考点07一元一次方程及其应用（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（青岛版）

考点07一元一次方程及其应用

考点总结

1.等式的概念及性质

等式:表示相等关系的式子叫做等式.

等式性质:

(1)等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等,

即如果,那么；

(2)等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.

即如果,那么;如果,那么.

2.一元一次方程的概念

方程:含有未知数的等式叫做方程.

方程的解:使方程中等号左右两边相等的末知数的值叫做方程的解,一个末知数是方程的解,也叫做方程的根.

解方程:求方程解的过程叫做解方程.

一元一次方程:只含有1个末知数(元),并且末知数的最高次数是1的整式方程,叫做一元一次方程.

一元一次方程的一般形式:.

3.一元一次方程的解法

易错点:

(1)去分母时不要漏乘其中的常数项;

(2)去括号时要注意不要漏乘括号内的任何一项,括号前面是“-”号,去括号时括号内各项都要改变符号;

(3)移项时注意变号.

真题演练

一、单选题

1．（2021·山东聊城·中考真题）若﹣3＜a≤3，则关于x的方程x＋a＝2解的取值范围为（    ）

A．﹣1≤x＜5 B．﹣1＜x≤1 C．﹣1≤x＜1 D．﹣1＜x≤5

【答案】A

【分析】

先求出方程的解，再根据﹣3＜a≤3的范围，即可求解．

【详解】

解：由x＋a＝2，得：x＝2-a，

∵﹣3＜a≤3，

∴﹣1≤2-a＜5，即：﹣1≤x＜5，

故选A．

2．（2021·山东罗庄·二模）已知x＝3是关于x的方程的解，则的值是（　　）

A．2 B．-2 C．1 D．﹣1

【答案】A

【分析】

把x＝3代入方程，可得n-2m=1，进而即可求解．

【详解】

解：∵x＝3是关于x的方程的解，

∴6m=3n-3，即：n-2m=1，

∴=2，

故选A．

3．（2021·山东沂南·一模）观察下列两行数：

0，2，4，6，8，10，12，14，16，…

0，3，6，9，12，15，18，21，24，…

探究发现：第1个相同的数是0，第2个相同的数是6，…，若第n个相同的数是102，则n等于（    ）

A．20 B．19 C．18 D．17

【答案】C

【分析】

根据前4个相同的数归纳类推出一般规律，由此即可得．

【详解】

由题意得：第1个相同的数是，

第2个相同的数是，

第3个相同的数是，

第4个相同的数是，

归纳类推得：第个相同的数是（为正整数），

若第个相同的数是102，则，

解得，

故选：C．

4．（2021·山东济南·一模）元旦当天，某商场把一双运动鞋按标价的8折出售，仍然获利20%，若该运动鞋的进价为300元，则标价是（    ）元

A．360 B．400 C．420 D．450

【答案】D

【分析】

设标价为x元，然后根据题意列出方程，解方程即可求解．

【详解】

设标价为x元，根据题意得

解得

∴标价为450元，

故选：D．

5．（2021·山东·日照港中学一模）程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：

一百馒头一百僧，大僧三个更无争，

小僧三人分一个，大小和尚得几丁．

意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人，下列求解结果正确的是（　　）

A．大和尚25人，小和尚75人 B．大和尚75人，小和尚25人

C．大和尚50人，小和尚50人 D．大、小和尚各100人

【答案】A

【分析】

根据100个和尚分100个馒头，正好分完．大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到等量关系为：大和尚的人数+小和尚的人数=100，大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数=100，依此列出方程即可．

【详解】

设大和尚有x人，则小和尚有（100﹣x）人，

根据题意得：3x+=100，

解得x=25，

则100﹣x=100﹣25=75（人），

所以，大和尚25人，小和尚75人，

故选A．

6．（2021·山东·邹城市看庄中学一模）一种商品进价为每件a元，按进价增加25％出售，后因库存积压降价，按售价的九折出售，每件还盈利（     ）

A．0.125a元 B．0.15a元 C．0.25a元 D．1.25a元

【答案】A

【详解】

试题分析：依题意知：a（1+25%）90%-a=0.125a．

7．（2020·山东东营·中考真题）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“ 三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意是：有人要去某关口，路程里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半， 一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（  ）

A．里 B．里 C．里 D．里

【答案】B

【分析】

根据题意可设第一天所走的路程为，用含的式子分别把这六天的路程表示出来，相加等于总路程378，解此方程即可．

【详解】

解：设第一天的路程为里

∴

解得

∴第三天的路程为

故答案选B

8．（2020·山东芝罘·一模）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微商将一件商品按进价上调标价，再以标价的八折售出，仍可获利30元，则这件商品的进价为（ ）

A．80元 B．100元 C．150元 D．180元

【答案】C

【分析】

根据题意设这件商品的进价为x元，根据利润＝销售价格－进价，即可得出关于x的一元一次方程，即可求解．

【详解】

解：设这件商品的进价为x元，

根据题意得：，

解得：x=150．

答：这件商品的进价为150元．

故选：C．

9．（2020·山东·济南市历城区双语实验学校一模）已知关于x的一元一次方程2（x﹣1）+3a＝3的解为4，则a的值是（　　）

A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．﹣3

【答案】A

【分析】

把x=1代入方程，即可得到一个关于a的方程，即可求解．

【详解】

把x=4代入方程得 

解得：

故选：A.

