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2021学年3.1 函数的概念及其表示课文ppt课件
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这是一份2021学年3.1 函数的概念及其表示课文ppt课件，共39页。PPT课件主要包含了复习引入，总结函数概念，图形语言，环节4区间的概念等内容，欢迎下载使用。
初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？
设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.
2、请问：我们在初中学过哪些函数？
正比例函数是一次函数的特殊情况
3、请同学们考虑以下4个问题：
显然，仅用初中函数的概念很难回答这些问题。这也说明初中函数概念是粗糙不严格不严谨不精确，且形式化符号化程度都存在不足。到了高中有必要对函数概念进一步严格化精确化形式化符号化。我们也具备理解函数新定义的能力，因为到了高中大脑进一步发育成长成熟了。
根据问题1的条件，我们不能判断列车以350km/h运行半小时后的情况，所以上述说法不正确。显然，其原因是没有关注到t的变化范围
这里，t和S是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数。
思考： 有人说：“根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km.”你认为这个说法正确吗？
问题2 :某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周工资？一个工人的工资w(单位：元）是他工作天数d的函数吗？
问题3 图3.3-1是北京市2016年11月23日的空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）变化图。如何根据该图确定这一天内任何时刻t h的空气质量指数（AQI）的值I?你认为这里的I是t的函数吗？
你认为按表3.1-1给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？
问题1、2 是用解析式刻画变量之间的对应关系，问题3 是用图象刻画变量之间的对应关系，问题4 是用表格刻画变量之间的对应关系；
上述问题1-4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数的本质吗？
函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数， 记作 y=f(x) , x∈A
为什么取名函数？函数英文名： functin。本来第一个词义，其他词义就是引申而出。1、官能,功能,作用2、职务,职责3、盛大的集会(或宴会,宗教仪式)4、【数】函数
分析：y=f(x)即x在对应法则f的作用下有个值即结果y,不是f乘以x。
现在回答上面提出的问题
显然，仅用初中函数的概念很难回答这些问题。我们用高中函数定义对这四个问题分析一下。
下面我们也用高中的函数定义对初中学过的函数做出分析
初中各类函数的对应法则、定义域、值域分别是什么？
注：二次函数画出图像既得，不用死记硬背
定义域、值域、对应法则
①定义域、值域、对应关系是决定函数的三要素，是一个整体；②值域由定义域、对应法则惟一确定；③函数符号y=f(x)表示“y是x的函数” 。
比如谁可以把温州人民看的清清楚楚，那这个人可以当温州市市委书记，把浙江人民看的清请楚楚，那这个人可以当浙江省委书记，把全国人民看的清请楚楚，那这个人可以当国家主席。人只有站在较高一个层次才能看清较低层次的事情。把国家看的清请楚楚的人一定可以把浙江人民看的清请楚楚，把浙江人民看的清请楚楚的人，一定可以把温州人民看的清请楚楚。反之不一定。我再举例子，你把高等数学看的清清楚楚，只要你愿意，你就可以把初等数学看的清清楚楚。但你把初等数学看的清清楚楚，高等数学也不一定看的清清楚楚。你们想学好高中数学首先要把小学、初中数学看的清清楚楚，但一些同学对初中数学没有看的清清楚楚。比如初中的难题不会解答。初中难题到高中变最多中档题。
教育部长把全国老师看得清清楚楚。
