高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念导学案

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 7.1.2复数的几何意义
导学案
编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波
【学习目标】
1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数，及它们之间的一一对应关系
2.掌握实轴、虚轴、模等概念.
3.掌握用向量的模表示复数的模的方法.
【自主学习】
知识点1　复平面的概念和复数的几何意义
1.复平面的概念
根据复数相等的定义，任何一个复数z＝a＋bi，都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定.因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应.
如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

2.复数的几何意义
按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.因此，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义.
3.复数集与复平面中的向量的一一对应关系
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样，我们还可以用平面向量来表示复数.
如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi平面向量，这是复数的另一种几何意义.

知识点2　复数的模
1.如图所示，向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|.如果b＝0，

那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R).
2.复数的模的性质，设z1，z2是任意两个复数，则
(1)|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝(|z2|≠0)(复数的乘、除法将在下节学习到).
(2)|z|＝|z1|n(n∈N*).
(3)≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是：
①当|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共线；
②当||z1|－|z2||＝|z1＋z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线.
(4)||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是：①当|z1－z2|＝|z1|＋|z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线；②当||z1|－|z2||＝|z1－z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共线.


【合作探究】
探究一 复数与复平面内的点
【例1】在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围.
解　复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10.
(1)由题意得m2－2m－8＝0.
解得m＝－2或m＝4.
(2)由题意，∴2 (3)由题意，(m2－2m－8)(m2＋3m－10)<0，
∴2 (4)由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝.

归纳总结：

【练习1】实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.
(1)对应的点在x轴上方；
(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上.
解　(1)由m2－2m－15>0，得m<－3或m>5，所以当m<－3或m>5时，复数z对应的点在x轴上方.
(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，
得m＝1或m＝－，所以当m＝1或m＝－时，
复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上.


探究二 复数的模的几何意义
【例2】设z∈C，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形.
(1)|z|＝2；
(2)1≤|z|≤2.
解　(1)方法一　|z|＝2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.
方法二　设z＝a＋bi，由|z|＝2，得a2＋b2＝4.故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.
(2)不等式1≤|z|≤2可以转化为不等式组

不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2及该圆内部所有点的集合.
不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1及该圆外部所有点的集合.
这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合.如图中的阴影部分，所求点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.


归纳总结：

【练习2】若复数z满足|z－i|≤(i为虚数单位)，则z在复平面所对应的图形的面积为 .
答案　2π
解析　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z－i＝x＋yi－i＝x＋(y－1)i，∴|z－i|＝，由|z－i|≤知≤，x2＋(y－1)2≤2.∴复数z对应的点(x，y)构成以(0,1)为圆心，为半径的圆面(含边界)，
∴所求图形的面积为S＝2π.故填2π.


探究三 复数的模及其应用
【例3】已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围.
解　方法一　∵z＝3＋ai(a∈R)，
∴|z|＝，
由已知得32＋a2<42，
∴a2<7，∴a∈(－，).
方法二　利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，

由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，
所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合.
由图可知：－
归纳总结：

【练习3】已知复数|z|＝1，求复数3＋4i＋z的模的最大值及最小值.
解　令ω＝3＋4i＋z，则z＝ω－(3＋4i).
∵|z|＝1，∴|ω－(3＋4i)|＝1，
∴复数ω在复平面内对应的点的轨迹是以(3,4)为圆心，1为半径的圆，如图，容易看出，圆上的点A所对应的复数ωA的模最大，为＋1＝6；圆上的点B所对应的复数ωB的模最小，为－1＝4，

∴复数3＋4i＋z的模的最大值和最小值分别为6和4.



