中考数学三轮冲刺《圆》解答题冲刺练习05（含答案）

中考数学三轮冲刺《圆》解答题冲刺练习05

1.如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PA，PB，AB，已知∠PBA＝∠C．

⑴求证：PB是⊙O的切线；

⑵连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为3，求BC的长．

2.如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E.过点D作DF⊥AB，垂足为F，连结DE.

(1)求证：直线DF与⊙O相切；

(2)若AE=7，BC=6，求AC的长．

3.如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E．

(1)试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若⊙O的半径为2，∠BAC=60°，求线段EF的长．

4.如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC边上一点，且DA＝DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连接DE．

(1)求证：AC是⊙O的切线；

(2)若sinC＝，AC＝12，求⊙O的直径．

5.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，经过C作CD⊥AB于点D，CF是⊙O的切线，过点A作AE⊥CF于E，连接AC.

(1)求证：AE=AD.

(2)若AE=3，CD=4，求AB的长.

6.如图，点A、B、C、D均在⊙O上，FB与⊙O相切于点B，AB与CF交于点G，OA⊥CF于点E，AC∥BF.

（1）求证：FG=FB.

（2）若tan∠F=，⊙O的半径为4，求CD的长.

7.如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是BD弧上的一点，OE⊥BD于点G，连接AE交BC于点F，AC是⊙O的切线．

(1)求证：∠ACB=2∠EAB；

(2)若cos∠ACB=，AC=10，求BF的长．

8.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连结AC交⊙O于点D，E为上一点，连结AE，BE，BE交AC于点F，且AE2=EF·EB.

(1)求证：CB=CF；

(2)若点E到弦AD的距离为1，cosC=，求⊙O的半径.

0.中考数学三轮冲刺《圆》解答题冲刺练习05（含答案）参考答案

一         、解答题

1.证明：⑴如图所示，连接OB.

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ABC＝90°，∠C＋∠BAC＝90°.

∵OA＝OB，

∴∠BAC＝∠OBA.

∵∠PBA＝∠C，

∴∠PBA＋∠OBA＝90°，

即PB⊥OB.

∴PB是⊙O的切线． 

⑵解：⊙O的半径为3，

∴OB＝3，AC＝6．

∵OP∥BC，

∴∠BOP＝∠OBC＝∠C.

又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，

∴△ABC∽△PBO，

∴即BC＝2.25．

2.解：(1)证明：如图，连结OD.

∵AB=AC，∴∠B=∠C.

∵OD=OC，∴∠ODC=∠C，

∴∠ODC=∠B，∴OD∥AB.

∵DF⊥AB，∴OD⊥DF.

∵点D在⊙O上，∴直线DF与⊙O相切；

(2)∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，

∴∠AED＋∠ACD=180°.

∵∠AED＋∠BED=180°，

∴∠BED=∠ACD.

又∵∠B=∠B，

∴△BED∽△BCA.

∴=.

∵OD∥AB，AO=CO，∴BD=CD=BC=3，

又∵AE=7，∴=，解得BE=2.

∴AC=AB=AE＋BE=7＋2=9.

3.解：(1)直线DE与⊙O相切，连结OD．

∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠CAD，

∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，

∴∠ODA=∠CAD，∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，即∠AED=90°，

∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切线；

(2)过O作OG⊥AF于G，∴AF=2AG，

∵∠BAC=60°，OA=2，∴AG=OA=1，

∴AF=2，∴AF=OD，∴四边形AODF是菱形，

∴DF∥OA，DF=OA=2，∴∠EFD=∠BAC=60°，

∴EF=DF=1．

4.证明：(1)∵AB＝AC，AD＝DC，

∴∠C＝∠B，∠1＝∠C，

∴∠1＝∠B，

又∵∠E＝∠B，

∴∠1＝∠E，

∵AE是⊙O的直径，

∴∠ADE＝90°，

∴∠E＋∠EAD＝90°，

∴∠1＋∠EAD＝90°，即∠EAC＝90°，

∴AE⊥AC，

∴AC是⊙O的切线；

(2)过点D作DF⊥AC于点F，如图，

∵DA＝DC，

∴CF＝AC＝3，

在Rt△CDF中，∵sinC＝＝，

设DF＝4x，DC＝5x，

∴CF＝3x，

∴3x＝3，解得x＝1，

∴DC＝5，

∴AD＝5，

∵∠ADE＝∠DFC＝90°，∠E＝∠C，

∴△ADE∽△DFC，

∴＝，即＝，解得AE＝，

即⊙O的直径为．

5. (1)证明：连接OC，如图所示，

∵CD⊥AB，AE⊥CF，

∴∠AEC=∠ADC=90°，

∵CF是圆O的切线，

∴CO⊥CF，即∠ECO=90°，

∴AE∥OC，

∴∠EAC=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠CAO=∠ACO，

∴∠EAC=∠CAO，

在△CAE和△CAD中，

，

∴△CAE≌△CAD(AAS)，

∴AE=AD；

(2)解：连接CB，如图所示，

∵△CAE≌△CAD，AE=3，

∴AD=AE=3，

∴在Rt△ACD中，AD=3，CD=4，

根据勾股定理得：AC=5，

在Rt△AEC中，cos∠EAC==，

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∴cos∠CAB==，

∵∠EAC=∠CAB，

∴=，即AB=.

6.（1）证明：∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∵OA⊥CD，

∴∠OAB+∠AGC=90°.

∵FB与⊙O相切，

∴∠FBO=90°，

∴∠FBG+OBA=90°，

∴AGC=∠FBG，

∵∠AGC=∠FGB，

∴∠FGB=∠FBG，

∴FG=FB；

（2）如图，

设CD=a，

∵OA⊥CD，

∴CE=CD=a.

∵AC∥BF，

∴∠ACF=∠F，

∵tan∠F=，tan∠ACF==，即=，解得AE=a，

连接OC，OE=4﹣a，

∵CE2+OE2=OC2，

∴（a）2+（4﹣a）2=4，解得a=，

CD=.

7.解：(1)连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵AC是⊙O的切线，

∴∠CAB=90°，

∴∠C+∠CAD=∠CAD+∠DAB=90°，

∴∠C=∠DAB，

∵OE⊥BD，

∴2=，

∴∠BAE=BAD，

∴∠ACB=2∠EAB；

(2)∵cos∠ACB=，AC=10，

∴BC=25，

∴AB==5，

∵∠C=∠BAD，∠B=∠B，

∴△ABC∽△DBA，

∴，∴BD==21，

∵OE⊥BD，∴BG=DG=，

∵AD==2，

∵AO=BO，BG=DG，

∴OG=AD=，∴GE=，

∵AD∥GE，

∴=，∴FG=DG=，

∴BF=BG+FG=+=15．

8.解：(1)∵AE2=EF·EB，∴=.

又∠AEF=∠AEB，

∴△AEF∽△BEA.∴∠EAF=∠ABE.

∵AB是直径，BC切⊙O于点B，

∴∠EBC＋∠ABE=90°，∠EAF＋∠EFA=90°，

∴∠EBC=∠EFA.

∵∠EFA=∠CFB，

∴∠CFB=∠CBE，

∴CB=CF　

(2)连结OE交AC于点G.

由(1)知：∠EAF=∠ABE，

∴=.∴OE⊥AD.∴EG=1.

∵cosC=，且∠C＋∠GAO=90°，

∴sin∠GAO=，

设⊙O半径为r，则=，解得r=.

∴圆半径为