学了函数新定义，同学们要纠正一个观念，能解析式表达的函数是少数，不能解析式表达比如复杂的图像是多数。绝大部分函数是不能用解析式表达的。同理，世界上不等的东西是绝大多数，相等的东西是少数。世界上不规则的东西是绝大多数，规则的东西是少数。但我们从小到大学习的是少数的能用解析式表达的函数，学习少数的相等的东西，学习少数的规则东西，让我们以为世界上大部分东西是用解析式表达的，是相等的，是规则的。
五、函数的文字语言、符号语言、图形语言。
我们知道数学语言有三种：文字语言、符号语言、图形语言。对于函数的概念也是这三种语言。文字语言不严格，被人误会，因为有时候说者无心听者有意。图形语言有缺陷因为有时候图画不出来。只有用符号语言表达的概念才是达到严格标准。
注：在下节课同学们知道如果用函数的图形语言来理解分段函数那是很容易理解分段函数，从函数的图形语言着手，分段函数一目了然。
判断下列对应能否表示y是x的函数
（1） y=|x| （2）|y|=x （3） y=x 2 （4）y2 =x （5） y2+x2=1 （6）y2-x2=1
(1)能
(2)不能
(5)不能
(3)能
(4)不能
(6)不能
注：通俗讲，一对一、二对一、三对一、多对一是函数，一对二、一对三、一对多不是函数
到了大学里，看《复变函数》这本书你会发现函数可以一对多，那时叫多值函数。
判断下列图象能表示函数图象的是（ ）
注：到了大学，在《复变函数》里一对多是函数，称为多值函数。
设a,b是两个实数，而且a
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”。满足x≥ a,x>a ,x ≤b, x
注意：①区间是一种表示连续性的数集②定义域、值域经常用区间表示或者用集合表示③实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。
一、看P17思考下面例1上面，回答为什么数学家还要创造出区间概念？因为已经有集合来表示范围了，不是多此一举吗？闭区间、开区间、半开半闭区间有什么不同？你会书写那几个实数无穷长度的区间吗？一个是有限长得区间，一个是无限长的区间。
答：符号简洁、漂亮、思考的思维量小有助于思考，书写方便。
①研究一个函数一定在其定义域内研究，所以求定义域是研究任何函数的前提 ②函数的定义域常常由其实际背景决定，若只给出解析式时,定义域就是使这个式子有意义的实数x的集合.
注意：用集合表示范围同学们会，但同样要会用区间表示范围。
例：已知f(x)的定义域是[0,1],求f(2x+1)的定义域。
例已知f(2x+1)的定义域是【0,1】，求f(x)定义域
故f(x)定义域为[1,3]
初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？
设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.
2、请问：我们在初中学过哪些函数？
正比例函数是一次函数的特殊情况
3、请同学们考虑以下4个问题：
显然，仅用初中函数的概念很难回答这些问题。这也说明初中函数概念是粗糙不严格不严谨不精确，且形式化符号化程度都存在不足。到了高中有必要对函数概念进一步严格化精确化形式化符号化。我们也具备理解函数新定义的能力，因为到了高中大脑进一步发育成长成熟了。
根据问题1的条件，我们不能判断列车以350km/h运行半小时后的情况，所以上述说法不正确。显然，其原因是没有关注到t的变化范围
这里，t和S是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数。
思考： 有人说：“根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km.”你认为这个说法正确吗？
问题2 :某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周工资？一个工人的工资w(单位：元）是他工作天数d的函数吗？
问题3 图3.3-1是北京市2016年11月23日的空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）变化图。如何根据该图确定这一天内任何时刻t h的空气质量指数（AQI）的值I?你认为这里的I是t的函数吗？
你认为按表3.1-1给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？
问题1、2 是用解析式刻画变量之间的对应关系，问题3 是用图象刻画变量之间的对应关系，问题4 是用表格刻画变量之间的对应关系；
上述问题1-4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数的本质吗？
