考点21概率（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（青岛版）

考点21概率

考点总结

1.事件的概念

必然事件:在现实生活中一定会发生的事件.

不可能事件:一定不会发生的事件.

事件的分类：

2.概率

定义:

在次重复试验中,如果事件发生的次数为,当越来越大时,频率会稳定在某个常数附近,那么这个常数就叫做事件的概率,记为

概率的取值范围:因为在次试验中,事件发生的频数满足,所以,进而可知频率所稳定到的常数满足,因此.

规律:

(1)必然事件的概率:当是必然事件时,在次试验中,事件发生的频数,相应的频率,随着的增加,频率始终稳定为1,因此;

(2)不可能事件的概率:是不可能发生的事件时,事件发生的频率,相应的频率,因此;

(3)随机事件的频率:

事件发生的可能性越大,则它的概率越接近于1;

反之，事件发生的可能性越小,则它的概率越接近于0,

因此,随机事件的概率应为

3.概率的计算

方法:

(1)列举法:一般地,如果在一次试验中,有种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件包含其中的种结果,那么事件发生的概率为

(2)列表法：当事件发生的可能性为有限个,且可能性情况明确时,可用列表法列出所有可能的情况,再看其中适合题意的情况占总数的比值,借此确定该事件A发生的概率;

(3)树状图法:当一次试验要涉及三个或更多步骤完成时,用“树状图”的方法求事件A的概率很有效.

4.利用概率设计游戏方案

应用:概率在日常生活和科技方面有广泛的应用，如福利彩票、体育彩票、有奖促销等.

几个人玩一种游戏,对所有人是否公平,主要从两个方面来检测:一是判断游戏双方操纵的是否是同类事件,二是两个事件发生的可能性是否相等.

注意:理解游戏是否公平应注意的问题:

(1)要使游戏对双方公平,首先是游戏的操作方式、程序、规则等条件必须相等,另一个重要的方面是双方获胜的可能性要求相等;

(2)在设计转盘游戏中,一般要将转盘均分成若干份,从而保证指针落在各个区域的可能性都相同。

真题演练

一、单选题

1．（2021·山东临沂·中考真题）现有4盒同一品牌的牛奶，其中2盒已过期，随机抽取2盒，至少有一盒过期的概率是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

列举出所有的情况，再得到至少有一盒过期的情况数，利用概率公式计算即可．

【详解】

解：∵有4盒同一品牌的牛奶，其中2盒已过期，

设未过期的两盒为A，B，过期的两盒为C，D，随机抽取2盒，

则结果可能为（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D），

共6种情况，其中至少有一盒过期的有5种，

∴至少有一盒过期的概率是，

故选D．

2．（2021·山东东营·中考真题）经过某路口的汽车，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两车经过该路口，恰好有一车直行，另一车左拐的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出恰有一车直行，另一车左拐的结果数，然后根据概率公式求解．

【详解】

解：画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中恰有一车直行，另一车左拐的结果数为2，

所以恰有一车直行，另一车左拐的概率＝ ．

故选A．

3．（2021·山东威海·中考真题）在一个不透明的袋子里装有5个小球，每个球上都写有一个数字，分别是1，2，3，4，5，这些小球除数字不同外其它均相同．从中随机一次摸出两个小球，小球上的数字都是奇数的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

通过列举的方法将所有可能的情况一一列举，进而找出小球上的数字都是奇数的情况即可求出对应概率．

【详解】

所有可能出现的情况列举如下：

；；；

；；

；

共10种情况，

符合条件的情况有：；；；共3种情况；

小球上的数字都是奇数的概率为，

故选：C．

4．（2021·山东滨州·中考真题）在四张反面无差别的卡片上，其正面分别印有线段、等边三角形、平行四边形和正六边形．现将四张卡片的正面朝下放置，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

首先判断各图形是否是轴对称图形，再根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．

【详解】

解：∵线段是轴对称图形，等边三角形是轴对称图形，平行四边形不是轴对称图形，正六边形是轴对称图形，

分别用A、B、C、D表示线段、等边三角形、平行四边形和正六边形，

∴随机抽取两张，则抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为=，

故选：A．

5．（2021·山东济南·中考真题）某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据题意，用列表法求出概率即可．

