2020-2021学年8.6 空间直线、平面的垂直教案设计

第八章 立体几何初步

8.6.1直线与直线垂直

一、教学目标

1. 掌握空间中两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，会画出异面直线．

2.能运用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角．

3.通过对直线与直线垂直的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养.

二、教学重难点

1.理解异面直线所成角的定义以及证明两直线垂直;

2.会求两异面直线所成的角.

三、教学过程：

（1）创设情景

空间两条直线如果不平行就一定相交吗？你能找出两条既不平行又不相交的例子吗？

学生回答，教师点拨 (提出本节课所学内容异面直线)

（2）新知探究

问题1:垂直于同一条直线的两条直线，有几条种位置关系？

学生回答(相交、异面、平行）教师点拨

问题2:已知a和b是异面直线，a和c是异面直线，那么b和c也是异面直线吗？

学生回答（不一定），教师点拨

（3）新知建构

异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线a，b,经过空间任一点O作直线a′//a，b′//b,则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).

异面直线所成的角：

设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线，则把直线所成的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角．

特例  当异面直线a，b所成的角为90°时，则称这两条异面直线是互相垂直的；记为a⊥b．

异面直线所成角的范围：

（4）数学运用

例1.如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′.

(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？

(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？

(3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？

【解析】(1)由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线．

(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′＝45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°.

(3)直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直．

变式训练1:如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G 分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图，连接B1G,B1F ．

则异面直线A1E与GF所成角为∠B1GF． △B1GF中，得∠B1GF=. 故选:D

例2.空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，

EF＝3.

求证：AC⊥BD．

【解析】　∵点G，E分别是CD，BC的中点，

∴GE∥BD，同理GF∥AC．

∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角．

在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，

满足FG2＋GE2＝EF2，

∴∠FGE＝90°.

即异面直线AC与BD所成的角是90°.∴AC⊥BD．

变式训练:如图所示，正方体AC1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求证：DB1⊥EF.

【解析】如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.

则OG∥B1D，EF∥A1C1.

∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．

∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，

∴GO⊥A1C1.

∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.

∴DB1⊥EF.

13．例3:已知在底面为菱形的直四棱柱中， ，若，则求异面直线与所成的角

【答案】

【解析】连接，

四边形为菱形， ，.又为直角三角形， ，得，四边形为正方形.连接交于点 ，（或其补角)为异面直线与所成的角，由于为正方形， ，故异面直线与所成的角为.

变式训练:如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，AB与CD成角大小为_______;AB与EF成角大小为____________

【答案】60°   90°

【解析】又，所以是与所成角，

又是等边三角形，则，所以与成60°角，

因为，又，所以与成90°角

故答案为：60°   90°．

四、小结：

异面直线所成角的定义:

异面直线所成的角：

异面直线所成角的范围：

五、作业：习题8.6.1