高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第二课时教案及反思

第八章 立体几何初步

8.6.3平面与平面垂直(第二课时）

一、教学目标

1.掌握平面与平面垂直的性质定理；

2.学会运用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的问题；

3.通过对平面与平面垂直性质定理的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养.

二、教学重难点

1.掌握平面与平面垂直的性质定理；

2.会运用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的问题。

三、教学过程：

（1）创设情景

如图，在长方体中，若, 则里的直线都和垂直吗？

（2）新知探究

问题1:

如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线是否一定垂直于另一个平面呢？

学生回答（不一定垂直），教师点拨

问题2:但一个平面内满足什么条件的直线才垂直于另一个平面呢？

学习小组合作探究，教师点拨(提出本节课所学内容：平面与平面垂直的性质定理)

（3）新知建构

平面与平面垂直的性质定理:

两个平面垂直，如果一个平面有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。

符号语言：已知：如图所示，垂足为，求证：．

图形语言：

证明：在内过作，

则由题意得是的平面角，

∵知，又∵，∴．

作用：证明线面垂直

（4）数学运用

例1.如图甲，在平面四边形中，已知，，，，现将四边形沿折起，使平面平面（如图乙），设点、分别为棱、的中点.

求证：平面；

证明：由题意，图甲中，因为且，

所以，，即，

在图乙中，因为平面平面，且平面平面，

所以底面，

又由底面，所以，

又，所以，且，

所以平面.

变式训练1:若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P⊄l，下列命题为假命题的是(     )

A. 过点P垂直于平面α的直线平行于平面β

B. 过点P垂直于直线l的直线在平面α内

C. 过点P垂直于平面β的直线在平面α内

D. 过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β

【答案】B

【解析】由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，因此也平行于平面β，因此A正确．过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B不正确．根据面面垂直的性质定理知，C，D正确．故选：B.

例2.已知四棱锥的底面是菱形.若，平面平面，，判断是否为等腰三角形？并说明理由.

【答案】不可能等腰三角形，理由见解析.

【解析】不可能为等腰三角形，理由如下：

作交于点，连接

因为平面平面，平面平面，平面

所以平面.

所以

因为，，平面

所以平面

因为平面，所以.

所以，且.

所以.所以.

在菱形中，若，所以等边三角形.

所以为的中点，所以，

∴

即.

所以不可能为等腰三角形.

变式训练1:如图，在三棱台ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2.

求证：BF⊥平面ACFD。

证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示.

因为平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，AC⊂平面ABC，所以AC⊥平面BCK，

因此BF⊥AC.

又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，

所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.

又CK∩AC＝C，CK，AC⊂平面ACFD，

所以BF⊥平面ACFD.

四、小结：

平面与平面垂直的性质定理:

作用：

五、作业：习题8.6.3