2022年中考数学三轮冲刺《圆》解答题冲刺练习四（含答案）

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2022年中考数学三轮冲刺《圆》解答题冲刺练习四 LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BG•BA=48，FG=，DF=2BF，求AH的值． LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC.O是CD边的中点,以O为圆心,OC长为半径作圆,交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H.已知⊙O与AB边相切，切点为F．(1)求证：OE∥AB；(2)求证：2EH=AB(3)若BH=1,EC=,求⊙O的半径．  LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC交EC的延长线于点D，AD交⊙O于F，FM⊥AB于H，分别交⊙O、AC于M、N，连接MB，BC．（1）求证：AC平分∠DAE；（2）若cosM=，BE=1，①求⊙O的半径；②求FN的长． LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的点，eq \o(AC,\s\up8(︵))=eq \o(BC,\s\up8(︵))，弦CD交AB于点E.(1)当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD=∠DAB；(2)求证：BC2－CE2=CE·DE. LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，以AB为直径作半圆O，点C是半圆上一点，∠ABC的平分线交⊙O于E，D为BE延长线上一点，且∠DAE＝∠FAE．（1）求证：AD为⊙O切线；（2）若sin∠BAC＝，求tan∠AFO的值． LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知，四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE=EC，以AE为直径的⊙O与边CD相切于点D，点B在⊙O上，连接OB.(1)求证：DE=OE；(2)若CD∥AB，求证：BC是⊙O的切线；(3)在(2)的条件下，求证：四边形ABCD是菱形. LISTNUM OutlineDefault \l 3 定义：若△ABC中，其中一个内角是另一个内角的一半，则称△ABC为“半角三角形”.（1）若Rt△ABC为半角三角形，∠A=90°，则其余两个角的度数为　 　.（2）如图1，在▱ABCD中，∠C=72°，点E在边CD上，以BE为折痕，将△BCE向上翻折，点E恰好落在AD边上的点F，若BF⊥AD，求证：△EDF为半角三角形；（3）如图2，以△ABC的边AB为直径画圆，与边AC交于M，与边BC交于N，已知△ABC的面积是△CMN面积的4倍.①求证：∠C=60°.②若△ABC是半角三角形，直接写出∠B的度数. LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图,在△ABC中,BA=BC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,延长BC到点F，连接AF,使∠ABC=2∠CAF．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若AC=4，CE：EB=1：3，求CE的长．  LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 0 2022年中考数学三轮冲刺《圆》解答题冲刺练习四（含答案）答案解析、解答题 LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：（1）证明：连接CD，∵BD是直径，∴∠BCD=90°，即∠D+∠CBD=90°，∵∠A=∠D，∠A=∠EBC，∴∠CBD+∠EBC=90°，∴BE⊥BD，∴BE是⊙O切线．（2）解：∵CG∥EB，∴∠BCG=∠EBC，∴∠A=∠BCG，∵∠CBG=∠ABC∴△ABC∽△CBG，∴=，即BC2=BG•BA=48，∴BC=4，∵CG∥EB，∴CF⊥BD，∴△BFC∽△BCD，∴BC2=BF•BD，∵DF=2BF，∴BF=4，在RT△BCF中，CF==4，∴CG=CF+FG=5，在RT△BFG中，BG==3，∵BG•BA=48，∴即AG=5，∴CG=AG，∴∠A=∠ACG=∠BCG，∠CFH=∠CFB=90°，∴∠CHF=∠CBF，∴CH=CB=4，∵△ABC∽△CBG，∴=，∴AC==，∴AH=AC﹣CH=． LISTNUM OutlineDefault \l 3 （1）连接OM，过点O作ON⊥CD，垂足为N． ∵⊙O与BC相切于M，∴OM⊥BC．∵正方形ABCD中，AC平分∠BCD，∴OM=ON．∴CD与⊙O相切 （2）设正方形ABCD的边长为a． 可证得△COM∽△CAB∴，∴解得 a = ∴正方形ABCD的边长为．  LISTNUM OutlineDefault \l 3 （1）证明：连接OC，如图，]∵直线DE与⊙O相切于点C，∴OC⊥DE，m]又∵AD⊥DE，∴OC∥AD．