2022年中考数学三轮冲刺《四边形》解答题冲刺练习九（含答案）

2022年中考数学三轮冲刺

《四边形》解答题冲刺练习九

1.如图,已知AB∥CD,BE⊥AD,垂足为点E,CF⊥AD,垂足为点F,并且AE=DF．

    求证：四边形BECF是平行四边形．

2.如图，正方形ABCD中，点E、F分别在AD、CD上，且AE=DF，连接BE，AF.

求证：BE=AF.

3.如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E,F分别在AB,BC上(AE<BE),且∠EOF=90°,OE,DA的延长线交于点M,OF,AB的延长线交于点N,连接MN.

(1)求证:OM=ON;

(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.

4.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点(不与A，B重合)，连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ.

 (1)当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；

 (2)取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．

5.如图，已知在等边△ABC中，D、F分别为CB、BA上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边三角形ADE．

求证：(1)△ACD≌△CBF；(2)四边形CDEF为平行四边形．

6.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，以OC，OD为邻边作平行四边形OCED，连接OE．

(1)求证：四边形OBCE是平行四边形；

(2)连接BE交AC于点F．若AB=2，∠AOB=60°，求BF的长．

7.长方形ABCD中，AD=10，AB=8，将长方形ABCD折叠，折痕为EF.

（1）当A′与B重合时（如图1），EF=      ；

（2）当直线EF过点D时（如图2），点A的对应点A′落在线段BC上，求线段EF的长；

（3）如图3，点A的对应点A′落在线段BC上，E点在线段AB上，同时F点也在线段AD上，则A′在BC上的运动距离是        ；
 

8.如图，点B在线段AF上，分别以AB、BF为边在线段AF的同侧作正方形ABCD和正方形BFGE，连接CF和DE，CF交EG于点H．

(1)若E是BC的中点，求证：DE=CF；

(2)若∠CDE=30°，求HG:GF的值．

0.答案解析

1.证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠AEB=∠DFC=90°，

∵AB∥CD，∴∠A=∠D，

在△AEB与△DFC中，，∴△AEB≌△DFC（ASA），∴BE=CF．

∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CF．∴四边形BECF是平行四边形．

2.证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，

在△ABE和△DAF中

∴△ABE≌△DAF(SAS)，

∴BE=AF.

3.解:(1)证明:正方形ABCD中,AC=BD,OA=0.5AC,OB=OD=0.5BD,

所以OA=OB=OD,

因为AC⊥BD,

所以∠AOB=∠AOD=90°,

所以∠OAD=∠OBA=45°,

所以∠OAM=∠OBN,

又因为∠EOF=90°,

所以∠AOM=∠BON,

所以△AOM≌△BON,

所以OM=ON.

(2)如图,过点O作OP⊥AB于P,

所以∠OPA=90°,∠OPA=∠MAE,

因为E为OM中点,

所以OE=ME,

又因为∠AEM=∠PEO,

所以△AEM≌△PEO,

所以AE=EP,

因为OA=OB,OP⊥AB,

所以AP=BP=0.5AB=2,

所以EP=1.

Rt△OPB中,∠OBP=45°,

所以OP=PB=2,

Rt△OEP中,OE=,

所以OM=2OE=2,

Rt△OMN中,OM=ON,所以MN=OM=2.

4. (1)当△CDQ≌△CPQ时，DQ=PQ，CP=CD=5，在Rt△BCP中，有PB=4，∴AP=1.

在Rt△APQ中，设AQ＝x，则PQ=DQ=3－x.

根据勾股定理，得AQ2＋AP2=PQ2，即x2＋12=(3－x)2.解得x=4/3，即AQ=4/3.

（2）过M作EF⊥CD于F，交AB于点E，则EF⊥AB.

∵MD⊥MP，∴∠PMD=90°.∴∠PME＋∠DMF=90°.

∵∠FDM＋∠DMF=90°，∴∠MDF=∠PME.∵M是QC的中点，∴DM=PM=0.5QC.

在△MDF和△PME中，∴△MDF≌△PME(AAS)．∴ME=DF，PE=MF.

∵EF⊥CD，AD⊥CD，∴EF∥AD.∵QM=MC，∴DF=CF=0.5DC=2.5，

∴ME=2.5，FM=3-2.5=0.5.∵FM是△CDQ的中位线，∴DQ=1.∴AQ=3－1=2.

5.提示：(1)∵△ABC为等边三角形，∴AC＝CB，∠ACD＝∠CBF＝60°．

又∵CD＝BF，∴△ACD≌△CBF．

(2)∵△ACD≌△CBF，∴AD＝CF，∠CAD＝∠BCF．

∵△AED为等边三角形，∴∠ADE＝60°，且AD＝DE．∴FC＝DE．

∵∠EDB＋60°＝∠BDA＝∠CAD＋∠ACD＝∠BCF＋60°，

∴∠EDB＝∠BCF．∴ED∥FC．

∵EDFC，∴四边形CDEF为平行四边形.

6. (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OB=OC=OD，

∵四边形OCED是平行四边形，

∴四边形OCED为菱形，

∴CE∥OB，CE=OB，

∴四边形OBCE为平行四边形；

(2)解：过F作FM⊥BC于M，过O作ON⊥BC于N，

∵FM⊥BC，ON⊥BC，

∴ON∥FM，

∵AO=OC，

∴ON=AB=1，

∵OF=FC，

∴FM=ON=，

∵∠AOB=60°，OA=OB，

∴∠OAB=60°，∠ACB=30°，

在 Rt△ABC中：

∵AB=2，∠ACB=30°，

∴BC=2，

∵∠ACB=30°，FM=，∴CM=，

∴BM=BC﹣CM=，

∴BF==．

7.

8.