第9章 平面向量 （B卷提升卷）-2021-2022学年高一数学必修第二册同步单元AB卷（新教材苏教版）

第9章：  平面向量 （B卷提升卷）

一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1、（2020届山东省枣庄、滕州市高二上期末）已知向量，且，则（    ）

A．3 B．-3 C． D．

【答案】C

【解析】由题意，∵，∴，解得．

故选：C.

2、（江苏栟茶中学2020年高一下学期期末）对于非零向量，下列命题正确的是（    ）

A.若，则

B.若，则在上的投影为

C.若，则

D.若，则

【答案】C

【解析】A.：若，，时，不一定有，故A错误

B： 可得在上的投影为或，故B错误；

C：由，可得从而有 ，故C正确

D：由不一定成立，故D错误

故选C

3、（徐州高一年级第一学期期末）】设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（   ）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】∵

∴−=3(−)；

∴=−.

故选：A.

4、（陕西省渭南市尚德中学高一下学期期末）已知单位向量满足，则（    ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】由，

可得，

即，

，

则.

故选：D.

5、（河北黄冈中学高一上学期期末）若两单位向量，的夹角为60°，则=2，=3的夹角为（　　）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】是夹角为60°的两个单位向量，设，，

则，

又

故选B.

6、（2020届山东省潍坊市高二上期中）如图，已知，，，，若，（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】建立如图所以坐标系，根据条件不妨设，，，

则，

所以，解得，，

所以，

故选：C．

7、（苏州第一中学高一下学期期末）如图，平行四边形中，，点在边上，且，则

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】因为，

所以，

，

则

．

8、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）如图，在△中，点是线段上两个动点，且 ，则的最小值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图可知x，y均为正，设，

共线， ，

，

则，

，

则的最小值为，故选D.

二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分）

9、（2020年山东高二联考）已知向量，，则下列叙述中，不正确是（    ）

A．存在实数x，使 B．存在实数x，使

C．存在实数x，m，使 D．存在实数x，m，使

【答案】ABC

【解析】由，得，无实数解，故A中叙述错误；，由，得，即，无实数解，故B中叙述错误；，由，得，即，无实数解，故心中叙述错误；由，得，即，所以，，故D中叙述正确．

故选：ABC

10、（2020届山东实验中学高三上期中）关于平面向量，下列说法中不正确的是（    ）

A．若且，则 B．

C．若，且，则 D．

【答案】ACD

【解析】对于，若，因为与任意向量平行，所以不一定与平行，故错；

对于，向量数量积满足分配律，故对；

对于，向量数量积不满足消去率，故错；

对于，是以为方向的向量，是以为方向的相量，故错．

故选：．

11、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知是边长为2的等边三角形，，分别是、上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．在方向上的投影为

【答案】BCD

【解析】由题E为AB中点，则，

以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：

所以，，

设，∥，

所以，解得：，

即O是CE中点，，所以选项B正确；

，所以选项C正确；

因为，，所以选项A错误；

，，

在方向上的投影为，所以选项D正确.

故选：BCD

12、（2020·河南省郑州外国语中学高一期中）已知两个单位向量和夹角为，则向量在向量方向上的投影为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意可知：，

则，

，

据此可得向量在向量方向上的投影为.

本题选择D选项.

三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

13、（南京第八中学高一上学期期末）向量，，在正方形网格中的位置如图所示.若，则__________．

【答案】1

【解析】

所以

14、（2020届江苏省南通市如皋市高二上学期教学质量调研）若向量满足 ，，则与的夹角为_____．

【答案】

【解析】∵向量满足,,设与的夹角为 ,

则,

∴,即,,∴ ,

故答案为：

15、【2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测】在中，已知D是边的中点，E是线段的中点若，则的值为______.

【答案】；

【解析】由题意，，

∵

∴．

故答案为：．

16、【2020届江苏省七市第二次调研考试】图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图（2）），其中，则的值是______.

【答案】

【解析】如图，过点作的平行线交于点，那么向量和夹角为，，，，，且是直角三角形，，同理得，，.

故答案为：

四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）

17、如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近点B，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设＝a，＝b.

(1) 试用a，b表示，，；

(2) 证明：B，E，F三点共线．

【解析】 (1) 由题意，得＝－＝b－a，

＝＋＝＋ ＝＋(－)＝a＋(b－a)＝a＋ b，

＝＋＝－＋＝－a＋b.

(2) 因为＝－a＋b，

＝＋＝－＋＝－a＋(a＋b)＝－a＋b＝，

所以＝，所以与共线．

又与有公共点B，

所以B，E，F三点共线．

18、已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．

(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？

(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．

【解析】(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，

a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．

因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，

即2k－4＋5＝0，得k＝－.

(2)＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，

＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．

因为A，B，C三点共线，所以∥.

所以8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，所以m＝.

19、已知， 的夹角为45°.

（1）求方向上的投影；

（2）求的值;

（3）若向量的夹角是锐角，求实数的取值范围.

【解析】（1）∵， ， 与的夹角为

∴

∴在方向上的投影为1

20、（2020·福建省福州第一中学高一期末）在平面直角坐标系中，已知，.

（Ⅰ）若，求实数的值；

（Ⅱ）若，求实数的值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ），，，

，

，，解得；

（Ⅱ），

，，解得.

21、【湖北省沙市中学高一上学期期末】已知向量、满足，且 ，（）

（1）求关于的解析式 

（2）若且方向相同，试求的值

【解析】（1），且，（）

两边同时平方可得：

,

,

,

，,

，

（2）且方向相同，

代入

可得解得：

22、（2020·福建省福州第一中学高一期末）在等腰梯形中，已知，，，，动点和分别在线段和上（含端点），且，且（、为常数），设，.

（Ⅰ）试用、表示和；

（Ⅱ）若，求的最小值.

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）如下图所示，过点作，交于点，

由于为等腰梯形，则，且，

，即，又，所以，四边形为平行四边形，

则，所以，为等边三角形，且，

，，

，

；

（Ⅱ），，，

由题意可知，，由得出，

所以，，

，

令，则函数在区间上单调递减，

所以，，因此，的最小值为.