（人教A版2019）高二数学选修二 专题02 方法篇：求数列的通项公式（课时训练）

专题02 方法篇：求数列的通项公式

A组 基础巩固

1．（2022·广西北海·高二期末）在数列中，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据已知条件，利用累加法得到的通项公式，从而得到.

【详解】

由，得，

所以

，

所以.

故选：A.

2．（2022·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（文））在等比数列中，，且，则t＝（       ）

A．-2 B．－1 C．1 D．2

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出，利用等比中项求出t.

【详解】

在等比数列中，，且，

所以

所以，即，解得：.

当时，，不符合等比数列的定义，应舍去，故.

故选：A.

3．（2022·河南·模拟预测（理））设是公差不为0的等差数列的前项和，且，则（       ）

A．6 B． C．7 D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由已知条件求等差数列首项与公差的数量关系，再应用等差数列通项公式、前n项和公式求的值.

【详解】

设数列的公差为，

由题意知，，解得，

所以，，则．

故选：B

4．（2022·福建南平·高二期末）设等比数列的前项和为，若，则（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用等比数列的通项公式和前项和公式即可

【详解】

不妨设的首项为，公比为，则有：

解得：

则有：

故选：D

5．（2022·甘肃·张掖市第二中学高二期末（理））等差数列的前项和为，若，，则（     ）

A．12 B．18 C．21 D．27

【答案】B

【解析】

【分析】

根据等差数列的前项和为具有的性质，即成等差数列，由此列出等式，求得答案.

【详解】

因为 为等差数列的前n项和，且，，

所以成等差数列，

所以，

即 ，解得=18，

故选：B.

6．（2021·浙江·三门启超中学高二期末）已知数列的前n项和为，且对任意正整数n都有，若，则（       ）．A．2019              B．2020              C．2021              D．2022

【答案】C

【解析】

【分析】

先令代入 中，求得 ，再根据递推式得到，将与已知相减，可判断数列是等比数列，进而确定 ，求得答案.

【详解】

因为，令 ，则 ，

又，故，

即 ，

故数列是等比数列，则 ，

所以 ，

所以 ，

故选：C.

7．（2022·江西赣州·高三期末（文））已知等比数列的各项均为正数，且，则（       ）

A．6 B．9 C．27 D．81

【答案】A

【解析】

【分析】

将所求式子利用对数运算法则和等比数列性质可化为，代入求得结果.

【详解】

∵等比数列的各项均为正数，且，

故选：A.

8．（2022·北京通州·高二期末）设数列的前项和为，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

利用，把代入中，即可求出答案.

【详解】

当时，.

当时，.

故选：C.

9．（2022·安徽亳州·高三期末（理））设数列的前项和为，已知，，数列的前项和为，则满足的的最小值为（       ）

A．12 B．7 C．6 D．1

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出，得到，求出数列的前项和为，解不等式即可求解.

【详解】

因为数列的前项和为满足，所以.

当n=1时，；

当时，；

经检验，对n=1也成立，

所以.

所以，

所以数列为首项为1，公差为的等差数列，

所以数列的前项和为.

由可得：，解得：（舍去）.

所以的最小值为12.

故选：A.

10．（2022·四川·成都七中高三开学考试（理））数列的前项和为，若，，，则的通项公式为______.

【答案】

【解析】

【分析】

由数列通项与前项和的相互关系解之即可.

【详解】

由，得，两式相减得

又由，，可得，即

故数列从第二项起为公比为4的等比数列，

则的通项公式为

故答案为：

11．（2021·河南·高三阶段练习（文））已知数列{}中，＝，＝＋，若对于任意，使得＜恒成立，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】

由累加法得出，再由，解不等式得出实数的取值范围.

【详解】

因为＝，，所以当时，，又＝，所以，由{}是单调递增数列知，所以，解得或.

故答案为：

12．（2021·河南·高三阶段练习（理））已知数列{}中，，，若对于任意的t∈[1，4]，存在，使得成立，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【分析】

首先利用累加法求出数列的通项公式，即可判断数列的单调性，从而得到，依题意可得，令，则对任意的恒成立，则，即可得到不等式组，解得即可；

【详解】

解：因为，，所以，所以当时又满足，所以，所以单调递增，所以，因为存在，使得成立，所以，即，令，则对任意的恒成立，所以，解得，即实数的取值范围为；

故答案为：

13．（2022·河南·模拟预测（理））设是数列的前项和，若，则______．

【答案】

【解析】

【分析】

应用的关系及等比数列的定义判断的性质，再应用等比数列前n项和公式求.

【详解】

由，

当时，，

当时，，

两式相减得，即，

所以数列是以2为首项，为公比的等比数列，

故．

故答案为：.

