考点05分式（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（青岛版）

考点05分式

考点总结

1．分式的概念

一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．

2．分式的基本性质

分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变．用式子表示为：

=，=(其中A，B，C是整式，C≠0)．

3．约分与通分

约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．

通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．

【温馨提示】

1．分式的值为0受到分母不等于0的限制，“分式的值为0”包含两层意思：一是分式有意义，二是分子的值为0，不要误解为“只要分子的值为0，分式的值就是0”．

2．分式的基本性质中的A、B、C表示的都是整式，且C≠0．

3．分子、分母必须“同时”乘C(C≠0)，不要只乘分子（或分母）．

4．性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式的值是相等的．但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的．

【方法技巧】

1．分式的符号法则可总结为：一个负号随意跑，两个负号都去掉．就是说，分式中若出现一个负号，则此负号可“随”我们的“意”（即根据题目要求）跑到分子、分母以及分式本身三者中的任何一个位置上；若分式中出现两个负号，则可以将这两个负号同时去掉．

2．分式的分子、分母系数化整问题的基本做法是分式的分子、分母都乘同一个“适当”的不为零的数，这里的“适当”的数又分两种情况：若分式分子、分母中的系数都是分数时，“适当”的数就是分子、分母中各项系数的所有分母的最小公倍数；若分式的分子、分母中各项系数是小数时，则“适当的数”就是10n，其中n是分子、分母中各项系数的小数点后最多的位数．最后根据情况需要约分时，则要约分．

4．分式的乘除

乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．

除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．

上述法则用式子表示为，．

5．分式的乘方

分式乘方要把分子、分母分别乘方．用式子表示为．

6．分式的加减

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．

上述法则用式子表示为，．

7．负整数指数幂

(a≠0)，即a－n(a≠0)是an的倒数．

8．用科学记数法表示小于1的正数

   小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10－n的形式，其中1≤a＜10，n是正整数．

【温馨提示】

1．分式的运算结果一定要化为最简分式或整式．

2．分式乘方时，若分子或分母是多项式，要避免出现类似这样的错误．

3．同分母分式相加减“把分子相加减”就是把各个分式的“分子整体”相加减，各分子都应加括号，特别是相减时，要避免出现符号错误．

【方法技巧】

1．分式的乘除运算归根到底是乘法运算，其实质是分式的约分．

2．除式或被除式是整式时，可把它们看作分母是1的分式，然后依照除法法则进行计算．

真题演练

一、单选题

1．（2021·山东临沂·中考真题）计算的结果是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．

【详解】

解：

=

=

=

故选A．

2．（2021·山东聊城·中考真题）已知一个水分子的直径约为3.85×10﹣9米，某花粉的直径约为5×10﹣4米，用科学记数法表示一个水分子的直径是这种花粉直径的（    ）

A．0.77×10﹣5倍 B．77×10﹣4倍 C．7.7×10﹣6倍 D．7.7×10﹣5倍

【答案】C

【分析】

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【详解】

由题意得：(3.85×10﹣9)÷(5×10﹣4)= 7.7×10﹣6倍，

故选C．

3．（2021·山东济宁·中考真题）计算的结果是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据分式的混合运算法则进行计算，先算小括号里面的加减，后算乘除，即可求得结果．

【详解】

解：

．

故选：A．

4．（2021·山东日照·中考真题）实验测得，某种新型冠状病毒的直径是120纳米（1纳米米），120纳米用科学记数法可表示为（　　）

A．米 B．米 C．米 D．米

【答案】B

【分析】

科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．

【详解】

解：120纳米米米．

故选：B．

5．（2021·山东济南·中考真题）计算的结果是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据分式的减法法则可直接进行求解．

【详解】

解：；

故选B．

6．（2021·山东历城·一模）世界最大的单口径球面射电望远镜被誉为“中国天眼”，在其新发现的脉冲星中有一颗毫秒脉冲星的自转周期为0.00519秒．数据0.00519用科学记数法可以表示为（　　）

