高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系练习题，共6页。


1．空间两条直线的位置关系有且只有三种：______________、________________、________________．
2．异面直线的定义
________________________________的两条直线叫做异面直线．
3．公理4：平行于同一条直线的两条直线____________．
4．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应________，那么这两个角________或________．
5．异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使________，________，我们把a′与b′所成的______________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
如果两条直线所成的角是________，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，两条异面直线所成的角的取值范围是________．
一、选择题
1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( )
A．异面 B．平行
C．相交 D．以上都有可能
2．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A．异面或平行 B．异面或相交
C．异面 D．相交、平行或异面
3．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
A．一定平行 B．一定相交
C．一定异面 D．相交或异面
4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( )
A．空间四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
5．给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②平行于同一直线的两直线平行；
③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．
其中假命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图所示，已知三棱锥A－BCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列结论正确的是( )
A．MN≥eq \f(1,2)(AC＋BD)
B．MN≤eq \f(1,2)(AC＋BD)
C．MN＝eq \f(1,2)(AC＋BD)
D．MN二、填空题
7．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为________．
8．已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：
(1)BC′与CD′所成的角为________；
(2)AD与BC′所成的角为________．
9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD．
以上结论中正确结论的序号为________．
三、解答题
10．空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．
11．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点．
求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；
(2)∠DNM＝∠D1A1C1．
能力提升
12．如图所示，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号)．
13．正方体AC1中，E、F分别是面A1B1C1D1和AA1DD1的中心，则EF和CD所成的角是( )
A．60° B．45° C．30° D．90°
1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具．
2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小．
作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
2．1．2 空间中直线与直线之间的位置关系 答案
知识梳理
1．相交直线 平行直线 异面直线
2．不同在任何一个平面内
3．互相平行
4．平行 相等 互补
5．a′∥a b′∥b 锐角(或直角) 直角 (0°，90°]
作业设计
1．D
2．D [异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示．]
3．D
4．B [
易证四边形EFGH为平行四边形．
又∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF∥AC，
又FG∥BD，
∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．
而AC与BD所成的角为90°，
∴∠EFG＝90°，
故四边形EFGH为矩形．]
5．B [①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．
④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面，一定不会平行；
当点A在直线a上运动(其余三点不动)，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．
]
6．D
[如图所示，取BC的中点E，连接ME、NE，则ME＝eq \f(1,2)AC，
NE＝eq \f(1,2)BD，
所以ME＋NE＝eq \f(1,2)(AC＋BD)．
在△MNE中，有ME＋NE>MN，
所以MN7．60°或120°
8．(1)60° (2)45°
解析
连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．
由△A′BC′为正三角形，
知∠A′BC′＝60°，
由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．
易知∠C′BC＝45°．
9．①③
解析 把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．
10．解 取AC的中点G，
连接EG、FG，
则EG∥AB，GF∥CD，
且由AB＝CD知EG＝FG，
∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角．
∵AB与CD所成的角为30°，
∴∠EGF＝30°或150°．
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°．
故EF与AB所成的角为15°或75°．
11．证明 (1)如图，连接AC，
在△ACD中，
∵M、N分别是CD、AD的中点，
∴MN是三角形的中位线，
∴MN∥AC，MN＝eq \f(1,2)AC．
由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1．
∴MN∥A1C1，且MN＝eq \f(1,2)A1C1，即MN≠A1C1，
∴四边形MNA1C1是梯形．
(2)由(1)可知MN∥A1C1，又因为ND∥A1D1，
∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．
而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，
∴∠DNM＝∠D1A1C1．
12．②④
解析 ①中HG∥MN．③中GM∥HN且GM≠HN，
∴HG、MN必相交．
13．B [
连接B1D1，则E为B1D1中点，
连接AB1，EF∥AB1，
又CD∥AB，∴∠B1AB为异面直线EF与CD所成的角，即∠B1AB＝45°．]