人教B版 (2019)必修 第二册6.1.3 向量的减法学案及答案

向量的减法

【学习目标】

1．理解向量减法的含义，了解向量加法和减法是互为逆运算；

2．掌握向量的减法运算，理解向量减法的几何意义，掌握作两向量差的方法；

3．体会转化思想，类比思想，分类讨论思想和数形结合思想。

【学习重难点】

重点:向量减法的定义 ；向量减法的运算。

难点:对向量减法定义的理解；差向量方向的确定。

【学习过程】

一、问题导学

1．向量加、减法的基本运算

活动与探究1

化简下列各式：

（1）－＋－；

（2）－＋；

（3）－－；

（4）＋＋－。

迁移与应用

如图，向量＝a，＝b，＝c，则向量可以表示为(　　)。

A．a＋b－c          B．a－b＋c

C．b－a＋c          D．b＋a－c

向量加减运算的方法步骤：

（1）观察向量的表示形式，若用小写字母表示，要采用合并同类项的方法化简；

（2）通过添、去括号或利用相反向量的性质重组；

（3）转化为首尾相连且求和的形式，或者起点相同且求差的形式；

（4）利用三角形法则化为最简形式。

2．用已知向量表示其他向量

活动与探究2

如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及。

迁移与应用

若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(　　)。

A．＝＋

B．＝－

C．＝－＋

D．＝－－

用已知向量表示其他向量的基本思路：

（1）充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则；

（2）表示向量时要考虑以下问题：它是某个平行四边形的对角线吗？是否可以找到由起点到终点的恰当途径？

（3）必要时可直接用向量求和的多边形法则。

3．向量和与差的模

活动与探究3

若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为__________，|a－b|的最大值为__________。

迁移与应用

1．已知向量a，b满足|a|＝3，|a＋b|＝|a－b|＝5，则|b|＝________。

2．在△ABC中，∠C＝90°，||＝5，||＝12，设a＝，b＝，则a－b的大小是________，a－b的方向是________。

两个向量的和与差的模满足||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，只有当a与b共线时，等号才有可能成立。在这里，应注意：|a|－|b|与|a－b|的最小值是不一样的，前者可能为负，而后者一定非负。

【达标检测】

1．在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则－等于(　　)。

A．      B．      C．      D．

2．下列等式中正确的个数是(　　)。

①a－0＝a；②b＋a＝a＋b；③－(－a)＝a；④a＋(－a)＝0；⑤a＋(－b)＝a－B．

A．2      B．3      C．4      D．5

3．若向量a与b反向，且|a|＝|b|＝1，则|a－b|等于(　　)。

A．0      B．1      C．      D．2

4．＋－＝__________。

5．如图所示，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为r1，r2，r3，求。

【学习小结】

【参考答案】

课前预习导学

预习导引

1．相等　相反　－a　零向量

a　0　－b　－a　0

预习交流1　

提示：不同。相反数是两个数的符号正负相反，大小相等；相反向量是两向量方向相反，大小相等。

预习交流2

2．相反向量　差　向量b的终点　向量a的终点

预习交流3　

（1）　（2）　（3）　（4）　（5）

课堂合作探究

一、问题导学

活动与探究1　

解：（1）－＋－＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.

（2）－＋＝＋(＋)＝＋＝0.

（3）－－＝－(＋)＝－＝。

（4）＋＋－＝＋＋＋＝0.

迁移与应用　C

活动与探究2

解：∵四边形ACDE为平行四边形，

∴＝＝C．

＝－＝b－a，

＝－＝c－a，

＝－＝c－b，

∴＝＋＝b－a＋C．

迁移与应用　B

活动与探究3

　4　20　

解析：设a＝，b＝，则当a与b同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|，|a－b|＝||a|－|b||；

当a与b反向时， |a＋b|＝||a|－|b||，|a－b|＝|a|＋|b|；

当a与b不共线时，||a|－|b||＜|a＋b|＜|a|＋|b|，||a|－|b||＜|a－b|＜|a|＋|b|，如图所示。

因此当a与b共线且反向时，|a＋b|取最小值为12－8＝4；当a与b共线且反向时，|a－b|取最大值为12＋8＝20.

迁移与应用　

1．4　解析：

∵|a＋b|＝|a－b|，∴以a，b为邻边的四边形为矩形。

又∵|a|＝3，

则|b|＝＝4．

2．13　由B指向A

解析：a－b即向量，a－b的大小即线段AB的长度，在Rt△ABC中，∠C＝90°，||＝5，||＝12，所以|AB|＝13，方向由B指向A．

【达标检测】

1．D　2．C　3．D　4．0

5．解：＝＋＝r1＋＝r1＋－＝r1＋r3－r2．