14．（2021·河南·洛阳市第一高级中学高二阶段练习）已知等差数列中，若，，，，成公比为3的等比数列，则______．

【答案】41

【解析】

【分析】

由等比数列得，这样可得出公差，用等差数列和等比数列的通项公式表示出后可求得．

【详解】

设公差为，

则，

又，所以，即，得，

故答案为：41

15．（2022·浙江·无高二期末）九连环是中国的一种古老智力游对，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷.中国的末代皇帝溥仪（1906-1967）也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环（如图）.现假设有个圆环，用表示按照某种规则解下个圆环所需的银和翠玉制九连环最少移动次数，且数列满足，，则___________.

【答案】684

【解析】

【分析】

利用累加法可求得的值.

【详解】

当且时，，

所以，

.

故答案为：.

16．（2022·山东泰安·高二期末）已知数列满足，，则数列的前n项和______．

【答案】

【解析】

【分析】

先求出，利用裂项相消法求和.

【详解】

因为数列满足，，

所以数列为公差d=2的等差数列，所以，

所以

所以

.

故答案为：.

17．（2022·上海市控江中学高二期末）已知数列满足，则其通项公式_______．

【答案】

【解析】

【分析】

构造法可得，由等比数列的定义写出的通项公式，进而可得.

【详解】

令，则，又，

∴，故，而，

∴是公比为，首项为，则，

∴.

故答案为：.

B组 能力提升

18．（福建省漳州市2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学试题）（多选题）已知是数列的前n项和，若，，，则下列结论正确的是（       ）

A． B．数列为等差数列

C． D．

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据给定条件探求出数列的特性，再逐项分析、计算判断作答.

【详解】

，，当时，，两式相减得：，而，则，

当时，，则，A正确；

因，，，即，数列不是等差数列，B不正确；

因，，则，即有，成立，C正确；

由C选项的判断信息知，数列的奇数项是以为首项，3为公差的等差数列，

数列的偶数项是以为首项，3为公差的等差数列，

，D正确.

故选：ACD

【点睛】

易错点睛：等差数列定义是判断数列是等差数列的重要依据，但易漏掉定义中的“从第2项起”与“同一个常数”的条件.

19．（2022·江苏徐州·高二期末）（多选题）已知数列的前项和，则（       ）

A．是等差数列 B．是等比数列

C． D．的前20项和为320

【答案】ABC

【解析】

【分析】

利用给定的前n项和求出数列的通项，再逐项分析计算作答.

【详解】

数列的前项和，

则当时，，而满足上式，即，

对于A，因，则是等差数列，A正确；

对于B，因，则是等比数列，B正确；

对于C，，C正确；

对于D，，

数列的前20项和为328，D不正确.

故选：ABC

20．（2022·福建福州·高二期末）（多选题）已知等差数列的公差为d，前n项和为，．则（       ）

A． B．

C． D．取得最大值时，

【答案】ABC

【解析】

【分析】

利用基本量代换，求出通项公式，即可验证A、B、C；由通项公式判断出时，，，时，可以得到最大，即可判断选项D.

【详解】

因为，所以，解得：，故选项A、B正确；

所以.

对于C：因为，所以，故C正确；

对于D：因为，所以.

因为时，；时，；所以最大.故D错误.

故选：ABC

21．（2022·福建泉州·高二期末）（多选题）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据，，的值，可得，利用累加法可得即可判断选项A、C，再计算前项的和可判断B；利用裂项求和可判断D，进而可得答案.

【详解】

依题意因为，，，……，，

以上个式子累加可得：，

又满足上式，所以，，故A错误；

因，

所以，故B正确；

因为，所以，故C正确；

，

，故D错误.

故选：BC

22．（2022·福建福州·高二期末）（多选题）已知数列，均为公差大于零的等差数列，则下列说法正确的有（       ）

A．数列}是递增数列 B．数列{}是递增数列

C．数列是等差数列 D．数列不可能是等差数列

【答案】ACD

【解析】

【分析】

由题可设，，利用等差数列的定义可判断ACD，利用特例可判断B.

【详解】

∵数列，均为公差大于零的等差数列，

∴可设，，其中为常数，

∴，

∴，

∴数列是等差数列，且为递增数列，故AC正确；

设，则，数列{}不是递增数列，故B错误；

设，，其中为常数，

则，

∴

，

由题可知，故不可能为常数，

故数列不可能是等差数列，故D正确.

故选：ACD.

23．（2022·广西北海·高二期末）在等差数列中，

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据等差数列条件列方程，即可求通项公式；

（2）先由等比数列通项公式求出，解得，分组求和即可.

(1)

设等差数列的公差为，

则，

∴，

由，

∴，

∴数列的通项公式为.

(2)

∵数列是首项为1，公比为2的等比数列，

∴，即，

∴，

∴

.

24．（2022·广东肇庆·二模）已知数列满足，.

(1)证明：数列是等比数列；

(2)求数列的前n项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据递推公式，利用等比数列的定义即可得出结论；

（2）利用分组求和法和错位相减法计算即可得出答案.

(1)

证明：由，得，

又，所以，故，

故是以为首项，以为公比的等比数列；

(2)

解：由（1）得，得，

所以，设的前n项和为，

则，①

，②

由①-②，得

，则，

故.