函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数， 记作 y=f(x) , x∈A
为什么取名函数？函数英文名： functin。本来第一个词义，其他词义就是引申而出。1、官能,功能,作用2、职务,职责3、盛大的集会(或宴会,宗教仪式)4、【数】函数
分析：y=f(x)即x在对应法则f的作用下有个值即结果y,不是f乘以x。
现在回答上面提出的问题
显然，仅用初中函数的概念很难回答这些问题。我们用高中函数定义对这四个问题分析一下。
下面我们也用高中的函数定义对初中学过的函数做出分析
初中各类函数的对应法则、定义域、值域分别是什么？
注：二次函数画出图像既得，不用死记硬背
定义域、值域、对应法则
①定义域、值域、对应关系是决定函数的三要素，是一个整体；②值域由定义域、对应法则惟一确定；③函数符号y=f(x)表示“y是x的函数” 。
比如谁可以把温州人民看的清清楚楚，那这个人可以当温州市市委书记，把浙江人民看的清请楚楚，那这个人可以当浙江省委书记，把全国人民看的清请楚楚，那这个人可以当国家主席。人只有站在较高一个层次才能看清较低层次的事情。把国家看的清请楚楚的人一定可以把浙江人民看的清请楚楚，把浙江人民看的清请楚楚的人，一定可以把温州人民看的清请楚楚。反之不一定。我再举例子，你把高等数学看的清清楚楚，只要你愿意，你就可以把初等数学看的清清楚楚。但你把初等数学看的清清楚楚，高等数学也不一定看的清清楚楚。你们想学好高中数学首先要把小学、初中数学看的清清楚楚，但一些同学对初中数学没有看的清清楚楚。比如初中的难题不会解答。初中难题到高中变最多中档题。
教育部长把全国老师看得清清楚楚。
学了函数新定义，同学们要纠正一个观念，能解析式表达的函数是少数，不能解析式表达比如复杂的图像是多数。绝大部分函数是不能用解析式表达的。同理，世界上不等的东西是绝大多数，相等的东西是少数。世界上不规则的东西是绝大多数，规则的东西是少数。但我们从小到大学习的是少数的能用解析式表达的函数，学习少数的相等的东西，学习少数的规则东西，让我们以为世界上大部分东西是用解析式表达的，是相等的，是规则的。
五、函数的文字语言、符号语言、图形语言。
我们知道数学语言有三种：文字语言、符号语言、图形语言。对于函数的概念也是这三种语言。文字语言不严格，被人误会，因为有时候说者无心听者有意。图形语言有缺陷因为有时候图画不出来。只有用符号语言表达的概念才是达到严格标准。
注：在下节课同学们知道如果用函数的图形语言来理解分段函数那是很容易理解分段函数，从函数的图形语言着手，分段函数一目了然。
判断下列对应能否表示y是x的函数
（1） y=|x| （2）|y|=x （3） y=x 2 （4）y2 =x （5） y2+x2=1 （6）y2-x2=1
(1)能
(2)不能
(5)不能
(3)能
(4)不能
(6)不能
注：通俗讲，一对一、二对一、三对一、多对一是函数，一对二、一对三、一对多不是函数
到了大学里，看《复变函数》这本书你会发现函数可以一对多，那时叫多值函数。
判断下列图象能表示函数图象的是（ ）
注：到了大学，在《复变函数》里一对多是函数，称为多值函数。
设a,b是两个实数，而且a
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”。满足x≥ a,x>a ,x ≤b, x
注意：①区间是一种表示连续性的数集②定义域、值域经常用区间表示或者用集合表示③实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。
一、看P17思考下面例1上面，回答为什么数学家还要创造出区间概念？因为已经有集合来表示范围了，不是多此一举吗？闭区间、开区间、半开半闭区间有什么不同？你会书写那几个实数无穷长度的区间吗？一个是有限长得区间，一个是无限长的区间。
答：符号简洁、漂亮、思考的思维量小有助于思考，书写方便。
①研究一个函数一定在其定义域内研究，所以求定义域是研究任何函数的前提 ②函数的定义域常常由其实际背景决定，若只给出解析式时,定义域就是使这个式子有意义的实数x的集合.
注意：用集合表示范围同学们会，但同样要会用区间表示范围。
例：已知f(x)的定义域是[0,1],求f(2x+1)的定义域。
例已知f(2x+1)的定义域是【0,1】，求f(x)定义域
故f(x)定义域为[1,3]
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