第八章过关检测 同步训练习题 高中数学新人教A版必修第二册（2022年）

这是一份第八章过关检测 同步训练习题 高中数学新人教A版必修第二册（2022年），共11页。
第八章过关检测
（时间:120分钟　满分:150分）
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知一个四边形的直观图如图所示，其中B'C'∥A'D'∥x'轴，A'B'∥y'轴，若A'B'=2，A'D'=2B'C'=4，则原四边形的面积为（　　）

A.43 B.83 C.12 D.10
【答案】C
【解析】由题意可知，在原四边形中，AD=4，AB=4，BC=2，故原四边形的面积为S=AD+BC2·AB=12.
2.已知圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（　　）
A.33π B.3π C.53π D.5π
【答案】A
【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为R，高为h，则2πr=πR，因为r=1，所以R=2，所以h=R2-r2=3，
所以圆锥的体积V=13π×12×3=33π.
3.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（　　）
A.122π B.12π C.82π D.10π
【答案】B
【解析】过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面为圆柱的轴截面，设底面半径为r，母线长为l，因为轴截面是面积为8的正方形，所以2r=l=22，即r=2，所以圆柱的表面积为2πrl+2πr2=8π+4π=12π.
4.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列结论正确的是（　　）
A.若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β
B.若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β
C.若m∥n，m∥α，则n∥α
D.若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β
【答案】D
【解析】对于A，β与γ也可能相交，故A错误;对于B，α与β也可能相交，故B错误;对于C，n也可能在α内，故C错误;对于D，∵m∥n，m⊥α，∴n⊥α，又n⊥β，
∴α∥β，故D正确.
5.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列结论正确的是（　　）

A.CC1与B1E是异面直线
B.AC⊥平面ABB1A1
C.AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1
D.A1C1∥平面AB1E
【答案】C
【解析】对于A，显然CC1与B1E都在平面BCC1B1内，故CC1与B1E不是异面直线，故A错误;
对于B，若AC⊥平面ABB1A1，则AC⊥AB，而由题意可知△ABC是正三角形，矛盾，故AC不可能垂直于平面ABB1A1，故B错误;
对于C，显然AE与B1C1不同在任一平面内，故AE与B1C1是异面直线，又易知AE⊥平面BCC1B1，故AE⊥B1C1，故C正确;
对于D，延长C1A1到点D，使C1A1=A1D，连接B1D，AD（图略），易证AE∥B1D，则平面AB1E即是平面ADB1E，而C1D与平面ADB1E相交于点D，故A1C1与平面AB1E不平行，故D错误.
6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1上的一点，则直线CE一定垂直于（　　）

A.AC B.BD C.A1D D.A1D1
【答案】B
【解析】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，易知BD⊥AC，BD⊥AA1，故BD⊥平面A1ACC1，而CE⊂平面A1ACC1，故BD⊥CE.
7.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，成90°榫卯起来.如图，若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器的表面积的最小值为（　　）

A.36π B.40π C.41π D.44π
【答案】C
【解析】由题意知，当该球为长、宽、高分别为2，1，6的长方体的外接球时，球的半径取最小值，即该球形容器的半径的最小值为124+1+36=412，故该球形容器的表面积的最小值为4π×414=41π.
8.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=12，则下列结论错误的是（　　）

A.AC⊥BE
B.EF∥平面ABCD
C.三棱锥A-BEF的体积为定值
D.△AEF的面积与△BEF的面积相等
【答案】D
【解析】连接BD（图略）.∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，
∴AC⊥B1B，又AC⊥BD，BD∩B1B=B，
∴AC⊥平面BDD1B1，又BE⊂平面BDD1B1，
∴AC⊥BE，故A正确;
∵B1D1∥BD，B1D1⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴B1D1∥平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD，故B正确;
∵VA-BEF=13×12EF×BB1×12AC=224，
∴三棱锥A-BEF的体积为定值，故C正确;
∵点A到B1D1的距离与点B到B1D1的距离不相等，而EF=12，
∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故D不正确.
二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列说法正确的是（　　）
A.若m∥n，m⊥α，则n⊥α
B.若m∥α，α∩β=n，则m∥n
C.若m⊥α，m⊥β，则α∥β
D.若m⊥α，m∥n，n⊥β，则α∥β
【答案】ACD
【解析】对于A，若m⊥α，则∃a，b⊂α且a∩b=P使得m⊥a，m⊥b，又m∥n，则n⊥a，n⊥b，由线面垂直的判定定理得n⊥α，故A正确;
对于B，若m∥α，α∩β=n，如图，

