高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系优秀同步训练题

8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系

课后篇巩固提升

基础巩固

1.如图所示,用符号语言可表示为(　　)

A.α∩β=l B.α∥β,l∈α

C.l∥β,l⊄α D.α∥β,l⊂α

答案D

2.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(平面AA1C1C、平面ABC1D1、平面ADC1B1、平面BB1D1D、平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中,与棱AA1平行的平面共有(　　)

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

答案B

解析如图,结合图形可知AA1∥平面BB1C1C,AA1∥平面DD1C1C,AA1∥平面BB1D1D.

3.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是 (　　)

A.相交 B.异面

C.异面或相交 D.平行

答案C

解析如图有两种情况.

4.若直线a不平行于平面α,且a不在平面α内,则下列结论成立的是(　　)

A.a与α内的所有直线异面

B.α内不存在与a平行的直线

C.α内存在唯一的直线与a平行

D.α内的直线与a都相交

答案B

解析因为直线a与平面α不平行,也不在α内,所以直线a与平面α相交,所以a与α内的直线位置关系是相交或异面,故选B.

5.如果空间的三个平面两两相交,那么(　　)

A.不可能只有两条交线 B.必相交于一点

C.必相交于一条直线 D.必相交于三条平行线

答案A

解析空间三个平面两两相交,可能相交于一点,也可能相交于一条直线,还可能相交于三条平行线,故选A.

6.如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一个图是              (　　)

答案C

解析易知选项A,B中PQ∥RS,选项D中RS与PQ相交,只有选项C中RS与PQ是异面直线.

7.以下说法正确的是(　　)

A.若直线a不平行于平面α,则直线a与平面α相交

B.直线a和b是异面直线,若直线c∥a,则c与b一定相交

C.若直线a和b都和平面α平行,则a和b也平行

D.若直线c平行直线a,直线b⊥a,则b⊥c

答案D

解析若直线a不平行于平面α,则直线a与平面α相交,或a⊂α,故A错误;若直线a和b是异面直线,若直线c∥a,则c与b相交或异面,故B错误;若直线a和b都和平面α平行,则a和b可能平行,可能相交,也可能异面,故C错误;若直线c平行直线a,直线b⊥a,则b⊥c,故D正确.故选D.

8.

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有　　　　　条. 

答案6

解析由异面直线的定义,正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有CD,A1B1,AD,B1C1,AA1,CC1共6条.

9.已知直线a,平面α,β,且a∥α,a∥β,则平面α与β的位置关系是　　　　　　　　　　　. 

答案相交或平行

解析因为a∥α,a∥β,所以平面α与β相交(如图①)或平行(如图②).

10.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有　　　　　条. 

答案6

解析如图,与平面ABB1A1平行的直线有6条:D1E1,E1E,ED,DD1,D1E,DE1.

11.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,面对角线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何?

解∵B1∈平面A1B1C1D1,D1∈平面A1B1C1D1,

∴B1D1⊂平面A1B1C1D1.

∵B1∈平面BB1C1C,D1∉平面BB1C1C,

∴直线B1D1∩平面BB1C1C=B1.

同理直线B1D1与平面AA1B1B、平面AA1D1D、平面CC1D1D都相交.在平行四边形B1BDD1中,B1D1∥BD,B1D1与BD无公共点,∴B1D1与平面ABCD无公共点,∴B1D1∥平面ABCD.

能力提升

1.下列命题正确的有　　　　.(填序号) 

①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内;

②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;

③若直线l与平面α相交,则l与平面α内的任意直线都是异面直线;

④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交;

⑤若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面.

答案①⑤

解析①显然是正确的;②中,直线l还可能与α相交,所以②是错误的;③中,直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面,所以③是错误的;④中,异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定,它们可以相交,可以平行,还可以在该平面内,所以④是错误的;⑤中,直线l与平面α没有公共点,所以直线l与平面α内的直线没有公共点,即它们平行或异面,所以⑤是正确的.

2.(多选题)一个正方体纸盒展开后如图,在原正方体纸盒中有如下结论,其中正确的是(　　)

A.AB⊥EF B.AB与CM所成的角为60°

C.EF与MN是异面直线 D.MN∥CD

答案AC

解析把正方体平面展开图还原到原来的正方体,如图所示,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有AC正确.

3.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系,并证明你的结论.

解a∥b,a∥β.

证明如下.由α∩γ=a知a⊂α,且a⊂γ,

由β∩γ=b知b⊂β,且b⊂γ.

∵α∥β,a⊂α,b⊂β,∴a,b无公共点.

又∵a⊂γ,且b⊂γ,∴a∥b.

∵α∥β,∴α与β无公共点.

又a⊂α,∴a与β无公共点,∴a∥β.