2022年中考数学三轮冲刺《四边形》解答题冲刺练习十（含答案）

2022年中考数学三轮冲刺

《四边形》解答题冲刺练习十

1.如图所示，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，求证：

（1）AE=CF；

（2）四边形AECF是平行四边形.

2.已知□ABCD中，AC是对角线，BE平分∠ABC交AC于点E，DF平分∠ADC交AC于点F，求证：AE=CF．

3.如图，在▱ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD.

(1)求证：△AEB≌△CFD；

(2)若四边形EBFD是菱形，求∠ABD的度数.

4.如图,已知在□ABCD中,E是CD的中点,F是AE的中点,FC与BE交于G.求证：GF＝GC．

5.已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．

（1）求证：AP=BQ；

（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．

6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O，E，F

分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．

(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；

(2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．

7.如图,已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点,且CE=DC,连结AE分别交BC、BD于点F、G,连结AC交BD于O,连结OF.求证：AB＝2OF．

8.在正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,AE与BF相交于点G．

（1）如图1,求证：AE⊥BF；

（2）如图2,将△BCF沿BF折叠,得到△BPF,延长FP交BA的延长线于点Q,若AB=4,求QF的值.

0.答案解析

1.证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF.

在△ABE和△CDF中，，

∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF.

（2）证法1：∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB=∠CFD，∴∠AEF=∠CFE，

∴AE∥CF，∵AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形.

证法2：如图，连接AC，与BD相交于点O.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD.

又∵BE=DF，∴OB﹣BE=OD﹣DF，∴OE=OF.

∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.

2.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，∠ABC=∠CDA，

∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠ABE=∠CDF，

∵AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF

在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AE=CF．

3. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C，AD=BC，AB=CD.

∵点E、F分别是AD、BC的中点，

∴AE=AD，FC=BC.

∴AE=CF.

在△AEB与△CFD中，

，

∴△AEB≌△CFD(SAS).

(2)解：∵四边形EBFD是菱形，

∴BE=DE.

∴∠EBD=∠EDB.

∵AE=DE，

∴BE=AE.

∴∠A=∠ABE.

∵∠EBD+∠EDB+∠A+∠ABE=180°，

∴∠ABD=∠ABE+∠EBD=×180°=90°.

4.提示：取BE的中点P，证明四边形EFPC是平行四边形．

5.【解答】解：（1）∵正方形ABCD

∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°

∵DP⊥AQ

∴∠ADP+∠DAP=90°

∴∠BAQ=∠ADP

∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P

∴∠AQB=∠DPA=90°

∴△AQB≌△DPA（AAS）

∴AP=BQ

（2）①AQ﹣AP=PQ

②AQ﹣BQ=PQ

③DP﹣AP=PQ

④DP﹣BQ=PQ

6.解：(1)证明：过点O作OM⊥AB于点M，

∵BD是∠ABC的平分线，

∴OE＝OM，

∵四边形OECF是正方形，

∴OE＝OF，

∴OF＝OM，

∵OM⊥AB，OF⊥AD，

∴AO是∠BAC的角平分线，

即点O在∠BAC的平分线上；

(2)∵在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，

∴AB＝＝＝13，

设CE＝CF＝x，BE＝BM＝y，AM＝AF＝z，

∴解得

∴OE＝CE＝CF＝2.

7.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，OA=OC．

∴∠BAF=∠CEF，∠ABF=∠ECF．

∵CE=DC，

在平行四边形ABCD中，CD=AB，

∴AB=CE．

∴在△ABF和△ECF中，

∠BAF=∠CEF，AB=CE，∠ABF=∠BCF

∴△ABF≌△ECF（ASA），

∴BF=CF．

∵OA=OC，

∴OF是△ABC的中位线，

∴AB=2OF．

8.（1）证明：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF=BE，

在△ABE和△BCF中，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE=∠CBF，

又∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，

∴∠BGE=90°，∴AE⊥BF；

（2）解：∵将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，

∴FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°，

∵CD∥AB，∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB，

设QF=x，PB=BC=AB=4，CF=PF=2，∴QB=x，PQ=x﹣2，

在Rt△BPQ中，∴x2=（x﹣2）2+42，解得：x=5，即QF=5．