设m=AB，平面A1B1C1D1为平面α，则m∥α，设平面ADD1A1为平面β，α∩β=A1D1=n，则m⊥n，故B错误;
对于C，垂直于同一条直线的两个平面平行，故C正确;
对于D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n⊥β，则α∥β，
故D正确.
故选ACD.
10.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=4，BC=2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则下列说法正确的是（　　）

A.A，M，N，B四点共面
B.平面ADM⊥平面CDD1C1
C.直线BN与B1M所成的角为60°
D.BN∥平面ADM
【答案】BC
【解析】对于A，显然AM，BN是异面直线，则A，M，N，B四点不共面，故A错误;
对于B，由题意知AD⊥平面CDD1C1，则平面ADM⊥平面CDD1C1，故B正确;
对于C，如图，取CD的中点O，连接BO，ON，可知三角形BON为等边三角形，则直线BN与B1M所成的角为60°，故C正确;

对于D，BN∥平面AA1D1D，显然BN与平面ADM不平行，故D错误.
11.如图①，点E为正方形ABCD边BC上异于点B，C的动点，将△ABE沿AE翻折，得到四棱锥B-AECD如图②所示，且平面BAE⊥平面AECD，点F为线段BD上异于点B，D的动点，则在四棱锥B-AECD中，下列说法正确的有（　　）

图①

图②
A.直线BE与直线CF必不在同一平面上
B.存在点E使得直线BE⊥平面DCE
C.存在点F使得直线CF与平面BAE平行
D.存在点E使得直线BE与直线CD垂直
【答案】AC
【解析】对于A，假设直线BE与直线CF在同一平面上，则E在平面BCF上，又在图①中E在线段BC上，所以E与C重合，与E异于C矛盾，所以直线BE与直线CF必不在同一平面上.
对于B，若存在点E使得直线BE⊥平面DCE，因为AE⊂平面DCE，所以BE⊥AE，又AB⊥BE，所以△ABE中有两个直角，与三角形内角和为180°矛盾，所以不存在点E使得直线BE⊥平面DCE.
对于C，取F为BD的中点，EC=12AD，再取AB的中点G（图略），则EC∥FG且EC=FG，所以四边形ECFG为平行四边形，所以FC∥EG，则直线CF与平面BAE平行；
对于D，过B作BO⊥AE于O，过D作DH⊥AE于H（图略），因为平面BAE⊥平面AECD，平面BAE∩平面AECD=AE，所以BO⊥平面AECD.
因为平面BAE⊥平面AECD，平面BAE∩平面AECD=AE，DH⊥AE，所以DH⊥平面BAE，所以DH⊥BE.
若存在点E使得直线BE与直线CD垂直，因为DH⊂平面AECD，DC⊂平面AECD，DH∩DC=D，所以BE⊥平面AECD，所以E与O重合，与三角形ABE是以B为直角的三角形矛盾，所以不存在点E使得直线BE与直线CD垂直.故选AC.
12.如图，在矩形ABCD中，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M，连接B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（　　）

A.存在某个位置，使得CN⊥AB1
B.翻折过程中，CN的长是定值
C.若AB=BM，则AM⊥B1D
D.若AB=BM=1，当三棱锥B1-AMD的体积最大时，三棱锥B1-AMD的外接球的表面积是4π
【答案】BD
【解析】对于A，如图①，

图①
取AD的中点为E，连接CE交MD于点F，连接NE，则NE∥AB1，NF∥MB1，如果CN⊥AB1，则EN⊥CN，又AB1⊥MB1，则EN⊥NF，由于三线NE，NF，NC共面且共点，故CN⊥AB1不成立，A错误.
对于B，如图①，∠NEC=∠MAB1=∠MAB，且NE=12AB1=12AB，AM=EC，则在△CEN中，由余弦定理得，NC2=NE2+EC2-2NE·EC·cos∠NEC=14AB2+AM2-AB·AM·cos∠MAB，为定值，故NC是定值，B正确.
对于C，如图②，

图②
取AM的中点O，连接B1O，D1O，因为AB=BM，即AB1=B1M，所以AM⊥B1O，若AM⊥B1D，则由B1O∩B1D=B1，且B1O，B1D⊂平面ODB1，得AM⊥平面ODB1，又OD⊂平面ODB1，所以OD⊥AM，则AD=MD，由于AD≠MD，故AM⊥B1D不成立，C错误.
对于D，由题意知，当平面B1AM⊥平面AMD时，三棱锥B1-AMD的体积最大，取AD的中点为E，连接OE，B1E，ME，如图②.
因为AB=BM=1，所以AB1=B1M=1，
且AB1⊥B1M，平面B1AM∩平面AMD=AM，
所以B1O⊥AM，又B1O⊂平面B1AM，
所以B1O⊥平面AMD，又OE⊂平面AMD，
所以B1O⊥OE，则AM=2，B1O=12AM=22，
OE=12DM=12AM=22，
从而EB1=222+222=1，
易知EA=ED=EM=1.
所以AD的中点E就是三棱锥B1-AMD的外接球的球心，球的半径为1，表面积是4π，故D正确.
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为163，则a=　　　　　. 
【答案】4
【解析】依题意，34a2·a=163，解得a=4.
14.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC=2，AA1=1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1-EF-C等于45°，则BF=　　　　　. 

【答案】1
【解析】由题意知EF⊥BC.
∵CC1⊥平面ABCD，
∴CC1⊥EF，又BC∩CC1=C，
∴EF⊥平面CC1F，∴EF⊥C1F.
故∠C1FC为二面角C1-EF-C的平面角，
即∠C1FC=45°，
∵AA1=1，∴CF=1，又BC=2，∴BF=1.
15.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB=BC=6 cm，AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为　　　　　g. 

【答案】118.8
【解析】由题意得，四棱锥O-EFGH的底面积为4×6-4×12×2×3=12（cm2），点O到平面BB1C1C的距离为3 cm，则此四棱锥的体积为V1=13×12×3=12（cm3）.
又长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V2=4×6×6=144（cm3），则该模型的体积为V=V2-V1=144-12=132（cm3）.
故其质量为0.9×132=118.8（g）.
16.如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论正确的是　　　　　（填序号）.

①PB⊥AD;②平面PAB⊥平面PAE;③BC∥平面PAE;④直线PD与平面ABC所成的角为45°.
【答案】②④
【解析】对于①，若PB⊥AD，而PA⊥AD，则AD⊥平面PAB，从而AD⊥AB，显然不成立，故①错误;
对于②，易证AB⊥AE，AB⊥PA，从而AB⊥平面PAE，又因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAE，故②正确;
对于③，若BC∥平面PAE，则BC∥AE，显然不成立，故③错误;
对于④，易知∠PDA为直线PD与平面ABC所成的角，因为PA=2AB，AD=2BC=2AB，所以PA=AD，所以∠PDA=45°，即直线PD与平面ABC所成的角为45°，故④正确.
四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）如图（单位:cm），求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.

解：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成:圆台下底面、侧面和一半球面，
则可得S半球=8π，S圆台侧=35π，S圆台底=25π.
故所求几何体的表面积为68π cm2.
由V圆台=13×（π×22+π×22×π×52+π×52）×4=52π，V半球=43π×23×12=16π3，
故所求几何体的体积为V圆台-V半球=52π-16π3=140π3（cm3）.
18.（12分）在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB.过点A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别为棱SA，SC的中点.

求证:（1）平面EFG∥平面ABC;
（2）BC⊥SA.
证明：（1）∵AS=AB，AF⊥SB，∴F为SB的中点.
又点E，G分别为棱SA，SC的中点，
∴EF∥AB，FG∥BC.
又EF⊄平面ABC，FG⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC，FG∥平面ABC，又EF∩FG=F，
∴平面EFG∥平面ABC.
（2）∵平面SAB⊥平面SBC，AF⊥SB，平面SAB∩平面SBC=SB，
∴AF⊥平面SBC，∴AF⊥BC.
又BC⊥AB，AF∩AB=A，
∴BC⊥平面SAB.
又SA⊂平面SAB，∴BC⊥SA.
19.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.

（1）求证:MN∥平面PAB;
（2）求四面体N-BCM的体积.
（1）证明：由已知得AM=23AD=2.
如图，取BP的中点T，连接AT，TN.

∵N为PC的中点，∴TN∥BC，TN=12BC=2.
又AD∥BC，∴TN?AM，
∴四边形AMNT为平行四边形，∴MN∥AT.
又AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，
∴MN∥平面PAB.
（2）解：∵PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，
∴点N到平面ABCD的距离为12PA=2.
如图，取BC的中点E，连接AE.
∵AB=AC=3，
∴AE⊥BC，AE=AB2-BE2=5.
又AM∥BC，∴点M到BC的距离为5，
∴S△BCM=12×4×5=25.
∴VN-BCM=13×25×2=453.
20.（12分）如图①，在直角梯形PBCD中，PB∥CD，CD⊥BC，BC=PB=2CD，A是PB的中点.现沿AD将三角形PAD折起，使得PA⊥AB，如图②所示，点E，F分别为BC，AB的中点.

①

②
（1）求证:PA⊥平面ABCD;
（2）求证:平面PAE⊥平面PDE;
（3）试在PA上找一点G，使得FG∥平面PDE，并证明你的结论.
（1）证明：在直角梯形PBCD中，
∵PB∥CD，CD⊥BC，PB=2CD，A是PB的中点，
∴四边形ABCD是矩形，∴AD⊥PA.
又在图②中，PA⊥AB，AB∩AD=A，
∴PA⊥平面ABCD.
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，ED⊂平面ABCD，
∴PA⊥ED.在矩形ABCD中，
∵BC=2CD=2AB=2BE=2EC，∴∠BEA=45°，∠CED=45°，∴∠AED=90°，即AE⊥ED.
又PA∩AE=A，∴ED⊥平面PAE.
又ED⊂平面PDE，∴平面PAE⊥平面PDE.
（3）解：在PA上取一点G，使PG=3GA，则FG∥平面PDE.
证明如下:取ED的中点M，在PD上取一点N，使PN=3ND，连接FG，FM，MN，GN（图略），则FM∥AD，GN∥AD，FM=12（BE+AD）=34AD，GN=34AD，
∴FM?GN，
∴四边形FMNG为平行四边形，∴FG∥MN.
又MN⊂平面PDE，FG⊄平面PDE，
∴FG∥平面PDE.
21.（12分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，E为BC的中点，把△ABE和△CDE分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P.

（1）求证:平面PDE⊥平面PAD;
（2）求二面角P-AD-E的大小.
（1）证明：由题意可知，AP⊥PE，DP⊥PE.
又AP∩DP=P，∴PE⊥平面PAD.
又PE⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAD.
（2）解：如图，取AD的中点F，连接PF，EF，

则PF⊥AD，EF⊥AD，
∴∠PFE为二面角P-AD-E的平面角.
又PE⊥平面PAD，∴PE⊥PF.
∵EF=AB=2，PE=1，
∴sin∠PFE=PEEF=22，∴∠PFE=45°.
∴二面角P-AD-E的大小为45°.
22.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.

（1）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由;
（2）若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成的角的正弦值.
解：（1）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.
如图，延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下:

由题意知，BC∥ED，且BC=ED，
所以四边形BCDE是平行四边形，从而CM∥EB.
又因为EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.
（2）已知CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD.
因为PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD，又因为AD⊥CD，所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角，
所以∠PDA=45°.
设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.
由题意知，AE=ED=CD=1，在Rt△PAE中，PE=5，在Rt△CDE中，CE=2，在Rt△PAD中，PD=22，在Rt△PDC中，PC=3.
设点A到平面PCE的距离为m，PA与平面PCE所成的角为β.
已知△PEC的三边，根据余弦定理和三角形面积计算公式得S△PEC=32.
又S△AEC=12AE·CD=12，则由VA-PEC=VP-AEC，得13·32·m=13·12·PA，已知PA=2，解得m=23，故sin β=mPA=13，即直线PA与平面PCE所成的角的正弦值为13.