高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法教案

课程基本信息

课例编号

学科

数学

年级

高二

学期

上学期

课题

数学归纳法（1）

教科书

书名：普通高中教科书数学A版选择性必修2                                  

出版社：人民教育出版社                出版日期：2020年5月

教学人员

姓名

单位

授课教师

指导教师

教学目标

教学目标：

1.了解数学归纳法的原理和步骤，会用数学归纳法证明关于正整数n的数学命题.

2.借助具体实例，通过对证明一个数学命题的过程和多米诺骨牌全部倒下的过程的类比和分析，获得证明数学命题的方法，进而推广为数学归纳法的原理和步骤.

3.感受类比的数学思想方法，提升数学抽象素养.

教学重点：数学归纳法的原理.

教学难点：类比多米诺骨牌全部倒下的过程，理解数学归纳法的原理.

教学过程

时间

教学环节

主要师生活动

问题导入

问题1 如何证明与正整数n有关的数学命题？

师生活动：教师呈现问题情境，引发学生思考.

问题2 已知数列满足，，计算，猜想其通项公式，并证明你的猜想.

师生活动：教师提醒学生：已知反映相邻两项关系的递推公式，又已知首项，那么我们就可以求出该数列的每一项.学生在教师的指导下，令n=1，就有，把代入，可得.同理，令n=2，就有，把代入，可得.我们用同样的方法可以求出也等于1.看上去这个数列的每一项都是1，由此猜想，该数列的通项公式就是.教师提出问题：该如何证明这个猜想呢？有的学生可能会说：从n=5开始一个个往下验证呗！此时，教师提醒学生注意：一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证.但当n较大时，验证起来会很麻烦.尤其是我们这里要证明n取所有正整数都成立，这是一个无限的问题，逐一验证是不可能的，我们无法用常规方法严格证明.因此，我们很有必要寻求一种新的方法，这种方法能让我们通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立.

类比迁移

问题3 能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？

师生活动：学生在教师的引导下，通过对视频的观察，归纳使所有骨牌都能倒下的条件有两个：第一块骨牌倒下，并且任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定能导致后一块倒下.

追问（1）：条件（1）的作用是什么？

师生活动：教师提醒学生：如果第一块骨牌不倒，那么后面的骨牌自然也不会倒.所以第一块骨牌倒下，给所有骨牌倒下提供了基础，这个条件必不可少.

追问（2）：条件（2）的作用是什么？

师生活动：教师提醒学生：若骨牌间距过大，导致前一块骨牌无法推倒后一块骨牌，那就不能使所有骨牌都倒下.可以看出，条件（2）实际上是给出了一个递推关系：第k块骨牌倒下，能推出第k+1块骨牌倒下.假设有无限多块骨牌，我们可以想象前一块推倒后一块的动作将永远进行下去.也就是说，无论有多少块骨牌，只要保证这两个条件都成立，那么所有骨牌一定可以全部倒下.这就是骨牌原理.

追问（3）：证明猜想“数列的通项公式是”与多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？

师生活动：教师引导学生回顾猜想该数列通项公式是的过程：

学生发现这个过程蕴含着一个与多米诺骨牌游戏的条件（2）类似的递推结构：以成立为条件，推出也成立.它相当于命题：当n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立.学生在教师引导下发现只要能证明这个命题，就可以在的条件下，由这个命题得到：对任意正整数n，成立.教师引导学生证明该命题：如果n=k时猜想成立，即，那么，把代入，.也就是说，当n=k+1时，猜想也成立.这样我们就证明了这个命题.我们猜想的通项公式也就得到了验证.教师引导学生把这个猜想的证明过程与骨牌原理进行类比.

教师总结：通过以上类比、迁移的过程，我们找到了“通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立”的方法.这个方法，就叫做数学归纳法.

学习新知

问题4 什么是数学归纳法？

师生活动：教师呈现数学归纳法的定义：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）证明当（）时命题成立；（2）以“当n=k（，k≥）时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法.特别地，当时，命题就对从1开始的正整数成立，也就是对所有正整数都成立.

