6.1.3向量的减法（课件+学案+练习）

6.1.3　向量的减法

最新课程标准

借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算及运算规则，理解其几何意义．

知识点一　相反向量

与a长度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作________.

(1)零向量的相反向量仍是零向量，即－0＝0.

(2)任一向量与其相反向量的和是零向量，即a＋(－a)＝________.

(3)如果a，b是互为相反的向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.

知识点二　向量的减法

(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的________．

(2)几何意义：已知a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，即a－b可以表示为____________指向____________的向量．

状元随笔　1.准确理解向量减法的几何意义

(1)向量减法是向量加法的逆运算．

设＋＝，则＝－，

如图，设 ＝， ＝.

由向量加法的三角形法则可知

＝ ＋，

∴ ＝ － ＝－.

(2)对于两个共起点的向量，它们的差就是连接这两个向量的终点，方向指向被减的向量．

(3)以向量＝，＝为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝＋， ＝－， ＝－.

2．若，是不共线向量，|＋|与|－|的几何意义比较，如图所示，设＝，＝.根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则，有＝＋，＝－.因为四边形OACB是平行四边形，所以|＋|＝||，|－|＝||分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长．

基础自测

1.非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是(　　)

A．m＝n　　　B．m＝－n

C．|m|＝|n|     D．方向相反

2．在三角形ABC中，＝a，＝b，则＝(　　)

A．a－b　　　B．b－a    C．a＋b　　　D．－a－b

3.－＝________．

4．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则可用a，b，c表示为________.

题型1　已知向量作差向量[经典例题]

例1　如图，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d.

教材反思

求作两个向量的差向量的两种思路

(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．

(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．

跟踪训练1　如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.

先作－，再作－－.　

题型2　向量的减法运算[经典例题]

例2　化简(－)－(－).

【解析】　方法一(统一成加法)　(－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝0.

方法二(利用－＝)　(－)－(－)＝－－＋＝(－)－＋＝－＋＝＋＝0.

方法三(利用＝－)　设O是平面内任意一点，则(－)－(－)＝－－＋＝(－)－(－)－(－)＋(－)＝－－＋－＋＋－＝0.

方法归纳

1．向量减法运算的常用方法

2．向量加减法化简的两种形式

(1)首尾相连且为和．

(2)起点相同且为差．

解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．

跟踪训练2　在四边形ABCD中，－－＝________．

结合图形利用减法运算法则求．

题型3　利用已知向量表示未知向量[教材P143例1]

例3　已知平行四边形ABCD中，＝a，＝b，用a，b分别表示向量，.

教材反思

利用已知向量表示其他向量的思路

解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正确运用向量加法、减法和共线(相等)向量，要注意向量的方向及运算式中向量之间的关系．当运用三角形法则时，要注意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法．

常用结论：任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和(差)，即＝＋以及＝－ (M，N均是同一平面内的任意点).

跟踪训练3　如图，解答下列各题：

(1)用a，d，e表示；

(2)用b，c表示；

(3)用a，b，e表示；

(4)用d，c表示.

状元随笔　利用三角形法则，用已知向量表示未知向量．

6．1.3　向量的减法

新知初探·自主学习

知识点一

－a　(2)0

知识点二

(1)相反向量　(2)从向量b的终点　向量a的终点

[基础自测]

1．解析：零向量m与n是相反向量，则有m＝－n，|m|＝|n|.

答案：A

2．解析：＝－＝－－＝－a－b．

答案：D

3．解析：－＝.

答案：

4．解析：＝－＝＋－＝a－b＋c．

答案：a－b＋c

课堂探究·素养提升

例1　【解析】　作法，如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d．则＝a－b，＝c－d．

跟踪训练1　

解析：如图所示，以A为起点分别作向量和＝b．连接CB，得向量＝a－b，再以C为起点作向量，使＝c，连接DB，得向量＝(a－b)－c．则向量即为所求作的向量a－b－c.

跟踪训练2　解析：－－＝＋＋＝(＋)＋＝＋＝.

答案：

例3　

【解析】　如图所示，由向量求和的平行四边形法则可知

＝＋＝a＋b．

按照减法的定义可知

＝－＝a－b．

跟踪训练3　解析：由题意知，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，则

(1)＝＋＋＝a＋d＋e．

(2)＝－＝－－＝－b－c．

(3)＝＋＋＝a＋b＋e．

(4)＝－＝－(＋)＝－c－d．.