∴∠1=∠3∵OA=OC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∴AC平方∠DAE；（2）解：①∵AB为直径，∴∠AFB=90°，而DE⊥AD，∴BF∥DE，∴OC⊥BF，∴=，∴∠COE=∠FAB，而∠FAB=∠M，∴∠COE=∠M，设⊙O的半径为r，在Rt△OCE中，cos∠COE==，即=，解得r=4，即⊙O的半径为4；②连接BF，如图，在Rt△AFB中，cos∠FAB=，∴AF=8×=在Rt△OCE中，OE=5，OC=4，∴CE=3，∵AB⊥FM，∴，∴∠5=∠4，∵FB∥DE，∴∠5=∠E=∠4，∵=，∴∠1=∠2，∴△AFN∽△AEC，∴=，即=，∴FN=． LISTNUM OutlineDefault \l 3 证明：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠BAD＋∠ABD=90°.∵PB是⊙O的切线，∴∠ABP=90°，即∠PBD＋∠ABD=90°，∴∠BAD=∠PBD.(2)∵eq \o(AC,\s\up8(︵))=eq \o(BC,\s\up8(︵))，∴∠ABC=∠BDC，而∠ECB=∠BCD，BC=CB，∴△BCE∽△DCB，∴BC2=CE·CD，∴BC2－CE2=CE·CD－CE2=CE(CD－CE)=CE·DE. LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠1=∠2，∵∠1=∠3，∠3=∠4，∴∠4=∠2，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∵∠2+∠BAE=90°∴∠4+∠BAE=90°，即∠BAD=90°，∴AD⊥AB，∴AD为⊙O切线；（2）解：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，∵sin∠BAC==，∴设BC=3k，AC=4k，则AB=5k．连接OE交OE于点G，如图，∵∠1=∠2，∴=，∴OE⊥AC，∴OE∥BC，AG=CG=2k，∴OG=BC=k，∴EG=OE﹣OG=k，∵EG∥CB，∴△EFG∽△BFC，∴===，∴FG=CG=k，在Rt△OGF中，tan∠GFO===3，即tan∠AFO=3． LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90°，∵DE=EC，∴∠1=∠2，∴∠3=∠COD，∴DE=OE；(2)∵OD=OE，∴OD=DE=OE，∴∠3=∠COD=∠DEO=60°，∴∠2=∠1=30°，∵AB∥CD，∴∠4=∠1，∴∠1=∠2=∠4=∠OBA=30°，∴∠BOC=∠DOC=60°，在△CDO与△CBO中，，∴△CDO≌△CBO(SAS)，∴∠CBO=∠CDO=90°，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；(3)∵OA=OB=OE，OE=DE=EC，∴OA=OB=DE=EC，∵AB∥CD，∴∠4=∠1，∴∠1=∠2=∠4=∠OBA=30°，∴△ABO≌△CDE(AAS)，∴AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAE=∠DOE=30°，∴∠1=∠DAE，∴CD=AD，∴▱ABCD是菱形. LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：（1）∵Rt△ABC为半角三角形，∠A=90°，∴∠B=∠C=45°，或∠B=60°，∠C=30°或∠B=30°，∠C=60°，∴其余两个角的度数为45°，45°或30°，60°，故答案为45°，45°或30°，60°.（2）如图1中，∵平行四边形ABCD中，∠C=72°，∴∠D=108°，由翻折可知：∠EFB=72°，∵EF⊥AD，∴∠EFD=18°，∴∠DEF=54°，∴∠DEF=eq \f(1,2)∠D，即△DEF是半角三角形.（2）①如图2中，连接AN.∵AB是直径，∴∠ANB=90°，∵∠C=∠C，∠CMN=∠B，∴△CMN∽△CBA，∴（）2=，即=，在Rt△ACN中，sin∠CAN==，∴∠CAN=30°，∴∠C=60°.②∵△ABC是半角三角形，∠C=60°，∴∠B=30°或40°或80°或90°. LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：（1）证明：连接BD，如图1所示： ∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°，∵BA=BC，∴BD平分∠ABC，即∠ABC=2∠ABD∵∠ABC=2∠CAF，∴∠ABD=∠CAF，∵∠ABD+∠CAB=90°，∴∠CAF+∠CAB=90°，即BA⊥FA，∴AF是⊙O的切线； （2）解：连接AE，如图2所示：∵AB是⊙O的直径∴∠AEB=90°，即△AEB为直角三角形，∵CE：EB=1：3，设CE长为x，则EB长为3x，BC长为4x．则AB长为4x，在Rt△AEB中由勾股定理可得 AE=，在Rt△AEC中，AC=4，AE=，CE=x，由勾股定理得：，解得：，∵x＞0∴，即CE长为．