初中数学冀教版八年级下册第二十一章 一次函数综合与测试习题

八年级数学下册第二十一章一次函数同步练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、已知正比例函数的图像经过点（2，4）、（1，）、（1，），那么与的大小关系是（        ）

A．  B．  C．  D．无法确定

2、下列问题中，两个变量成正比例的是（　　）

A．圆的面积S与它的半径r

B．三角形面积一定时，某一边a和该边上的高h

C．正方形的周长C与它的边长a

D．周长不变的长方形的长a与宽b

3、小豪骑自行车去位于家正东方向的书店买资料用于自主复习．小豪离家5min后自行车出现故障，小豪立即打电话给爸爸，让爸爸带上工具箱从家里来帮忙维修（小豪和爸爸通话以及爸爸找工具箱的时间忽略不计），同时小豪以原来速度的一半推着自行车继续向书店走去，爸爸接到电话后，立刻出发追赶小豪，追上小豪后，爸爸用2min的时间修好了自行车，并立刻以原速到位于家正西方500m的公司上班，小豪则以原来的骑车速度继续向书店前进，爸爸到达公司时，小豪还没有到达书店．如图是小豪与爸爸的距离y（m）与小豪的出发时间x（min）之向的函数图象，请根据图象判断下列哪一个选项是正确的（       ）

A．小豪爸爸出发后12min追上小豪 B．小李爸爸的速度为300m/min

C．小豪骑自行车的速度为250m/min D．爸爸到达公司时，小豪距离书店500m

4、在平面直角坐标系中，若函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值（       ）

A．小于0 B．等于0 C．大于0 D．非负数

5、某网店销售一款市场上畅销的护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．则y与x的函数关系式为（       ）

A．y＝﹣2x＋100 B．y＝﹣2x＋40 C．y＝﹣2x＋220 D．y＝﹣2x＋60

6、已知点，在一次函数的图像上，则m与n的大小关系是（       ）

A． B． C． D．无法确定

7、关于一次函数 ，下列说法不正确的是（       ）

A．图象经过点(2，0)  B．图象经过第三象限 

C．函数y随自变量x的增大而减小 D．当x≥2时，y≤0

8、我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶（图1）．图2中，分别表示两船相对于海岸的距离s（海里）与追赶时间t（分）之间的关系，下列说法错误的是（       ）．

A．快艇的速度比可疑船只的速度快0.3海里/分

B．5分钟时快艇和可疑船只的距离为3.5海里

C．若可疑船只一直匀速行驶，则它从海岸出发0.5小时后，快艇才出发追赶

D．当快艇出发分钟后追上可疑船只，此时离海岸海里

9、AB两地相距20km，甲从A地出发向B地前进，乙从B地出发向A地前进，两人沿同一直线同时出发，甲先以8km/h的速度前进1小时，然后减慢速度继续匀速前进，甲乙两人离A地的距离s（km）与时间t（h）的关系如图所示，则甲出发（       ）小时后与乙相遇．

A．1.5 B．2 C．2.5 D．3

10、下列语句是真命题的是（       ）．A．内错角相等

B．若，则

C．直角三角形中，两锐角和的函数关系是一次函数

D．在中，，那么为直角三角形

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、函数和的图象相交于点，则方程的解为______．

2、求kx＋b＞0（或＜0）（k≠0）的解集

从函数值看：y＝kx＋b的值大于（或小于）0时，_____的取值范围

从函数图象看：直线y＝kx＋b在_____上方（或下方）的x取值范围

3、一次函数 y＝2x＋3 的图象经过第____________象限，y随x的增大而______ ，与y轴交点坐标为_________．

4、如图，一次函数x+4的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上的一动点，连接BC，将沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为_____．

5、如图，将正方形置于平面直角坐标系中，其中，，边在轴上，直线与正方形的边有两个交点、，当时，的取值范围是__．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、甲、乙两人相约周末登山，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：

(1)______米；

(2)求出甲距地面的高度与登山时间的关系式，并指出一次项系数的实际意义；

(3)若乙提速后，乙登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，则在整个爬山过程中，登山多长时间时，甲乙两人距离地面的高度差为70米？

2、如图1，一个正立方体铁块放置在圆柱形水槽内，水槽的底面圆的面积记为，正立方体的底面正方形的面积记为．现以一定的速度往水槽中注水，28秒时注满水槽．此时停止注水，并立刻将立方体铁块用细线竖直匀速上拉直至全部拉出水面．水槽内水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象如图2所示．

(1)正立方体的棱长为______cm，______；

(2)当圆柱形水槽内水面高度为12cm时，求注水时间是几秒？

(3)铁块完全拉出时，水面高度为______cm．

3、A、B两地相距20千米，甲、乙两人某日中午12点同时从A地出发匀速前往B地，甲的速度是每小时4千米，如图，线段OM反映了乙所行的路程s与所用时间t之间的函数关系，根据提供的信息回答下列问题：

(1)乙由A地前往B地所行的路程s与所用时间t之间的函数解析式是 　   　，定义域是 　   　；

(2)在图中画出反映甲所行驶的路程s与所用时间t之间的函数图象；

(3)下午3点时，甲乙两人相距 　   　千米．

4、已知一次函数 y＝－x＋2．

(1)求这个函数的图像与两条坐标轴的交点坐标；

(2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图像；

(3)结合函数图像回答问题：

①当 x＞0 时，y 的取值范围是     ；

②当 y＜0 时，x 的取值范围是     ．

5、－辆货车从甲地到乙地，一辆轿车从乙地到甲地，两车沿同一条公路分别从甲、乙两地同时出发，匀速行驶．已知轿车比货车每小时多行驶20km；两车相遇后休息了24分钟，再同时继续行驶，设两车之间的距离为y（km），货车行驶时间为x（h），请结合图像信息解答下列问题：

(1)货车的速度为______km/h，轿车的速度为______km/h；

(2)求y与x之间的函数关系式（写出x的取值范围），并把函数图像画完整；

(3)货车出发______h，与轿车相距30km．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【解析】

【分析】

先求出正比例函数解析式根据正比例函数的图象性质，当k＜0时，函数随x的增大而减小，可得y1与y2的大小．

【详解】

解：∵正比例函数的图像经过点（2，4）、代入解析式得

解得

∴正比例函数为

∵＜0，

∴y随x的增大而减小，

由于-1＜1，故y1<y2．

故选：A．

【点睛】

本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，用到的知识点为：正比例函数的图象，当k＜0时，y随x的增大而减小是解题关键．

2、C

【解析】

【分析】

分别列出每个选项两个变量的函数关系式，再根据函数关系式逐一判断即可.

【详解】

解： 所以圆的面积S与它的半径r不成正比例，故A不符合题意；

所以三角形面积一定时，某一边a和该边上的高h不成正比例，故B不符合题意；

所以正方形的周长C与它的边长a成正比例，故C符合题意；

所以周长不变的长方形的长a与宽b不成正比例，故D不符合题意；

故选C

【点睛】

本题考查的是两个变量成正比例，掌握“正比例函数的特点”是解本题的关键.

3、B

【解析】

【分析】

根据函数图象可知，小豪出发10分钟后，爸爸追上了小豪，根据此时爸爸的5分钟的行程等于小豪前5分钟的行程与后5分钟的行程和，得到出爸爸的速度与小豪骑自行车的速度的关系，设小豪的速度为x米/分，根据点（，0）列方程可得小豪与爸爸的速度，进而得出爸爸到达公司时，小豪距离书店路程．

【详解】

解：设小豪骑自行车的速度为xm/min，则爸爸的速度为：

（5x+5×x）÷5=x（m/min），

∵公司位于家正西方500米，

∴(−10−2)×x＝500+（5+2.5）x，

解得x=200，

∴小豪骑自行车的速度为200m/min，爸爸的速度为：200×＝300m/min，

爸爸到达公司时，丁丁距离商店路程为：

3500-（−12）×（300+200）=m．

综上，正确的选项为B．

故选：B．

【点睛】

本题考查了一次函数的应用，学会正确利用图象信息，把问题转化为方程解决是本题的关键，属于中考常考题型．

4、C

【解析】

【分析】

一次函数过第一、二、三象限，则，根据图象结合性质可得答案.

【详解】

解：如图，函数的图象经过第一、二、三象限，

则函数的图象与轴交于正半轴，

故选C

【点睛】

本题考查的是一次函数的图象与性质，掌握“一次函数过第一、二、三象限，则”是解本题的关键.

5、C

【解析】

【分析】

根据单价为60元时，每星期卖出100个,每涨价1元，每星期少卖出2个，列出关系式即可．

【详解】

解：∵单价为60元时，每星期卖出100个．销售单价，每涨价1元，少卖出2个，

∴设销售单价为x元，则涨价（x-60）元，每星期少卖出2（x-60）个．，

∴y=100−2（x-60）=-2x+220，

故选C.

【点睛】

此题主要考查了由实际问题列函数关系式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．

6、A

【解析】

【分析】

根据一次函数的性质，y随x增大而减小判断即可．

【详解】

解：知点，在一次函数的图像上，

∵-2<0，

∴y随x增大而减小，

∵，

∴，

故选：A．

【点睛】

本题考查了一次函数的增减性，解题关键是明确一次函数y随x增大而减小的性质．

7、B

【解析】

【分析】

当 时， ，可得图象经过点(2，0)；再由 ，可得图象经过第一、二、四象限；函数y随自变量x的增大而减小；然后根据 时， ，可得当x≥2时，y≤0，即可求解．

【详解】

解：当 时， ，

∴图象经过点(2，0)，故A正确，不符合题意；

∵ ，

∴图象经过第一、二、四象限，故B错误，符合题意；

∴函数y随自变量x的增大而减小，故C正确，不符合题意；

当 时， ，

∴当x≥2时，y≤0，故D正确，不符合题意；

故选：B

【点睛】

本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．

8、C

【解析】

【分析】

根据图象分别计算两船的速度判断A正确；利用图象计算出发5分钟时的距离差判断B正确；可疑船只出发5海里后快艇追赶，计算时间判断C错误正确；设快艇出发t分钟后追上可疑船只，列方程，求解即可判断D正确．

【详解】

解：快艇的速度为，可疑船只的速度为（海里/分），

∴快艇的速度比可疑船只的速度快0.5-0.2=0.3海里/分，故A选项不符合题意；

5分钟时快艇和可疑船只的距离为海里，故B选项不符合题意；

由图象可知：可疑船只出发5海里后快艇追赶，分钟=小时，故选项C符合题意；

设快艇出发t分钟后追上可疑船只，，解得t=，

这时离海岸海里，故D选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】

此题考查了一次函数的图象，正确理解函数图象并得到相关信息进行计算是解题的关键．

9、B

【解析】

【分析】

根据题意结合图象分别求出甲减速后的速度已经乙的速度，再列方程解答即可．

【详解】

解：甲减速后的速度为：（20﹣8）÷（4﹣1）＝4（km/h），乙的速度为：20÷5＝4（km/h），

设甲出发x小时后与乙相遇，

根据题意得8＋4（x﹣1）＋4x＝20，

解得x＝2．

即甲出发2小时后与乙相遇．

故选：B．

【点睛】

本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活应用速度、路程、时间之间的关系解决问题．

10、C

【解析】

【分析】

根据平行线的性质，函数的定义，三角形内角和定理逐一判断即可．

【详解】

解：A、两直线平行，内错角相等，故原命题是假命题，不符合题意；

B、若，则，故原命题是假命题，不符合题意；

C、直角三角形中，两锐角和的函数关系是一次函数，故原命题是真命题，符合题意；

D、在中，，那么最大角∠C=，故△ABC为锐三角形，故原命题是假命题，不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题叫定理．熟练掌握平行线的性质，三角形内角和定理是解题的关键．

二、填空题

1、

【解析】

【分析】

由题意知，方程的解为其交点的横坐标，进而可得结果．

【详解】

解：由题意知的解为两直线交点的横坐标

故答案为：．

【点睛】

本题考查了一次函数图象的交点与一次方程解的关系．解题的关键在于理解一次函数图象的交点与一次方程解的关系．

2、     x     x轴

【解析】

略

3、     一，二，三     增大     （0，3）

【解析】

略

4、（12，0）或（－，0）

【解析】

【分析】

由一次函数解析式求出点A、B的坐标，进而求得OA、OB、AB，分点C在x轴正半轴和在x轴负半轴，利用折叠性质和勾股定理求解OC即可．

【详解】

解：当x=0时，y=4，当y=0时，x=－3，

∴A(－3，0)，B（0，4），

∴OA=3，OB=4，

∴，

设点A的对应点为A1，OC=x，

当点C在x轴正半轴时，如图，

根据轴对称性质得：BA1=AB=5，OA1=5+4=9，CA1=AC=3+x，

在Rt△A1OC中，由勾股定理得：，

解得：x=12，即OC=12，

∴点C坐标为（12，0）；

当点C在x轴负半轴时，如图，

根据折叠性质得：BA1=AB=5，OA1=5－4=1，CA1=AC=3－x，

在Rt△A1OC中，由勾股定理得：，

解得：，即OC= ，

∴点C的坐标为（－，0），

综上，点C的坐标为（12，0）或（－，0），

故答案为：（12，0）或（－，0）．

【点睛】

本题考查一次函数与坐标轴的交点问题、折叠性质、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握轴对称性质，利用分类讨论思想解决问题是解答的关键．

5、或且

【解析】

【分析】

设BC与y轴交于点M，根据题意可得E点不在AD边上，即，分两种情况进行讨论：①如果，那么点E在AB边或线段BM上；②如果，那么点E在CD边或线段CM上；对两种情况的临界情况进行分析即可得出结果．

【详解】

解：如图，设BC与y轴交于点M，

，，，

∴E点不在AD边上，

；

①如果，那么点E在AB边或线段BM上，

当点E在AB边且时，

由勾股定理得，，

，

，，

当直线经过点，时，．

，

，

当点E在线段BM上时，，

，符合题意；

②如果，那么点E在CD边或线段CM上，

当点E在CD边且时，E与D重合；

当时，由勾股定理得，，

，

，此时E与C重合，

当直线经过点时，．

当点E在线段CM上时，，

且，符合题意；

综上，当时，的取值范围是或且，

故答案为：或且．

【点睛】

题目主要考查正比例函数的综合问题，包括其性质及分类讨论思想，勾股定理解三角形等，理解题意，熟练掌握运用分类思想是解题关键．

三、解答题

1、 (1)30；

(2)y=10x+100；一次项的系数是表示甲登山的速度；

(3)3或10或13分钟

【解析】

【分析】

（1）根据图象直接得到答案；

（2）利用待定系数法解答；

（3）求出甲登山速度，由此求出乙登山的函数解析式，列方程当10x+100−(30x−30)=70时，解得，当30x−30−(10x+100)=70时，当300−(10x+100)=70时，解方程即可．

(1)

解：由图象可得b=15÷1×2=30米，

故答案为：30．

(2)

解：设甲距地面的高度与登山时间的关系式y=kx+m，

由图象可得，过点C（0,100）、D（20,300），

∴，解得，

∴甲距地面的高度与登山时间的关系式y=10x+100；

一次项的系数是表示甲登山的速度；

(3)

解：甲登山速度为（300-100）÷20=10（米/分钟），

当0≤x≤2时，y=15x；当x≥2时，y=30+10×3（x-2）=30x-30．

当y=30x-30=300时，x=11．

甲登山全程中，距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数关系式为y=10x+100(0⩽x⩽20)，

当10x+100−(30x−30)=70时，解得：x=3；

当30x−30−(10x+100)=70时，解得：x=10；

当300−(10x+100)=70时，解得：x=13.

∴登山3分钟、10分钟或13分钟时，甲乙两人距离地面的高度差为70米．

【点睛】

此题考查了一次函数的图象，一元一次方程的应用，待定系数法求函数解析式，正确理解函数图象并应用解决问题是解题的关键．

2、 (1)10，4

(2)15.2秒

(3)17.5

【解析】

【分析】

（1）由 12秒和20秒水槽内水面的高度可求正立方体的棱长；设注水的速度为xcm3/s，圆柱的底面积为scm2，得到关于x、s的二元一次方程组，可得到水槽的底面面积，即可求解；

（2）根据A（12、10）、B（28、20）求出线段AB的解析式，把y=12代入解析式，即可求解；

（3）根据水槽内水面的高度下降得体积为正立方体的体积，求出水槽内水面的高度下降，即可得答案．

(1)

解：由图2得：

∵12秒时，水槽内水面的高度为10cm，12秒后水槽内高度变化趋势改变，

∴正立方体的棱长为10cm；

由图2可知，圆柱体一半注满水需要28-12=16 (秒)，故如果将正方体铁块取出，又经过16-12=4 (秒)恰好将水槽注满，正方体的体积是103=1000cm3，

设注水的速度为xcm3/s，圆柱的底面积为scm2，根据题意得：

，

解得：

∴水槽的底面面积为400cm2，

∵正立方体的棱长为10cm，

∴正立方体的底面正方形的面积=10×10=100 cm2，

∴S1:S2=400:100=4:1

(2)

设线段AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，将A（12、10）、B（28、20）代入得：，

解得：

∴y=x+，

当y=12时，x+b=12，

解得：x=15.2，

∴注水时间是15.2秒；

(3)

∵正立方体的铁块全部拉出水面，水槽内水面的高度下降，

设正立方体的铁块全部拉出水面，水槽内水面的高度下降acm，根据题意得：400a=1000，a=2.5，所以铁块完全拉出时，水面高度为20-2.5=17.5cm．

【点睛】

本题考查了正立方体的体积、圆柱的体积、一次函数的应用，做题的关键是利用函数的图象获取正确信息是解题的关键．

3、 (1)s＝t；0≤t≤6

(2)见解析

(3)2

【解析】

【分析】

（1）设直线的解析式为，将代入即可求出，由图象可直接得出的范围；

（2）根据甲的速度，可得出行驶时间，得到终点时点的坐标，作出直线即可；

（3）用甲行驶的路程减去乙行驶的路程即可．

(1)

解：设直线的解析式为，且，

，解得；

；

由图象可知，；

故答案为：；；

(2)

解：甲的速度是每小时4千米，

甲所用的时间（小时），

，

图象如下图所示：

(3)

解：下午3点时，甲、乙两人之间的距离为：．

故答案为：2．

【点睛】

本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

4、 (1)这个函数的图像与坐标轴的交点为（0，2），（2，0）；

(2)见解析

(3)①y＜2；②x＞2

【解析】

【分析】

（1）令x=0，求函数与y轴的交点，令y=0，求函数与x轴的交点；

（2）两点法画出函数图象；

（3）通过观察函数图象求解即可．

(1)

解：令x=0，则y=2，

令y=0，则x=2，

∴这个函数的图像与坐标轴的交点为（0，2），（2，0）；

(2)

解：这个函数的图像如图所示：

，

(3)

解：①观察图像可知：当x＞0时，y＜2，

故答案为：y＜2；

②观察图像可知：当y＜0时，x＞2，

故答案为：x＞2．

【点睛】

本题考查了一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．

5、 (1)80，100

(2)当时，；当时，；当时，；当时，，图见解析

(3)或

【解析】

【分析】

（1）结合图象可得经过两个小时，两车相遇，设货车的速度为，则轿车的速度为，根据题意列出方程求解即可得；

（2）分别求出各个时间段的函数解析式，然后再函数图象中作出相应直线即可；

（3）将代入（2）中各个时间段的函数解析式，求解，同时考虑解是否在相应时间段内即可．

(1)

解：由图象可得：经过两个小时，两车相遇，

设货车的速度为，则轿车的速度为，

∴，

解得：，，

∴货车的速度为，则轿车的速度为，

故答案为：80；100；

(2)

当时，图象经过，点，

设直线解析式为：，代入得：

，

解得：，

∴当时，；

分钟小时，

∵两车相遇后休息了24分钟，

∴当时，；

当时，轿车距离甲地的路程为：，货车距离乙地的路程为：，

轿车到达甲地还需要：，

货车到达乙地还需要：，

∴当时，；

当时，；

当时，；

当时，；

当时，；

∴函数图象分别经过点，，，

作图如下：

(3)

①当时，令可得：

，

解得：；

②当时，令可得：

，

解得：；

③当时，令可得：

；

解得：：，不符合题意，舍去；

综上可得：货车出发或，与轿车相距30km，

故答案为：或．

【点睛】

题目主要考查一元一次方程的应用，一次函数的应用，利用待定系数法确定一次函数解析式，作函数图象等，理解题意，熟练掌握运用一次函数的基本性质是解题关键．