第7章达标测试卷-新教材2021-2022学年高二数学人教A选择性必修第三册同步课时训练必刷题

第四章达标测试卷

(时间：120分钟　满分：150分)

一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.甲击中目标的概率是，如果击中赢10分，否则输11分，用X表示他的得分，计算X的均值为(　　)

A.0.5分   B.－0.5分

C.1分   D.5分[来源:学科网ZXXK]

【答案】B 

【解析】E(X)＝10×＋(－11)×＝－.

2.一枚硬币连续掷3次，至少有一次出现正面的概率是(　　)

A.   B.   C.   D.

【答案】D

【解析】P(至少有一次出现正面)＝1－P(三次均为反面)＝1－＝.

3.已知离散型随机变量X的分布列如下：

则其数学期望E(X)等于(　　)

A.1  B.0.6

C.2＋3m  D.2.4

【答案】D

【解析】由分布列的性质得m＝1－0.5－0.2＝0.3，

所以E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.

4.将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A＝{两个点数互不相同}，B＝{出现一个5点}，则P(B|A)＝(　　)

A.   B.   C.   D.

【答案】A

【解析】出现点数互不相同的共有n(A)＝6×5＝30种，

出现一个5点共有n(AB)＝5×2＝10种，

∴P(B|A)＝＝.

5.正态分布密度函数为f(x)＝ ，x∈R，则其标准差为(　　)

A.1  B.2  C.4  D.8

【答案】B

【解析】根据f(x)＝，x∈R，对比f(x)＝知σ＝2.

6.将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为(　　)

A.    B.

C.    D.

【答案】B

【解析】总数为63＝216，

满足要求的点为(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，(4,5,6)，(1,3,5)，(2,4,6)，同时公差可以为负，故还需乘以2，还有6个常数列，故P＝＝.

7.节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理，根据前5年节日期间对这种鲜花销售情况需求量X(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束，在今年节日期间销售，则期望利润是(　　)[来源:学科网]

A.544   B.706

C.1 156   D.1 606

【答案】B

【解析】节日期间这种鲜花需求量X的均值为E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束).

设利润为Y，则Y＝5X＋1.6(500－X)－500×2.5＝3.4X－450，所以E(Y)＝3.4E(X)－450＝3.4×340－450＝706(元).

8.甲、乙两个工人在同样的条件下生产，日产量相等，每天出废品的情况如下表所示，则有结论(　　)

A.甲的产品质量比乙的产品质量好一些

B.乙的产品质量比甲的质量好一些

C.两人的产品质量一样好

D.无法判断谁的质量好一些

【答案】B

【解析】∵E(X甲)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，

E(X乙)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9.

∵E(X甲)>E(X乙)，

∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些.

二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

9．（2020·枣庄市第三中学高二月考）若随机变量X服从两点分布，其中，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（    ）

A．P（X＝1）＝E（X） B．E（3X+2）＝4

C．D（3X+2）＝4 D．

【答案】AB

【解析】随机变量X服从两点分布，其中，

∴P（X＝1），

E（X），

D（X）＝（0）2（1）2，

在A中，P（X＝1）＝E（X），故A正确；

在B中，E（3X+2）＝3E（X）+2＝34，故B正确；

在C中，D（3X+2）＝9D（X）＝92，故C错误；

在D中，D（X），故D错误.

故选：AB.

10．（2020·湖南省湖南师大附中高二期末）甲、乙两类水果的质量（单位：）分别服从正态分布，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（    ）

A．甲类水果的平均质量

B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近

C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小

D．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近

【答案】ABC

【解析】由图像可知,甲类水果的平均质量,乙类水果的平均质量,,则A,B,C都正确；D不正确.

故选：ABC.

11．（2019·山东省淄博高二期末）设离散型随机变量的分布列为

若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（）

A． B．，

C．， D．，

【答案】ACD

【解析】因为，所以，故A正确；

又，

，故C正确；因为，所以，，故D正确.

故选：ACD..

12．已知随机变量X服从正态分布N（100，100），则下列选项正确的是（    ）

（参考数值：随机变量ξ服从正态分布，则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6826），P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.9974）

A．E（X）＝100 B．D（X）＝100

C．P（X≥90）＝0.8413 D．P（X≤120）＝0.9987

【答案】ABC

【解析】∵随机变量X服从正太分布N（100,100）,

∴曲线关于x＝100对称,

根据题意可得,P（90＜x＜110）＝0.6826,P（80＜x＜120）＝0.9544,

∴P（x≥90）＝0.5+＝0.8413,故C正确；

P（x≤120）＝0.5+,故D错误.

而A,B都正确.

故选：ABC.

三.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）

13.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝        .

【答案】

【解析】P(X≤6)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝＝.

14.甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，则甲回家途中遇红灯次数的均值为        .

【答案】

【解析】设甲回家途中遇红灯次数为X，

则X～B，

E(X)＝3×＝.

15.（2020•湖北模拟）某学校选拔新生补进“篮球”、“电子竞技”、“国学”三个社团，根据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校“篮球”、“电子竞技”、“国学”三个社团的概率依次为m， ，n，已知这三个社团他都能进入得慨率为，至少进入一个社团的概率为，则m+n＝　　．

【答案】

【解析】因为通过考核选拔进入三个社团的概率依次为m，，n，且相互独立，所以0≤m≤1，0≤n≤1，又因为三个社团他都能进入的概率为，所以①，

因为至少进入一个社团的概率为，所以一个社团都不能进入的概率为1-＝，所以（1﹣m）（1﹣n）＝，即1﹣m﹣n+mn＝②，联立①②得：m+n＝．

故答案为：．

16．（2020•新疆模拟）根据公共卫生传染病分析中心的研究，传染病爆发疫情期间，如果不采取任何措施，则会出现感染者基数猛增，重症挤兑，医疗资源负荷不堪承受的后果．如果采取公共卫生强制措施，则会导致峰值下降，峰期后移．如图，设不采取措施、采取措施情况下分别服从正态分布N（35，2），N（70，8），则峰期后移了　　天，峰值下降了　　%（注：正态分布的峰值计算公式为 ）

【答案】35; 50

【解析】由题意可知峰期后移了70﹣35（天）；

峰值下降了＝50%．故答案为：35；50．

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(12分)有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽2件.

求：(1)第一次抽到次品的概率.

(2)第一次和第二次都抽到次品的概率.

(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.

【解析】设“第一次抽到次品”为事件A，“第二次抽到次品”为事件B.

(1)第一次抽到次品的概率P(A)＝

(2)P(AB)＝.

(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为P(B|A)＝÷＝.

18.（2020·河南省高三一模（理））某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.方案②：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组个人的血总共需要化验次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立.[来源:Zxxk.Com]

（1）设方案②中，某组个人的每个人的血化验次数为，求的分布列；

（2）设，试比较方案②中，分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）

【解析】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为，则.

所以个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为.

依题意可知，，所以的分布列为：

（2）方案②中.

结合（1）知每个人的平均化验次数为：

时，，此时1000人需要化验的总次数为690次，

时，，此时1000人需要化验的总次数为604次，

时，，此时1000人需要化验的次数总为594次，

即时化验次数最多，时次数居中，时化验次数最少，而采用方案①则需化验1000次，

故在这三种分组情况下，相比方案①，

当时化验次数最多可以平均减少次.

19．（2020·全国高三月考（理））2019年在印度尼西亚日惹举办的亚洲乒乓球锦标赛男子团体决赛中，中国队与韩国队相遇，中国队男子选手A，B，C，D，E依次出场比赛，在以往对战韩国选手的比赛中他们五人获胜的概率分别是0.8，0.8，0.8，0.75，0.7，并且比赛胜负相互独立.赛会釆用5局3胜制，先赢3局者获得胜利.

（1）在决赛中，中国队以3∶1获胜的概率是多少？

（2）求比赛局数的分布列及数学期望.

【解析】（1）若中国队以3∶1获胜，则前三局中赢两局输局，第四局比赛胜利，设中国队以3∶1获胜为事件A，

则.

（2）设比赛局数为X，

则X的取值分别为3，4，5，

则，

，

，

则X的的分布列为

.

20．（2020·山东省高三月考）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．

（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；

②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．

附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；

②若，则，．

【解析】（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为：

．

（2）①∵服从正态分布，且，，

∴，

∴落在内的概率是．　

②根据题意得，

；；；；.

∴的分布列为

∴．

21.（2019·盐城校级月考）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.

（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望和方差；

（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.

【解析】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，

故，从面.

所以，随机变量的分布列为：

随机变量的数学期望，.

(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则.

且.

由题意知事件与互斥，

且事件与，事件与均相互独立，

从而由(Ⅰ)知

.

22.（2019·江苏高考模拟）为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该年级理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.现按男、女用分层抽样从理科生中抽取6人，按男、女分层抽样从文科生中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.

（1）设事件为“选出的这4个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有”，求事件发生的概率；

（2）用表示抽取的4人中文科女生的人数，求的分布列和数学期望.

【解析】（1）因为学生总数为1000人，该年级分文、理科按男女用分层抽样抽取10人，则抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人.所以.

（2）的可能取值为0,1,2,3，

；；

；，[来源:学,科,网]

的分布列为

.