)内，则整数m的值为________．

解析：因为f(x)＝e－x－2x－5为减函数，f(－2)＝e2－1>0，f(－1)＝e－3<0，所以f(x)＝e－x－2x－5存在唯一的零点x0，且x0∈(－2，－1)，所以m＝－2.

答案：－2

14．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝则函数y＝3[f(x)]2－f(x)的零点个数为________．

解析：函数y＝3[f(x)]2－f(x)的零点即方程3[f(x)]2－f(x)＝0的根，即f(x)＝0或f(x)＝的根．画出函数f(x)的图象和直线y＝，如图所示，

由图象可知方程f(x)＝0有5个根，方程f(x)＝也有5个根，所以函数y＝3[f(x)]2－f(x)的零点有10个．

答案：10

15．若关于x的方程＝kx有三个不等实数根，则实数k的取值范围是________．

解析：由题意可知k≠0，∵＝kx，∴kx2－2kx＝|x|.当x≥0时，kx2－2kx＝x，解得x＝0或x＝，∴>0，∴k>0或k<－；当x<0时，kx2－2kx＝－x，解得x＝0(舍去)或x＝，∴<0，

∴0<k<.综上，可知实数k的取值范围是.

答案：

16．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒 、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.

①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．

解析：(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付(60＋80)－10＝130(元)．

(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y元，

当y<120元时，李明得到的金额为y×80%，符合要求；

当y≥120元时，有(y－x)×80%≥y×70%恒成立，即8(y－x)≥7y，x≤，即x≤＝15(元)．

所以x的最大值为15.

答案：①130　②15

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)设函数f(x)＝求函数g(x)＝f(x)－的零点．

解：求函数g(x)＝f(x)－的零点，即求方程f(x)－＝0的根．

当x≥1时，由2x－2－＝0得x＝；

当x<1时，由x2－2x－＝0得x＝(舍去)或x＝.

∴函数g(x)＝f(x)－的零点是和.

18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2|x－1|－x＋1.

(1)请画出函数f(x)的图象；

(2)根据函数f(x)的图象回答下列问题：

①求函数f(x)的单调区间；

②求函数f(x)的值域；

③求关于x的方程f(x)＝2在区间[0，2]内解的个数．

解：(1)当x－1≥0，即x≥1时，

f(x)＝2(x－1)－x＋1＝x－1；

当x－1<0，即x<1时，f(x)＝2(1－x)－x＋1＝3－3x.

f(x)的图象如图所示．

(2)①函数f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)；函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1]．

②函数f(x)的值域为[0，＋∞)．

③方程f(x)＝2在区间[0，2]内解的个数为1.

19．(本小题满分12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的16%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．

(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型；

(2)如果业务员老张获得5.6万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？

解：(1)由题意得y＝

(2)由x∈(0，10]时，0.16x≤1.6，而y＝5.6，可知x＞10.

∴1.6＋2log5(x－9)＝5.6，解得x＝34(万元)．

∴老张的销售利润是34万元．

20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)＞0，f(1)＞0，证明a＞0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0，1]内有两个实根．

证明：∵f(1)＞0，∴f(1)＝3a＋2b＋c＞0，

即3(a＋b＋c)－b－2c＞0.

∵a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，－b－2c＞0，

∴－b－c>c，即a>c.

∵f(0)＞0，∴f(0)＝c>0，∴a>0.

取区间[0，1]的中点，

则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a＜0.

∵f(0)＞0，f(1)＞0，

∴函数f(x)在区间和上各有一个零点．

又f(x)为二次函数，最多有两个零点，

∴f(x)＝0在[0，1]内有两个实根．

21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1.

(1)当函数f(x)有两个零点时，求m的取值范围；

(2)当函数f(x)有两个零点，且其中一个大于1，另一个小于1时，求m的取值范围．

解：(1)因为函数f(x)有两个零点，所以方程f(x)＝0有两个不相等的实数根，所以2(m＋1)≠0，Δ＝16m2－4×2(m＋1)(2m－1)>0，解得m<1且m≠－1.故m的取值范围为{m|m<1且m≠－1}．

(2)当f(x)有两个零点，且其中一个大于1，另一个小于1时，有或解得－1<m<－，故m的取值范围为.

22．(本小题满分12分)改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现金支出、社会支出、政府支出，如表为2012年—2015年我国卫生费用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用(单位：亿元)和在卫生总费用中的占比．

(数据来源于国家统计年鉴)

(1)指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势；

(2)设t＝1表示1978年，第n年卫生总费用与年份t之间拟合函数f(t)＝，研究函数f(t)的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．

解：(1)由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多．

(2)∵y＝e6.442 0－0.113 6t是减函数，且y＝e6.442 0－0.113 6t＞0，

∴f(t)＝在N＋上单调递增．

令＞120 000，解得t>50.68，

∴当t≥51时，我国卫生总费用超过12万亿，

∴预测我国到2028年卫生总费用首次超过12万亿．