追问（1）：数学归纳法中的两个步骤都必要吗？

师生活动：学生在教师的引导下理解第一步是命题递推的基础，确定了时命题成立，成为后面递推的出发点，没有它，递推就成为无源之水.就好比多米诺骨牌，只有推倒其中一块骨牌，后面的骨牌才有可能倒.我们把第一步称为是归纳奠基.而第二步是命题递推的依据，即确认一种递推关系，好比是多米诺骨牌游戏中，如果第k块骨牌倒下，那么要保证第k+1块骨牌也能倒下，再加之k的任意性，即保证了骨牌倒下去的传递性.类似地，借助第二步，命题成立的范围就能从正整数开始，向后一个数接一个数地无限传递到以后的每一个正整数，从而完成证明.所以，我们把第二步称为是归纳递推.“归纳奠基”和“归纳递推”这两个步骤缺一不可.只有把两步的结论结合起来，才能断定命题对从开始的所有正整数n都成立.

追问（2）：数学归纳法的两个步骤之间有什么关系？

师生活动：教师向学生解释这两个步骤之间既相互依存，又彼此联系，是一个有机的整体.如果我们记P（n）是一个关于正整数n的命题.第一步验证了当时结论成立，即为真.第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若为真，则也为真.完成这两步，就有真，真……真，真…….结论就是为真，从而完成证明.需要注意的是，第二步实际上就是从推出：.

追问（3）：如何理解的意义？

师生活动：教师引导学生注意，这个关系所关注的不是和是否分别成立，而是命题“若为真，则也为真”是否成立，它强调的是这二者之间是否有递推关系.

典例巩固

例1 用数学归纳法证明：如果是一个公差为d的等差数列，那么①对任何多成立.

师生活动：教师提醒学生注意因为等差数列的通项公式涉及全体正整数，所以用数学归纳法证明的第一步应证明n=1时命题成立.（1）当n=1时，左边，右边=，所以①式成立.这样就完成了第一步.关于第二步，教师引导学生明确证明的目标，即要证明一个新命题：如果n=k时①式是正确的，那么n=k+1时①式也是正确的.（2）假设当n=k（）时①式成立，即，学生寻找之间的递推关系：根据等差数列的定义，有，于是，就是.学生此时可能会迷茫于接下来该沿着哪个方向化简.教师引导学生注意：我们一定要把”证明的目标“牢记在心！此时的目标就是要证明n=k+1时①式也是正确的，把n给换成k+1，那也就是要证明.学生比较两个式子，发现应该要把d给提出来，即，它自然也就是，这样我们就证明了n=k+1时①式也成立.由这两步可知，①式对任何都成立.

课堂小结

问题5 这节课学习了哪些知识？

师生活动：学生回顾本节课，归纳出这节课学习了一种证明与正整数n有关的数学命题的方法，就是数学归纳法.

追问（1）：为什么要应用数学归纳法？

师生活动：学生在教师指导下归纳：我们之所以要应用数学归纳法，是因为有些问题用常规方法很难解.此时，我们需要寻求新的思路，即：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立.数学归纳法也就应运而生了.所以，引入数学归纳法是很有必要的，有些时候是其他方法难以替代的.

追问（2）：数学归纳法是怎样的一种方法？

师生活动：学生在教师的引导下总结：首先，数学归纳法用来证明一个与正整数n有关的命题，证明的时候需要两个步骤：一是证明当时命题成立，它为后续的证明奠定了基础，故称之为归纳奠基；二是假设n=k时命题成立，证明n=k+1时也成立，也就是要证明一个递推关系，故称这一步为归纳递推.这两个步骤缺一不可，最终证明对所有正整数n，命题都成立.

追问（3）：本节课用到了哪些研究方法？

师生活动：教师引导学生回顾本节课的研究路径，从整体上来看，我们先是探究等差数列通项公式的严格证明，由这一具体的问题入手，从特殊到一般，最终得出数学归纳法的一般步骤.为了更好地理解数学归纳法，我们从多米诺骨牌游戏入手，虽然多米诺骨牌游戏是一种现实情境，但它能揭示数学归纳法的本质，类比价值较高.我们类比、迁移“骨牌原理”，获得证明数学命题的方法，推广得到数学归纳法的原理.教师提醒学生体会这其中的数学抽象过程.

课后作业

用数学归纳法证明：首项为，公比为q的等比数列的通项公式是，前n项和公式是（）.