【详解】

根据题意，设三个宣传队分别为列表如下：

总共由9种等可能情况，她们恰好选择同一个宣传队的情况有3种，

则她们恰好选到同一个宣传队的概率是．

故选C

6．（2021·山东南区·二模）一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，再放回，不断重复上述过程．小明共摸了100次，其中80次摸到白球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有（    ）

A．18个 B．15个 C．12个 D．10个

【答案】C

【分析】

小明共摸了100次，其中80次摸到白球，20次摸到黑球，摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：4，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为1：4；即可计算出白球数．

【详解】

解：由题可得：312（个）．

故答案为：12．

7．（2021·山东东营·二模）有20张背面完全一样的卡片，其中8张正面印有天鹅湖风光，7张正面印有黄河入海口自然风景，5张正面印有孙武湖景色．把这些卡片的背面朝上，搅匀后从中随机抽出一张卡片，抽到正面是天鹅湖风光卡片的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

依据天鹅湖风光卡片的张数除以卡片的总张数即为所求的概率．

【详解】

解：共有图片20张，天鹅湖风光卡片8张，抽到正面是天鹅湖风光卡片的概率是：．

故选：C．

8．（2021·山东淄川·一模）从－3，0，1，2这四个数中任取一个数作为一元二次方程的系数的值，能使该方程有实数根的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据一元二次方程根的判别式的意义得到△=32+4a≥0且，解得a≥且，然后根据概率公式求解．

【详解】

解：当△=32+4a≥0且时，一元二次方程有实数根，
所以a≥且，
从－3，0，1，2这4个数中任取一个数，满足条件的结果数有，
所以所得的一元二次方程中有实数根的概率是．
故选：．

9．（2021·山东淄川·二模）某公司的班车在7：30，8：00，8：30从某地发车，小李在至之间到达车站乘坐班车，如果他到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

先列出等车时间不超过10分钟的时间段，再根据概率公式求解即可得．

【详解】

解：由题意，小李等车时间不超过10分钟的时间段为：至、至，一共20分钟；从至一共有40分钟，

则他等车时间不超过10分钟的概率是，

故选：B．

10．（2021·山东龙口·一模）有甲、乙两把不同的锁，各配有2把钥匙．若从这4把钥匙中任取2把钥匙，则打开甲、乙两把锁的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

画树状图，共有12个等可能的结果，打开甲、乙两把锁的结果有8个，再由概率公式求解即可．

【详解】

解：把打开甲的钥匙记为A，打开乙的钥匙记为B，画树状图如图：

共有12个等可能的结果，打开甲、乙两把锁的结果有8个，

∴打开甲、乙两把锁的概率为，

故选：C．

二、填空题

11．（2021·山东济南·中考真题）如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是_______．

【答案】

【详解】

解：∵两个同心圆被等分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中白色区域的面积占了其中的四等份，

∴P（飞镖落在白色区域）=

故答案为：．

12．（2021·山东青岛·中考真题）在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同．摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中．不断重复这一过程，共摸球100次．其中有40次摸到黑球，估计袋中红球的个数是__________．

【答案】6

【分析】

估计利用频率估计概率可估计摸到黑球的概率为 ，然后根据概率公式构建方程求解即可．

【详解】

解：设袋中红球的个数是x个，根据题意得：

，

解得：x=6，

经检验：x=6是分式方程的解，

即估计袋中红球的个数是6个．

故答案为：6．

13．（2021·山东临清·三模）两个不透明的盒子里各分别装有红色、白色、蓝色三个小球，现从两个盒子中各随机取一个球，则取出的球是同一颜色的概率是__________．

【答案】

【分析】

画出树状图，得出所有情况数及取出的球是同一颜色的情况数，利用概率公式计算即可得答案．

【详解】

画树状图如下：

∵共有9种等可能情况，其中取出的球是同一颜色的情况有3种，

∴取出的球是同一颜色的情况的概率为，

故答案为：

14．（2021·山东周村·一模）一个不透明盒子里有3张形状大小质地完全相同的卡片，上面分别标有数字1，2，3．从中随机抽出一张后不放回，再从盒中随机抽出一张，则两次抽出的卡片都是奇数的概率为______．