10．（2020·山东历城·三模）关于x的方程2（x﹣a）=5的解是3，则a的值为（　　）

A．2 B． C．﹣2 D．﹣

【答案】B

【分析】

将x=3代入原方程得到关于a的新方程，求解即可得.

【详解】

将x=3代入得：

2（3﹣a）=5，

解得：a=．

故选B．

二、填空题

11．（2021·山东日照·中考真题）关于的方程（、为实数且），恰好是该方程的根，则的值为_______．

【答案】-2

【分析】

根据方程的解的概念，将代入原方程，然后利用等式的性质求解．

【详解】

解：由题意可得，

把代入原方程可得：，

等式左右两边同时除以，可得：，

即，

故答案为：．

12．（2021·山东烟台·中考真题）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则a的值为____________．

【答案】2

【分析】

设处第一行第一列、第三列第三行、对角线上的未知量，用三数之和为15就可以求出a．

【详解】

解：如图，把部分未知的格子设上相应的量

第一行第一列：6+b+8=15，得到b=1

第三列第三行：8+3+f=15，得到f=4

∵f=4

∵对角线上6+c+f=15

∴6+4+c=15，得到c=5

∵c=5

另外一条对角线上8+c+a=15

∴8+5+a=15，得到a=2

故答案为：2．

13．（2021·山东枣庄·中考真题）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则的值为______．

【答案】1

【分析】

如图（见解析），先根据“每一横行、两条斜对角线上的数字之和都是15”求出图中①和②表示的数，再根据“每一竖行上的数字之和都是15”建立方程，解方程即可得．

【详解】

解：如图，由题意，图中①表示的数是，

图中②表示的数是，

则，

解得，

故答案为：1．

14．（2021·山东天桥·二模）若代数式与x－3互为相反数，则x＝__________；

【答案】2

【分析】

根据相反数的意义，即可列出关于x的等式，解出x即可．

【详解】

由题意可知，

解得：．

故答案为2．

15．（2021·山东商河·一模）若代数式+1与代数式的值相等，则x＝_____．

【答案】2

【分析】

根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．

【详解】

解：根据题意得：+1＝，

去分母得：x﹣2+6＝2x+2，

移项得：x﹣2x＝2+2﹣6，

合并得：﹣x＝﹣2，

解得：x＝2．

故答案为：2．

三、解答题

16．（2021·山东泰安·中考真题）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．

（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？

（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？

【答案】（1）30人；（2）39天

【分析】

（1）设当前参加生产的工人有人，根据每人每小时完成的工作量不变列出关于的方程，求解即可；

（2）设还需要生产天才能完成任务．根据前面4天完成的工作量＋后面天完成的工作量＝760列出关于的方程，求解即可．

【详解】

解：（1）设当前参加生产的工人有x人，

依题意得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，且符合题意．

答：当前参加生产的工人有30人．

（2）每人每小时的数量为（万剂）．

设还需要生产y天才能完成任务，

依题意得：，

解得：，（天）

答：该厂共需要39天才能完成任务．

17．（2021·山东济南·三模）每年6月18日，许多家居商城都会利用这个契机进行打折促销活动，甲卖家的商品成本为600元，在标价1000元的基础上打8折销售．

（1）现在甲卖家欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于20%？

（2）据媒体爆料，有一些卖家先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为，乙卖家也销售商品，其成本标价与甲卖家一致，以前每天可售出50件，现乙卖家先将标价提高了原标价的倍，再大幅降价元，使得商品在6月18日当天售出的数量增加到原来售出数量的倍，这样一天的利润达到了50000元，求的值．

【答案】（1）降价80元；（2）3

【分析】

（1）设降价x元，根据利润=售价-成本结合利润率不低于20%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；

（2）根据利润=每件利润×销售数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合销售数量为整数，即可得出结论．

【详解】

解：（1）设降价x元，

依题意得：1000×0.8-x-600≥600×20%，

解得：x≤80．

答：最多降价80元，才能使利润率不低于20%．

（2）依题意得：[1000（1+0.2m）-250m-600]×50× =50000，

整理得：m2-8m+15=0，

解得：m1=3，m2=5，

当m=3时，50×=200（件），符合题意；

当m=5时，50× =（件），不为整数，舍去．

答：m的值为3．

18．（2021·山东·青岛西海岸新区实验初级中学（青岛市黄岛区实验初级中学）模拟预测）小王骑自行车从A地到B地，小陈骑自行车从B地到A地，两人都沿同一条公路匀速前进，已知两人在上午7时同时出发，到上午9时，两人还相距20千米，到中午12时，两人又相距40千米，求A，B两地的距离．

【答案】千米

【分析】

上午9时，两人走的路程之和为总路程减去20，中午12时，两人走的路程之和为总路程加40．根据两人的速度和一定列式求值即可．

【详解】

解：设A， B两地间的路程为x千米，

根据题意：，

解得：，

答：A， B两地间的路程是千米．