课后作业
A组 基础题
一、选择题
1.设x＝3＋4i，则复数z＝x－|x|－(1－i)在复平面上的对应点在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　B
解析　∵x＝3＋4i，∴|x|＝＝5，
∴z＝3＋4i－5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i
＝－3＋5i.
∴复数z在复平面上的对应点在第二象限.
2.当 A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　D
解析　复数z在复平面内对应的点为Z(3m－2，m－1).
由0，m－1<0.所以点Z位于第四象限.故选D.
3.在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量对应的复数为(　　)
A.－2－i B.－2＋i
C.1＋2i D.－1＋2i
答案　B
解析　∵A(－1,2)关于直线y＝－x的对称点B(－2,1)，∴向量对应的复数为－2＋i.
4.已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是(　　)
A.1个圆 B.线段
C.2个点 D.2个圆
答案　A
解析　由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
即|z|＝3或|z|＝－1.
∵|z|≥0，∴|z|＝3.
∴复数z对应的轨迹是1个圆.
5.在复平面内，复数z＝i＋2i2对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　B
解析　∵z＝i＋2i2＝－2＋i，∴实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限.
6.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)
A.4＋8i B.8＋2i
C.2＋4i D.4＋i
答案　C
解析　由题意知点A的坐标为(6,5)，点B的坐标为(－2,3).由中点坐标公式，得线段AB的中点C的坐标为(2,4)，故点C对应的复数为2＋4i.
7.已知i为虚数单位，复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
答案：B
【分析】
根据三角函数的诱导公式，求得复数，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由
即复数，
所以复数对应的点为位于第二象限.
故选：B
8.（多选题）下列命题中，正确的是（ ）
A. 复数的模总是非负数
B. 复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应
C. 如果复数z对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限
D. 相等的向量对应着相等的复数
答案：ABD
【分析】
根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．
【详解】设复数，
对于A，，故A正确．
对于B，复数对应的向量为，
且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，
故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B正确．
对于B，复数对应的向量为，
且对于平面内的任一向量，其对应的复数为，
故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B正确．
对于C，如果复数对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，
故C错．
对于D，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】本题考查复数的几何意义，注意复数对应的向量的坐标为，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题．
二、填空题
9.在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2i的点在直线y＝x上，则实数m的值为 .
答案　9
解析　∵z＝(m－3)＋2i表示的点在直线y＝x上，
∴m－3＝2，解得m＝9.
10.复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|＜|z2|，那么实数a的取值范围是 .
答案　(－1,1)
解析　因为|z1|＝，|z2|＝＝.
又因|z1|＜|z2|，所以＜，解得－1＜a＜1.
11.若复数z＝5cos α－4i(i为虚数单位，－π＜α＜0)在复平面上的对应点在直线y＝x－1上，则sin α＝ .
答案　－
解析　∵复数z＝5cos α－4i在复平面上的对应点在直线y＝x－1上，∴－4＝5cos α－1, 即cos α＝－.
又∵－π＜α＜0，∴sin α＝－＝－＝－.
12.已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是 .
答案　(1，)
解析　由题意可知z＝a＋i.根据复数的模的定义，得|z|＝，而0＜a＜2，故1＜|z|＜.
13.复数z＝log3＋ilog3 对应的点位于复平面内的第 象限.
答案　三
解析　log3<0，log3 <0，
∴z＝log3＋ilog3 对应的点位于复平面内的第三象限.
三、解答题
14.已知z1＝2(1－i)，且|z|＝1，求|z－z1|的最大值.
解　如图所示，因为|z|＝1，所以z的轨迹可看作是半径为1，圆心为(0,0)的圆，而z1对应坐标系中的点为Z1(2，－2)，所以|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点的最大距离，则|z－z1|max＝2＋1.


15.设复数z＝lg(m2＋2m－14)＋(m2－m－6)i，求当实数m为何值时：
(1)z为实数；
(2)z对应的点位于复平面的第二象限.
解　(1)由题意得
解得m＝3(m＝－2舍去).
故当m＝3时，z是实数.
(2)由题意得
即
即
得
解得－5＜m＜－1－.
故当－5＜m＜－1－时，z对应的点位于复平面内的第二象限.
16.已知复数z在复平面内对应的点位于第四象限，且满足，其实部、虚部均为整数，记i为虚数单位.
（Ⅰ）求复数z；
（Ⅱ）当为纯虚数时，若，求实数m和n的值.
答案：（Ⅰ）或.（Ⅱ）

【分析】
（Ⅰ）根据题意设复数，再利用，解得即可；
（Ⅱ）根据题意可得，则，代入整理可得实数和的值.
【详解】（Ⅰ）设，则，
因为在复平面内对应的点位于第四象限，所以，，
所以或，即或.
（Ⅱ）当为纯虚数时，由（Ⅰ）知，则
由，得，
所以，解得.
【点睛】本题主要考查复数的代数表示，复数相等的条件，属于基础题.