25．（2022·山西省长治市第二中学校高二期末）设数列的前项和为，，且满足，.

(1)求数列的通项公式；

(2)证明：对一切正整数，有.

【答案】(1)，；

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用关系可得，根据等比数列的定义易知为等比数列，进而写出的通项公式；

（2）由，将不等式左侧放缩，即可证结论.

(1)

当时，，，两式相减得：，

整理可得：，而，

所以是首项为2，公比为1的等比数列，故，即，.

(2)

，

.

.

26．（2022·河南·温县第一高级中学高三开学考试（理））已知等比数列{an}满足条件a2+a4＝3（a1+a3），a2n＝3an2，n∈N*，数列{bn}满足b1＝1，bn﹣bn﹣1＝2n﹣1（n≥2，n∈N*）

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)若数列{cn}满足，n∈N*，求{cn}的前n项和Tn.

【答案】(1)，

(2)

【解析】

【分析】

（1）设，根据题意可得的两个方程即可解出，从而得到数列{an}的通项公式；根据累加法可求出{bn}的通项公式；

（2）由得，两式作差可求得，咋根据错位相减法即可求出{cn}的前n项和Tn．

(1)

设{an}的通项公式为，n∈N*，

由已知a2+a4＝3（a1+a3），，得q＝3，

由已知，即，解得q＝3a1，a1＝1，

所以 {an}的通项公式为.

因为b1＝1，bn﹣bn﹣1＝2n﹣1（n≥2，n∈N*），

.

(2)

当n＝1时，，c1＝1，

当n≥2时，①，

②，

由①﹣②得到，，n≥2，也满足，

综上，，n∈N*.

③，

④，

由③﹣④得到

，

所以.

27．（2022·河南南乐·高三阶段练习（文））已知是等差数列，满足，，数列满足．

(1)求数列、的通项公式；

(2)设数列的前n项和为，令，求的最小值．

【答案】(1)，；

(2).

【解析】

【分析】

(1)设出等差数列的公差，根据给定条件列出方程求解作答.

(2)由(1)的结论求出，利用裂项相消法求出，再借助均值不等式计算作答.

(1)

设等差数列的公差为，依题意，，解得，

于是得，，

所以数列、的通项公式分别为：，.

(2)

由(1)知，，

因此，，

则，当且仅当时取等号，

所以的最小值为81.

28．（2022·湖北·十堰市教育科学研究院高二期末）在数列中，已知，且.

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

【答案】(1)；

(2).

【解析】

【分析】

（1）将式子变化为进而结合等差数列的定义求得答案；

（2）结合（1）求出，然后通过裂项法求得答案.

(1)

，又数列是首项为0，公差为1的等差数列，，

(2)

由（1）知，则，

则，故

29．（2022·广东·模拟预测）已知数列满足，．

(1)证明：数列是等比数列；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

(1)根据给定递推公式变形，结合等比数列定义即可得证.

(2)由(1)求出数列通项，再利用分组求和方法求解即得.

(1)

证明：由，得，

又，所以，故，

故是以为首项，以为公比的等比数列．

(2)

由（1）得，得，

所以，设的前n项和为，

则，①

，②

由①-②，得

，则，

故．

30．（2022·湖南·高二期末）在数列中，首项，且满足，其前n项和为.

(1)证明数列为等比数列；

(2)求数列的通项公式，并判断n，，是否成等差数列？

【答案】(1)证明见解析；

(2)，n，，成等差数列.

【解析】

【分析】

（1）根据等比数列的定义，结合已知递推公式进行证明即可；

（2）结合（1）的结论，根据等比数列的通项公式、前n项和公式，利用等差数列的性质进行求解即可.

(1)

∵，，

又，

∴是首项为，公比为2的等比数列；

(2)

由（1）知，，∴，∴，

∴，∴.

即n，，成等差数列.

31．（2022·陕西安康·高三期末（文））设等差数列的前n项和为，已知，.

(1)求的通项公式；

(2)求的最大值.

【答案】(1)

(2)最大值为

【解析】

【分析】

（1）根据条件列出方程组，即可得答案；

（2）根据（1）所求结果，写出的表达式，利用二次函数的性质求得结果.

(1)

设数列的公差为d，

则,解得，,

故,.

(2)

由等差数列前n项和公式可得，

则当时，取得最大值，且最大值为.

32．（2022·湖北·武汉市第十四中学高二期末）已知数列为等差数列，为其前n项和，若，．

(1)求数列的首项和公差；

(2)求的最小值.

【答案】(1)首项为-2，公差为1；

(2).

【解析】

【分析】

(1)设出等差数列的公差，再结合前n项和公式列式计算作答.

(2)由(1)的结论，探求数列的性质即可推理计算作答.

(1)

设等差数列首项为，公差为，而为其前n项和，，，

于是得：，解得，，

所以，.

(2)

由(1)知，，，，数列是递增数列，前3项均为非正数，从第4项起为正数，

而，于是得的前2项和与前3项和相等并且最小，

所以当或时，.