初中数学冀教版八年级下册第二十一章 一次函数综合与测试教案

全章热门考点整合应用

名师点金：

本章内容是中考的必考内容，主要考查一次函数的图像与性质，求函数表达式及建立一次函数模型解决利润大小、方案选择等实际问题，题型涉及选择题、填空题与解答题．其热门考点可概括为：一个概念，一个图像，一个性质，四个关系，一个方法，两个应用．

一个概念——一次函数

1．当m，n为何值时，y＝(5m－3)x2－n＋(m＋n)是关于x的一次函数？当m，n为何值时，y是关于x的正比例函数？

一个图像——一次函数的图像

2．【中考·阜新】对于一次函数y＝kx＋k－1(k≠0)，下列叙述正确的是(　　)

A．当0<k<1时，函数图像经过第一、二、三象限

B．当k>0时，y随x的增大而减小

C．当k<1时，函数图像一定交于y轴的负半轴

D．函数图像一定经过点(－1，－2)

3．若有理数a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝ax＋c的图像可能是(　　)

一个性质——一次函数的性质

4．已知点M(1，a)和点N(2，b)是一次函数y＝－2x＋1的图像上的两点，则a与b的大小关系是(　　)

A．a＞b  B．a＝b

C．a＜b  D．以上都不对

5．已知一次函数的表达式是y＝(k－2)x＋12－3k.

(1)当图像与y轴的交点位于原点下方时，判断函数值随着自变量的增大而变化的趋势；

(2)如果函数值随着自变量的增大而增大，且函数图像与y轴的交点位于原点上方，确定满足条件的正整数k的值．

四个关系

 一次函数与正比例函数的关系

6．如图，过点A(0，3)的一次函数的图像与正比例函数y＝2x的图像相交于点B.

(1)求一次函数的表达式；

(2)判断点C(4，－2)是否在该一次函数的图像上，说明理由；

(3)若该一次函数的图像与x轴交于D点，求△BOD的面积．

(第6题)

 一次函数与一元一次方程的关系

7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋1与y＝－x＋3交于点A，两直线分别交x轴于点B和点C.

(1)求点B，C的坐标；

(2)求△ABC的面积．

(第7题)

 一次函数与二元一次方程(组)的关系

8．下列各个选项中的网格都是边长为1的小正方形，利用函数的图像解方程5x－1＝2x＋5，其中正确的是(　　)

9．如图，一次函数y＝k1x＋b1的图像l1与y＝k2x＋b2的图像l2相交于点P，则方程组的解是(　　)　

A.  B.

C.  D.

(第9题)

 一次函数与不等式(组)的关系

10．【中考·武汉】已知一次函数y＝kx＋3的图像经过点(1，4)．

(1)求这个一次函数的表达式；

(2)求关于x的不等式kx＋3≤6的解集．

11．在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y1＝2x－4，y2＝x＋1的图像，根据图像回答下列问题：

(1)求二元一次方程组的解；

(2)求一元一次不等式组的解集．

一个方法——待定系数法

12．如图，一个正比例函数图像与一个一次函数图像交于点A(3，4)，且一次函数的图像与y轴相交于点B(0，－5)．　

(1)求这两个函数的表达式；

(2)求△AOB的面积．

(第12题)

两个应用

 给出表达式(或图像)解实际问题

13．【中考·河南】某游泳馆普通票价20元/张，暑期为了促销，新推出两种优惠卡：

①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；

②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．

暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元．

(1)分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；

(2)在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请求出点A，B，C的坐标；

(3)请根据函数图像，直接写出选择哪种消费方式更合算．【导学号：54274016】

(第13题)

 只给语言叙述或图表情境解实际问题

14．为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在河堤坡面种植白杨树，现有甲、乙两家林场可提供相同质量的白杨树苗，其具体销售方案如下：

设购买白杨树苗x棵，到两家林场购买所需费用分别为y甲(元)、y乙(元)．

(1)该村需要购买1 500棵白杨树苗，若都在甲林场购买所需费用为________元，若都在乙林场购买所需费用为________元；

(2)分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式；

(3)如果你是该村的负责人，应该选择到哪家林场购买树苗合算，为什么？

答案

1．解：若y＝(5m－3)x2－n＋(m＋n)是关于x的一次函数，

则有解得

所以当m≠且n＝1时，y＝(5m－3)x2－n＋(m＋n)是关于x的一次函数．

若y＝(5m－3)x2－n＋(m＋n)是关于x的正比例函数，

则有解得

所以当m＝－1且n＝1时，y＝(5m－3)x2－n＋(m＋n)是关于x的正比例函数．

2．C　3.A

4．A　点拨：∵点M(1，a)和点N(2，b)在一次函数y＝－2x＋1的图像上，由一次函数的性质可知一次函数y＝－2x＋1的函数值y随x的增大而减小，∴a>b.

5．解：(1)因为图像与y轴的交点位于原点下方，即点(0，12－3k)位于原点下方，所以12－3k<0，解得k>4.所以k－2>4－2>0，所以函数值随着自变量的增大而增大．

(2)因为函数值随着自变量的增大而增大，所以k－2>0，解得k>2.

因为函数图像与y轴的交点位于原点上方，所以12－3k>0，解得k<4.

所以k的取值范围为2<k<4.

所以满足条件的正整数k的值为3.

6．解：(1)在y＝2x中，令x＝1，得y＝2，则点B的坐标是(1，2)，

设一次函数的表达式是y＝kx＋b(k≠0)，　

则解得

故一次函数的表达式是y＝－x＋3.

(2)点C(4，－2)不在该一次函数的图像上．理由：对于y＝－x＋3，

当x＝4时，y＝－1≠－2，所以点C(4，－2)不在该一次函数的图像上．

(3)在y＝－x＋3中，令y＝0，得x＝3，则点D的坐标是(3，0)，

则S△BOD＝×OD×2＝×3×2＝3.

7．解：(1)由x＋1＝0，解得x＝－1，

所以点B的坐标是(－1，0)．

由－x＋3＝0，解得x＝4，

所以点C的坐标是(4，0)．

(2)因为BC＝4－(－1)＝5，点A到x轴的距离为，

所以S△ABC＝×5×＝.

8．A　点拨：由选项中的图像可知要将5x－1＝2x＋5的解转化为两条直线的交点的横坐标，因此画出一次函数y＝5x－1与y＝2x＋5的图像即可．

9．A

10．解：(1)把点(1，4)的坐标代入y＝kx＋3中，得4＝k＋3.

∴k＝1.

∴一次函数的表达式为y＝x＋3.

(2)由(1)知k＝1，

∴原不等式为x＋3≤6.

∴x≤3.

点拨：(1)把点(1，4)的坐标代入y＝kx＋3中，用待定系数法求出k的值．(2)把求出的k值代入不等式kx＋3≤6中，求出不等式的解集．

11．解：图像如图所示．

(第11题)

 (1)由图像知，直线y1＝2x－4与y2＝x＋1的交点坐标为(5，6)，所以方程组的解为

(2)由图像知，不等式组

的解集为x＞2.

12．解：(1)设正比例函数的表达式为y＝k1x，一次函数的表达式为y＝k2x＋b，把A(3，4)的坐标代入y＝k1x得k1＝，把A(3，4)，B(0，－5)的坐标分别代入y＝k2x＋b，解得k2＝3，b＝－5，故正比例函数的表达式为y＝x，一次函数的表达式为y＝3x－5.

(2)因为A点横坐标为3，所以A点到OB的距离为3.又因为B点纵坐标为－5，所以OB＝5.

所以△AOB的面积为×5×3＝7.5.

13．解：(1)银卡：y＝10x＋150；

普通票：y＝20x.

(2)把x＝0代入y＝10x＋150，得y＝150，

∴A(0，150)．

∵

∴

∴B(15，300)．

把y＝600代入y＝10x＋150，得x＝45.

∴C(45，600)．

(3)当0<x<15时，选择购买普通票更合算；(注：若写成0≤x＜15，也正确)

当x＝15时，选择购买银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；

当15<x<45时，选择购买银卡更合算；

当x＝45时，选择购买金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算；

当x>45时，选择购买金卡更合算．

14．解：(1)5 900；6 000

(2)当0≤x≤1 000时，y甲＝4x，

当x>1 000时，

y甲＝4 000＋3.8(x－1 000)＝3.8x＋200，

∴y甲＝

当0≤x≤2 000时，y乙＝4x，

当x>2 000时，

y乙＝8 000＋3.6(x－2 000)＝3.6x＋800，

∴y乙＝

(3)由题意，得

当0≤x≤1 000时，两家林场白杨树苗价格一样，

∴到两家林场购买所需费用一样；

当1 000<x≤2 000时，甲林场有优惠而乙林场无优惠，

∴当1 000<x≤2 000时，到甲林场购买合算；

当x>2 000时，y甲＝3.8x＋200，

y乙＝3.6x＋800，

当y甲＝y乙时，

3．8x＋200＝3.6x＋800，

解得x＝3 000，

∴当x＝3 000时，到两家林场购买所需费用一样；

当y甲<y乙时，

3．8x＋200＜3.6x＋800，

解得x<3 000，

∴当2 000<x<3 000时，到甲林场购买合算；

当y甲>y乙时，

3．8x＋200>3.6x＋800，

解得x>3 000，

∴当x>3 000时，到乙林场购买合算．

综上所述，当0≤x≤1 000或x＝3 000时，到两家林场购买所需费用一样；

当1 000<x<3 000时，到甲林场购买合算；

当x>3 000时，到乙林场购买合算．