B组 能力提升
一、选择题
1.已知复数z满足，则的最小值为（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
答案：B
【分析】
复数方程转化成实数方程，再由复数模几何意义得表示与圆上任一点间距离．
【详解】设，由得，
又表示定点与圆上任一点间距离．
则由几何意义得，
故选：B．
【点睛】本题主要考查复数模的计算和几何意义，考查了转化思想，属于中档题．
2.已知复数z满足：，则的最大值为（ ）
A. 2 B. C. D. 3
答案：B
【分析】
复数方程转化成实数方程，再由复数模定义表示与圆上任一点间距离．
【详解】解：设，由得圆的方程，
又表示定点与圆上任一点间距离．
则由几何意义得，
故选：B．
【点睛】本题主要考查复数模的计算和几何意义，属于中档题．
3.已知复数，，，满足，则点的轨迹是（ ）
A. 线段 B. 圆 C. 双曲线 D. 椭圆
答案：D
【分析】
根据复数模长的几何意义，结合椭圆的定义知，复数z对应的点在某一椭圆上．
【详解】复平面上，复数满足， 则对应的点到点，点的距离和为， 即， ∴复数对应的点在以为焦点，长轴长为的椭圆上．
故选：D．
【点睛】本题考查了复数的代数形式与模长几何意义应用问题，也考查了椭圆的定义应用问题，是基础题．
4.若，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内所对应的点在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　B
解析　∵，∴cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.∴选B.
5.设A、B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cos B－tan A)＋tan Bi对应的点位于复平面的(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案　B
解析　因A、B为锐角三角形的两个内角，所以A＋B＞，即A＞－B，sin A＞cos B.cos B－tan A＝cos B－＜cos B－sin A＜0，又tan B＞0，所以点(cos B－tan A，tan B)在第二象限，故选B.
二、填空题
6.设z＝log2(m2－3m－3)＋i·log2(m－3)(m∈R)，若z对应的点在直线x－2y＋1＝0上，则m的值是 .
答案　
解析　由题意知，复数z＝x＋yi(x，y∈R)的实部x和虚部y满足方程x－2y＋1＝0，
故log2(m2－3m－3)－2log2(m－3)＋1＝0，
则log2＝－1，
∴＝，∴m＝±.
∵
∴m＞，
∴m＝.
7.若复数z满足（i为虚数单位），则 的最小值是________.
答案：1
分析：复数满足，设，利用复数的模的计算公式与三角函数求值即可求出．
详解：由复数满足，设，
则，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为．
点睛：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式及其三角函数的求解，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
8.已知复数，且，则的最大值为__________．
答案：
【分析】
根据复数z的几何意义以及的几何意义，由图象得出最大值.
【详解】复数且，复数z的几何意义是复平面内以点为圆心，为半径的圆.的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率

由图可知：
即的最大值为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用，属于中档题.
9.已知复数z满足，则的最小值是______．
答案：3
【分析】
根据绝对值不等式，求出的最小值即可．
【详解】∵复数满足，
∴，
∴的最小值是．
故答案为3．
【点睛】本题主要考查了不等式的应用问题，也考查了复数的运算问题，是基础题目．
三、解答题
10.已知z1＝－3＋4i，|z|＝1，求|z－z1|的最大值和最小值.
解　如图，|z|＝1表示复数z对应的点在以(0,0)为圆心，1为半径的圆上，而z1在坐标系中的对应点的坐标为(－3,4)，∴|z－z1|可看作是点(－3,4)到圆上的点的距离.

由图可知，点(－3,4)到圆心(即原点)的距离为＝5，故|z－z1|max＝5＋1＝6，|z－z1|min＝5－1＝4.
11.设全集U＝C，A＝{z|||z|－1|＝1－|z|，z∈C}，B＝{z||z|＜1，z∈C}，若z∈A∩(∁UB)，求复数z在复平面内对应的点的轨迹.
解　∵z∈C，|z|∈R，∴1－|z|∈R.
∵||z|－1|＝1－|z|，∴1－|z|≥0，即|z|≤1，
∴A＝{z||z|≤1，z∈C}.
又∵B＝{z||z|＜1，z∈C}，∴∁UB＝{z||z|≥1，z∈C}.
∵z∈A∩(∁UB)，∴z∈A且z∈∁UB，
∴∴|z|＝1.
由复数的模的几何意义知，复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆.