2020-2021学年1.5 全称量词与存在量词测试题

全称量词与存在量词

[A级　基础巩固]

1．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　)

A．∃x>1，x2－2x－3＝0

B．若2x为偶数，则x∈N

C．所有菱形的四条边都相等

D．π是无理数

解析：选C　对于A，是存在量词命题，故A不正确；

对于B，是假命题，故B不正确；

对于C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；

对于D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确，故选C.

2．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则(　　)

A．∀x∈Q，有x∈P　　 　 B．∀x∉Q，有x∉P

C．∃x∉Q，使得x∈P  D．∃x∈P，使得x∉Q

解析：选B　∵P∩Q＝P，∴P⊆Q，如图，

∴A错误；B正确；C错误；D错误．故选B.

3．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　)

A．锐角三角形的内角是锐角或钝角

B．至少有一个实数x，使x2≤0

C．两个无理数的和必是无理数

D．存在一个负数x，使>2

解析：选B　A是全称量词命题．

B项为存在量词命题，当x＝0时，x2＝0成立，所以B正确．

因为＋(－)＝0，所以C为假命题．

对于任何一个负数x，都有<0，所以D错误．故选B.

4．(多选)下列命题中是真命题的是(　　)

A．∀x∈R，2x2－3x＋4＞0

B．∀x∈{1，－1，0}，2x＋1＞0

C．∃x∈N，使≤x

D．不存在x∈N*，使x为29的约数

解析：选AC　∀x∈R，2x2－3x＋4＞0，因为Δ＝(－3)2－4×2×4＜0，故A正确；∀x∈{1，－1，0}，2x＋1＞0，若x＝－1，则2x＋1＝－1＜0，故B错误；∃x∈N，使≤x，取x＝4∈N，有≤4成立，故C正确；1，29都是29的约数，故D错误．故选A、C.

5．(多选)命题“∀1≤x≤3，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(　　)

A．a≥9  B．a≥11

C．a≥10  D．a≤10

解析：选BC　当该命题是真命题时，只需当1≤x≤3时，a≥(x2)max.因为1≤x≤3时，y＝x2的最大值是9，所以a≥9.因为a≥9⇒/ a≥10，a≥10⇒a≥9，又a≥9⇒/ a≥11，a≥11⇒a≥9，故选B、C.

6．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．

解析：对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.

答案：{a|a≤3}

7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2＞0”用“∃”写成存在量词命题为________．

解析：存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．

答案：∃x＜0，(1＋x)(1－9x)2＞0

8．下列存在量词命题是真命题的序号是________．

①有些不相似的三角形面积相等；

②存在实数x，使x2＋2<0;

③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；

④有一个实数的倒数是它本身．

解析：①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x∈R，x2＋2＞0，所以不存在实数x，使x2＋2<0，为假命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题．故真命题的序号是①③④.

答案：①③④

9．用量词符号“∀”“∃”表示下列命题：

(1)任意一个实数乘以－1都等于它的相反数；

(2)对任意实数x，都有x3＞x2；

(3)某个四边形不是平行四边形．

解：(1)∀x∈R，x·(－1)＝－x.

(2)∀x∈R，x3＞x2.

(3)∃x∈{x|x是四边形}，x不是平行四边形．

10．指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假：

(1)存在一个三角形没有外接圆；

(2)∃x∈R，＜0；

(3)存在实数x，＝－x.

解：(1)存在一个三角形没有外接圆，是存在量词命题，命题为假命题．

(2)存在量词命题．非负数有算术平方根，且仍为非负数，所以该命题为假命题．

(3)存在量词命题．当x＜0时，＝－x，所以该命题为真命题．

[B级　综合运用]

11．下列说法正确的是(　　)

A．对所有的正实数t，有＜t

B．存在实数x，使x2－3x－4＝0

C．不存在实数x，使x＜4且x2＋5x－24＝0

D．任意实数x，使得|x＋1|≤1且x2＞4

解析：选B　t＝时， ＞t，所以A选项错；由x2－3x－4＝0，得x＝－1或x＝4，因此当x＝－1或x＝4时，x2－3x－4＝0，故B选项正确；由x2＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，所以C选项错；x＝0时，x2>4不成立，所以D选项错．

12．已知“∀x∈{x|0≤x≤2}，m＞x”和“∃x∈{x|0≤x≤2}，n＞x”均为真命题，那么m，n的取值范围分别是(　　)

A．m＞0，n＞0  B．m＞0，n＞2

C．m＞2，n＞0  D．m＞2，n＞2

解析：选C　由“∀x∈{x|0≤x≤2}，m＞x”是真命题，可得m＞2；由“∃x∈{x|0≤x≤2}，n＞x”是真命题，可得n＞0.

13．已知p(x)：x2＋2x－m＞0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．

解析：由p(1)是假命题，p(2)是真命题，得解得3≤m＜8.

答案：3≤m＜8

14．设语句q(x)：|x－1|＝1－x.

(1)写出q(1)，q(2)，并判断它们是不是真命题；

(2)写出“∀a∈R，q(a)”，并判断它是不是真命题；

(3)写出“∃a∈R，q(a)”，并判断它是不是真命题．

解：(1)q(1)：|1－1|＝1－1，真命题．

q(2)：|2－1|＝1－2，因为|2－1|＝1，1－2＝－1，

所以|2－1|≠1－2，假命题．

(2)∀a∈R，|a－1|＝1－a，由(1)知，q(2)为假命题，所以“∀a∈R，|a－1|＝1－a”为假命题．

(3)∃a∈R，|a－1|＝1－a，由(1)知，q(1)为真命题，所以“∃a∈R，|a－1|＝1－a”为真命题．

[C级　拓展探究]

15．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅.

(1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；

(2)命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．

解：(1)由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，

所以B⊆A，B≠∅，

所以解得2≤m≤3.

(2)q为真，则A∩B≠∅，

因为B≠∅，所以m≥2.

所以解得2≤m≤4.