高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.1.3 向量的减法教学设计及反思

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【教学过程】
一、新知初探
探究点1：
向量减法的几何意义
例1：如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c．
解：法一：（几何意义法）如图①所示，在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，则eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋b，再作eq \(OC,\s\up6(→))＝c，则eq \(CB,\s\up6(→))＝a＋b－c．
法二：（定义法）如图②所示，在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，则eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋b，再作eq \(BC,\s\up6(→))＝－c，连接OC，则eq \(OC,\s\up6(→))＝a＋b－c．
eq \a\vs4\al()规律方法：
求作两个向量的差向量的两种思路
（1）可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋（－b）即可．
（2）也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
探究点2：
向量加减法的运算及简单应用
例2：（1）化简：①eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝________；
②eq \(AB,\s\up6(→))＋（eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))）＋eq \(DC,\s\up6(→))＝________；
③eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(CO,\s\up6(→))＝________．
（2）如图，①用a，b表示eq \(DB,\s\up6(→))；
②用b，c表示eq \(EC,\s\up6(→))．
解：（1）①eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋（eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))）＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝0；
②eq \(AB,\s\up6(→))＋（eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))）＋eq \(DC,\s\up6(→))＝（eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))）＋（eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))）＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝0；
③eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(CO,\s\up6(→))＝（eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))）－（eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(CO,\s\up6(→))）＝eq \(AB,\s\up6(→))．
故填①0，eq \a\vs4\al(②)0，eq \a\vs4\al(③)eq \(AB,\s\up6(→))．
（2）因为eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(CD,\s\up6(→))＝b，eq \(DE,\s\up6(→))＝c．
①eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))＝－eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))＝－a－b．
②eq \(EC,\s\up6(→))＝－eq \(CE,\s\up6(→))＝－（eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))）＝－b－c．
eq \a\vs4\al()规律方法：
（1）向量减法运算的常用方法
（2）向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和．
②起点相同且为差．
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．
（3）与图形相关的向量运算化简
首先要利用向量加减的运算法则、运算律，其次要分析图形的性质，通过图形中向量相等、平行等关系辅助化简运算．
探究点3：
向量减法几何意义的应用
例3：已知|eq \(AB,\s\up6(→))|＝6，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝9，求|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))|的取值范围．
解：因为||eq \(AB,\s\up6(→))|－|eq \(AD,\s\up6(→))||≤|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))|≤|eq \(AB,\s\up6(→))|＋|eq \(AD,\s\up6(→))|，
且|eq \(AD,\s\up6(→))|＝9，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝6，
所以3≤|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))|≤15．
当eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))同向时，|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))|＝3；
当eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))反向时，|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))|＝15．
所以|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))|的取值范围为[3，15]．
互动探究
[变条件，变问法]将本例的条件改为“|eq \(AB,\s\up6(→))|＝8，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝5”，求|eq \(BD,\s\up6(→))|的取值范围．
解：因为eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝8，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝5，
||eq \(AD,\s\up6(→))|－|eq \(AB,\s\up6(→))||≤|eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))|≤|eq \(AD,\s\up6(→))|＋|eq \(AB,\s\up6(→))|，
所以3≤|eq \(BD,\s\up6(→))|≤13，
当eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AD,\s\up6(→))同向时，|eq \(BD,\s\up6(→))|＝3，
当eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AD,\s\up6(→))反向时，|eq \(BD,\s\up6(→))|＝13，
所以|eq \(BD,\s\up6(→))|的取值范围是[3，13]．
eq \a\vs4\al()规律方法：
（1）用向量法解决平面几何问题的步骤
①将平面几何问题中的量抽象成向量．
②化归为向量问题，进行向量运算．
③将向量问题还原为平面几何问题．
（2）用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键
①利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可．
②根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键．
二、课堂总结
1．一般地，平面上任意给定两个向量a，b，如果向量x能够满足b＋x＝a，则称x为向量a与b的差，并记作x＝a－b．在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，作出向量eq \(BA,\s\up6(→))，注意到eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))，因此向量eq \(BA,\s\up6(→))就是向量a与b的差（也称eq \(BA,\s\up6(→))为向量a与b的差向量），即eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))．上述求两向量差的作图方法也常称为向量减法的三角形法则．
2．给定一个向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量，向量a的相反向量记作－a．因为零向量的始点与终点相同，所以－0＝0．
不难看出，a＋（－a）＝0，eq \(AB,\s\up6(→))＋（－eq \(AB,\s\up6(→))）＝0．
向量的减法可以看成向量加法的逆运算，即a－b＝a＋（－b）．
■名师点拨
相反向量与相等向量一样，都从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．
三、课堂检测
1．在平行四边形ABCD中，eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))等于（ ）
A．eq \(AB,\s\up6(→))B．eq \(BA,\s\up6(→))
C．eq \(CD,\s\up6(→))D．eq \(DB,\s\up6(→))
解析：选A．eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))．
2．下列等式：
①0－a＝－a；②－（－a）＝a；③a＋（－a）＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋（－b）；⑥a＋（－a）＝0．正确的个数是（ ）
A．3B．4
C．5D．6
解析：选C．由向量减法、相反向量的定义可知①②③④⑤都正确；⑥错误．
3．化简eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→))＝________．
解析：eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→))
＝（eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))）＋（eq \(DB,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→))）
＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))
＝0．
答案：0
4．已知eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，若|eq \(OA,\s\up6(→))|＝5，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝12，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________．
解析：如图，在矩形OACB中，eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))，则|a－b|＝|eq \(BA,\s\up6(→))|＝eq \r(|a|2＋|b|2)＝eq \r(52＋122)＝13．
答案：13教学重难点
教学目标
核心素养
相反向量
理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义
数学抽象
向量的减法
掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算
数学运算
与向量加法的关系
能将向量的减法运算转化为向量的加法运算
数学建模、逻辑推理