初中数学北师大版七年级上册5.2 求解一元一次方程学案

一元一次方程的解法（提高）知识讲解

【学习目标】

1. 熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据；
2. 掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；
3. 进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法.

【要点梳理】

要点一、解一元一次方程的一般步骤

要点诠释：

（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．

 (2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.

（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．

要点二、解特殊的一元一次方程

1.含绝对值的一元一次方程

解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．

要点诠释：此类问题一般先把方程化为的形式，再分类讨论：

(1)当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原方程可化为：或.

2.含字母的一元一次方程

  此类方程一般先化为最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：

（1）当a≠0时，；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．

【典型例题】

类型一、解较简单的一元一次方程 

1．（2020秋•新洲区期末）关于x的方程2x﹣4=3m和x+2=m有相同的解，则m的值是（　　）

A.10          B.-8          C.-10         D.8

【答案】B．

【解析】

解：由2x﹣4=3m得：x=；由x+2=m得：x=m﹣2

由题意知=m﹣2

解之得：m=﹣8．

【总结升华】根据题目给出的条件，列出方程组，便可求出未知数．

举一反三：

【变式】下列方程的解法对不对?如果不对，错在哪里?应当怎样改正?

    3x+2＝7x+5

    解：移项得3x+7x＝2+5，合并得10x＝7．，

    系数化为1得．

【答案】以上的解法是错误的，其错误的原因是在移项时没有变号，也就是说将方程中右边的7x移到方程左边应变为-7x，方程左边的2移到方程右边应变为-2．

正确解法：

    解：移项得3x-7x＝5-2，  合并得-4x＝3，系数化为1得．

类型二、去括号解一元一次方程

2. 解方程：．

【答案与解析】

解法1：先去小括号得：．

                      再去中括号得：．

移项，合并得：．

                            系数化为1，得：．

解法2：两边均乘以2，去中括号得：．

  去小括号，并移项合并得：，解得：．

解法3：原方程可化为： ．

    去中括号，得．

    移项、合并，得．

    解得．

【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x-1)，因此将方程左边括号内的一项x变为(x-1)后，把(x-1)视为一个整体运算．

3．解方程：．

  【答案与解析】

解法1：(层层去括号)

    去小括号．

    去中括号．

    去大括号．

    移项、合并同类项，得，系数化为1，得x＝30．

    解法2：(层层去分母)

    移项，得．

    两边都乘2，得．

    移项，得．

    两边都乘2，得．

    移项，得，两边都乘2，得．

移项，得，系数化为1，得x＝30．

【总结升华】此题既可以按去括号的思路做，也可以按去分母的思路做．

举一反三：

【变式】解方程．

【答案】

解：方程两边同乘2，得．

移项、合并同类项，得．

    两边同乘以3，得．

    移项、合并同类项，得．

    两边同乘以4，得．

    移项，得，系数化为1，得x＝5．

类型三、解含分母的一元一次方程

4．（2020春•淅川县期中）解方程﹣=．

【思路点拨】方程整理后，去分母，去括号，移项合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．

【答案与解析】

解：原方程可化为6x﹣=，

两边同乘以6，得36x﹣21x=5x﹣7，

移项合并，得10x=-7

解得：x=﹣0.7．

【总结升华】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．

举一反三：

【变式】解方程．

【答案】

解：原方程可化为．

    去分母，得3(4y+9)-5(3+2y)＝15．

    去括号，得12y+27-15-10y＝15．

    移项、合并同类项，得2y＝3．

系数化为1，得．

类型四、解含绝对值的方程

5．解方程：3|2x|-2＝0 ．

【思路点拨】将绝对值里面的式子看作整体，先求出整体的值，再求x的值．

【答案与解析】

解：原方程可化为： ．

当x≥0时，得，解得：，

    当x＜0时，得，解得：，

所以原方程的解是x＝或x＝．

【总结升华】此类问题一般先把方程化为的形式，再根据（）的正负分类讨论，注意不要漏解．

举一反三：

【变式】（2020秋•故城县期末）已知关于x的方程mx+2=2（m﹣x）的解满足方程|x﹣|=0，则m的值为（　　）

A.             B. 2             C.             D.3

【答案】B

解：∵|x﹣|=0，∴x=，把x代入方程mx+2=2（m﹣x）得：m+2=2（m﹣），

解之得：m=2.

类型五、解含字母系数的方程

6. 解关于的方程：

【答案与解析】

解：原方程可化为：

当，即时，方程有唯一解为：；

当，即时，方程无解．

【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式，再根据系数是否为零进行分类讨论．

举一反三：

【变式】若关于x的方程(k-4)x=6有正整数解，求自然数k的值.

【答案】

解：∵原方程有解，∴

原方程的解为：为正整数，∴应为6的正约数，即可为：1，2，3，6

∴为：5，6，7，10

答：自然数k的值为：5，6，7，10.