高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量初步6.1 平面向量及其线性运算6.1.3 向量的减法学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量初步6.1 平面向量及其线性运算6.1.3 向量的减法学案，共8页。学案主要包含了学习目标，学习重难点，学习过程，新知初探，自我检测，达标反馈，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】
1．掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算。
2．理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义。
3．能将向量的减法运算转化为向量的加法运算。
【学习重难点】
1．相反向量。
2．向量的减法。
3．与向量加法的关系。
【学习过程】
问题导学
预习教材P142－P144的内容，思考以下问题：
1．一个数x的相反数是什么？一个向量a有相反向量吗？若有，如何表示？
2．任何一个数x与它相反数的和为0，那么向量a与它的相反向量的和是什么？
3．向量的减法运算及其几何意义是什么？
【新知初探】
1．一般地，平面上任意给定两个向量a，b，如果向量x能够满足b＋x＝a，则称x为向量a与b的差，并记作x＝a－B．在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，作出向量eq \(BA,\s\up6(→))，注意到eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))，因此向量eq \(BA,\s\up6(→))就是向量a与b的差（也称eq \(BA,\s\up6(→))为向量a与b的差向量），即eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))。上述求两向量差的作图方法也常称为向量减法的三角形法则。
2．给定一个向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量，向量a的相反向量记作－A．因为零向量的始点与终点相同，所以－0＝0.
不难看出，a＋（－a）＝0，eq \(AB,\s\up6(→))＋（－eq \(AB,\s\up6(→))）＝0.
向量的减法可以看成向量加法的逆运算，即a－b＝a＋（－b）。
■名师点拨
相反向量与相等向量一样，都从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量。
【自我检测】
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若b是a的相反向量，则a与b一定不相等。（ ）
（2）若b是a的相反向量，则a∥b．（ ）
（3）向量eq \(AB,\s\up6(→))的相反向量是eq \(BA,\s\up6(→))，且eq \(BA,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))。（ ）
（4）eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))。（ ）
2．化简eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(QP,\s\up6(→))＋eq \(PS,\s\up6(→))＋eq \(SP,\s\up6(→))的结果等于（ ）
A．eq \(QP,\s\up6(→))B．eq \(OQ,\s\up6(→))C．eq \(SP,\s\up6(→))D．eq \(SQ,\s\up6(→))
3．如图，在ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，用a，b表示向量eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))，则eq \(AC,\s\up6(→))＝________，eq \(BD,\s\up6(→))＝________。
4．在平行四边形ABCD中，向量eq \(AB,\s\up6(→))的相反向量为________。
探究点一：向量减法的几何意义
1．如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－C．
【解】法一：（几何意义法）如图①所示，在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，则eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋b，再作eq \(OC,\s\up6(→))＝c，则eq \(CB,\s\up6(→))＝a＋b－C．
法二：（定义法）如图②所示，在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，则eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋b，再作eq \(BC,\s\up6(→))＝－c，连接OC，则eq \(OC,\s\up6(→))＝a＋b－C．
eq \a\vs4\al()[规律方法]eq \a\vs4\al()eq \a\vs4\al()
求作两个向量的差向量的两种思路
（1）可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋（－b）即可。
（2）也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量。
1．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－C．
探究点二：向量加减法的运算及简单应用
2．（1）化简：①eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝________；
②eq \(AB,\s\up6(→))＋（eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))）＋eq \(DC,\s\up6(→))＝________；
③eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(CO,\s\up6(→))＝________。
（2）如图，①用a，b表示eq \(DB,\s\up6(→))；
②用b，c表示eq \(EC,\s\up6(→))。
[规律方法]eq \a\vs4\al()eq \a\vs4\al()
eq \a\vs4\al()（1）向量减法运算的常用方法
（2）向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和。
②起点相同且为差。
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用。
（3）与图形相关的向量运算化简
首先要利用向量加减的运算法则、运算律，其次要分析图形的性质，通过图形中向量相等、平行等关系辅助化简运算。
3．如图所示，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AE,\s\up6(→))＝c，则用a，b，c表示下列向量。
（1）eq \(CD,\s\up6(→))＝________；（2）eq \(BC,\s\up6(→))＝________；
（3）eq \(BE,\s\up6(→))＝________；（4）eq \(BD,\s\up6(→))＝________。
探究点三：向量减法几何意义的应用
4．已知|eq \(AB,\s\up6(→))|＝6，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝9，求|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))|的取值范围。
[互动探究]
[变条件，变问法]将本例的条件改为“|eq \(AB,\s\up6(→))|＝8，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝5”，求|eq \(BD,\s\up6(→))|的取值范围。
解：因为eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝8，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝5，
||eq \(AD,\s\up6(→))|－|eq \(AB,\s\up6(→))||≤|eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))|≤|eq \(AD,\s\up6(→))|＋|eq \(AB,\s\up6(→))|，
所以3≤|eq \(BD,\s\up6(→))|≤13，
当eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AD,\s\up6(→))同向时，|eq \(BD,\s\up6(→))|＝3，
当eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AD,\s\up6(→))反向时，|eq \(BD,\s\up6(→))|＝13，
所以|eq \(BD,\s\up6(→))|的取值范围是[3，13]。
[规律方法]eq \a\vs4\al()eq \a\vs4\al()
（1）用向量法解决平面几何问题的步骤
①将平面几何问题中的量抽象成向量。
②化归为向量问题，进行向量运算。
③将向量问题还原为平面几何问题。
（2）用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键
①利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可。
②根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键。
5．在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，若|eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→))|，则四边形ABCD是（ ）
A．菱形
B．矩形
C．正方形
D．不确定
【达标反馈】
1．在平行四边形ABCD中，eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))等于（ ）
A．eq \(AB,\s\up6(→))
B．eq \(BA,\s\up6(→))
C．eq \(CD,\s\up6(→))
D．eq \(DB,\s\up6(→))
2．下列等式：
①0－a＝－a；②－（－a）＝a；③a＋（－a）＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋（－b）；⑥a＋（－a）＝0.