【答案】

【分析】

列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．

【详解】

解：列表如下

由表可知，共有6种等可能结果，其中两次抽出的卡片都是奇数的有2种结果，
所以两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率为，
故答案为：．

15．（2021·山东招远·一模）如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中，，，小明蒙上眼睛用棍子击中了锣面，他击中阴影部分的概率是__________．

【答案】

【分析】

分别计算出阴影部分的面积和大正方形的面积，然后按照概率公式计算即可．

【详解】

在中，由勾股定理得，

，

∴阴影部分正方形的边长为，

∴阴影部分正方形的面积为，

∵大正方形的面积为，

∴击中阴影部分的概率，

故答案为：．

三、解答题

16．（2021·山东东营·中考真题）为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某中学九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛．该班每位同学从A．“北斗卫星”；B．“5G时代”；C．“东风快递”；D．“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成以下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）九（1）班共有________名学生；

（2）补全折线统计图；

（3）D所对应扇形圆心角的大小为________；

（4）小明和小丽从A、B、C、D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．

【答案】（1）50；（2）见解析；（3）108°；（4）

【分析】

（1）用B组频数除以所占百分比即可求解；

（2）用50减去A、B、C组频数，求出D组频数，即可补全折线统计图；

（3）用360°乘以D组所占百分比即可求解；

（4）列表得出所有等可能结果，根据概率公式即可求解．

【详解】

（1）20÷40%=50（人），

故答案为：50；

（2）50-10-20-5=15（人），

补全折线统计图如图：

；

（3），

故答案为：；

（4）列表如下：

由列表可知，一共有16种等可能的结果，他们选择相同主题的结果有4种，

所以P（相同主题）．

17．（2021·山东济宁·中考真题）某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，根据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题：

（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是    ；

（2）请补全条形统计图；

（3）若该校九年级共有学生1200人，则估计该校“良好”的人数是    ；

（4）已知“不合格”的3名学生中有2名男生、1名女生，如果从中随机抽取两名同学进行体能加试，请用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率多少？

【答案】（1）；（2）补全条形统计图见详解；（3）510；（4）

【分析】

（1）由乘以“优秀”的人数所占的比例即可；

（2）求出这次调查的人数为：(人)，得出及格的人数，补全条形统计图即可；

（3）由该校总人数乘以“良好”的人数所占的比例即可；

（4）画树状图，共有6种等可能的结果，抽到两名男生的结果有2种，则由概率公式计算即可．

【详解】

解：（1）在这次调查中，“优秀”

所在扇形的圆心角的度数是：，

故答案为：；

（2）这次调查的人数为：(人)，

则及格的人数为：(人)，

补全条形统计图如下：

；

（3）估计该校“良好”的人数为：

(人)，

故答案为：510人；

（4）画树状图如图：

，

共有6种等可能的结果，

抽到两名都是男生的结果有2种，

∴抽到两名都是男生的概率为．

18．（2021·山东菏泽·中考真题）2021年5月，菏泽市某中学对初二学生进行了国家义务教育质量检测，随机抽取了部分参加15米折返跑学生的成绩，学生成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）请把条形统计图补充完整；

（2）合格等级所占百分比为______%；不合格等级所对应的扇形圆心角为______度；

（3）从所抽取的优秀等级的学生、、……中，随机选取两人去参加即将举办的学校运动会，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到、两位同学的概率．

【答案】（1）见解析；（2）30， （3）

【分析】

（1）先根据良好等级所占的百分比求出总人数，

再根据总人数减去其他等级求出优秀的人数，补全统计图．

（2）用合格等级的人数除以总人数得百分比；

不合格等级的人数除以总数得百分比，再乘以，得对应的扇形圆心角度数．

（3）用列表法列举出所有可能，找出恰好抽到、两位同学的情形，利用概率的概念求得概率．

【详解】

（1）总人数为：（人）；

优秀人数为：（人）．

（2）合格等级：．

不合格等级对应的扇形圆心角：．

（3）用列表法如图：

从表中可以看出，共有30种等情况数，符合题意选中、两位同学共2种．

恰好抽到、两位同学的概率为 ．