正确的个数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
3．化简eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→))＝________。
4．已知eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，若|eq \(OA,\s\up6(→))|＝5，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝12，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________。
【参考答案】
【自我检测】
1．答案：（1）×
（2）√
（3）√
（4）×
2．解析：选B．原式＝（eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(PQ,\s\up6(→))）＋（eq \(PS,\s\up6(→))＋eq \(SP,\s\up6(→))）＝eq \(OQ,\s\up6(→))＋0＝eq \(OQ,\s\up6(→))。
3．解析：由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(BD,\s\up6(→))＝b－A．
答案：a＋bb－a
4．答案：eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))
探究点一：向量减法的几何意义
1．解：法一：先作a－b，再作a－b－c即可。
如图①所示，以A为起点分别作向量eq \(AB,\s\up6(→))和eq \(AC,\s\up6(→))，使eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝B．连接CB，得向量eq \(CB,\s\up6(→))＝a－b，再以C为起点作向量eq \(CD,\s\up6(→))，使eq \(CD,\s\up6(→))＝c，连接DB，得向量eq \(DB,\s\up6(→))。则向量eq \(DB,\s\up6(→))即为所求作的向量a－b－C．
法二：先作－b，－c，再作a＋（－b）＋（－c），如图②。
（1）作eq \(AB,\s\up6(→))＝－b和eq \(BC,\s\up6(→))＝－c；
（2）作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，则eq \(OC,\s\up6(→))＝a－b－C．
2．【解】（1）①eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋（eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))）＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝0；
②eq \(AB,\s\up6(→))＋（eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))）＋eq \(DC,\s\up6(→))＝（eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))）＋（eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))）＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝0；
③eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(CO,\s\up6(→))＝（eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))）－（eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(CO,\s\up6(→))）＝eq \(AB,\s\up6(→))。
故填①0，eq \a\vs4\al(②)0，eq \a\vs4\al(③)eq \(AB,\s\up6(→))。
（2）因为eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(CD,\s\up6(→))＝b，eq \(DE,\s\up6(→))＝C．
①eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))＝－eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))＝－a－B．
②eq \(EC,\s\up6(→))＝－eq \(CE,\s\up6(→))＝－（eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))）＝－b－C．
3．解析：因为四边形ACDE为平行四边形，
所以eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))＝c，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝b－a，
eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝c－a，
所以eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝b－a＋C．
答案：（1）c（2）b－a（3）c－a（4）b－a＋c
探究点三：向量减法几何意义的应用
4．【解】因为||eq \(AB,\s\up6(→))|－|eq \(AD,\s\up6(→))||≤|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))|≤|eq \(AB,\s\up6(→))|＋|eq \(AD,\s\up6(→))|，
且|eq \(AD,\s\up6(→))|＝9，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝6，
所以3≤|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))|≤15．
当eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))同向时，|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))|＝3；
当eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))反向时，|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))|＝15．
所以|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))|的取值范围为[3，15]。
5．解析：选B．因为eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，
所以四边形ABCD为平行四边形，
因为|eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→))|，所以|eq \(BD,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|。
所以四边形ABCD为矩形。
【达标反馈】
1．解析：选A．eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))。
2．解析：选C．由向量减法、相反向量的定义可知①②③④⑤都正确；⑥错误。
3．解析：eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→))
＝（eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))）＋（eq \(DB,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→))）
＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))
＝0.
答案：0
4．解析：如图，在矩形OACB中，eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))，则|a－b|＝|eq \(BA,\s\up6(→))|＝eq \r(|a|2＋|b|2)＝eq \r(52＋122)＝13．
答案：13