A．5.19×10﹣3 B．5.19×10﹣4 C．5.19×10﹣5 D．5.19×10﹣6

【答案】A

【分析】

根据科学记数法的定义直接求解即可．

【详解】

解：0.00519＝5.19×10﹣3

故选：A．

7．（2021·山东诸城·二模）下列各数中最小的是（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，以及零指数幂的运算法则比较即可．

【详解】

解：∵，，，

∴，

故选：C．

8．（2021·山东历下·三模）若分式有意义，则x满足的条件是（　　）

A．x＝2 B．x≠2 C．x≠±2 D．x＞2

【答案】B

【分析】

根据分式有意义的条件进行判断即可；

【详解】

要使分式 有意义，

则 ，

解得： ，

故选：B．

9．（2021·山东历下·三模）世界上最小的动物是原生动物中的一种同肋膜肺炎菌相似的单细胞动物，它只有0.1微米长，即0.0000001米，只有在显微镜下才能看得到．其中数字0.0000001用科学记数法表示为（   ）

A．0.1×10﹣5 B．1×10﹣7 C．﹣1×105 D．10×10﹣4

【答案】B

【分析】

绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【详解】

解：0.000001=1×10-7．

故选：B．

10．（2021·山东兖州·二模）下列运算中，正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

根据同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、负整数指数幂的运算法则分别进行各选项的运算即可．

【详解】

解：A. ，故本选项错误；

B. ，故本选项错误；

C. ，故本选项错误；

D. ，故本选项正确；

故选：D．

二、填空题

11．（2021·山东滨州·中考真题）使得代数式有意义的x的取值范围是_____．

【答案】x＞3

【分析】

二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数．

【详解】

解：∵代数式有意义，

∴x﹣3＞0，

∴x＞3，

∴x的取值范围是x＞3，

故答案为x＞3．

12．（2021·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是________．

【答案】

【分析】

本题考查了分式有意义的条件，若分式有意义，则分母3-x≠0，通过解关于x的不等式求得x的取值范围即可.

【详解】

根据分式有意义的条件可得：

3-x≠0，

解得：x≠3，

故填：x≠3.

故答案为x≠3.

13．（2021·山东滨州·中考真题）计算：________________________．

【答案】

【分析】

根据算术平方根、立方根、零指数幂、绝对值和负整数指数幂可以解答本题．

【详解】

解：

=

=

=

=

故答案为：．

14．（2021·山东兰山·二模）当时，代数式的值是______．

【答案】2022

【分析】

先括号内的分式加减运算，再分式除法运算进行化简代数式，然后代入数值计算即可．

【详解】

解：

=

=，

当a=2021时，原式=2021+1=2022，

故答案为：2022．

15．（2021·山东诸城·二模）若式子有意义，则的取值范围为______．

【答案】

【分析】

根据二次根式有意义和分式有意义的条件列不等式组解答即可．

【详解】

解：由题意可得：

解得：．

故填．

三、解答题

16．（2021·山东威海·中考真题）先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为a的值代入求值．

【答案】2（a-3），当a=0时，原式=-6；当a=1时，原式=-4．

【分析】

先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件确定a的值，继而代入计算可得答案．

【详解】

=

=

=

=

=2（a-3），

∵a≠3且a≠-1，

∴a=0，a=1，

当a=0时，原式=2×（0-3）=-6；

当a=1时，原式=2×（1-3）=-4．

17．（2021·山东东营·中考真题）（1）计算：．

（2）化简求值：，其中．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）先化简二次根式、特殊角的正切三角函数、化简绝对值、零指数幂、积的乘方的逆用，再计算实数的混合运算即可得；

（2）先计算分式的加法运算，再根据得出代入求值即可得．

【详解】

解：（1）原式，

，

；

（2）原式，

，

，

，

，

∵，

∴，

∴原式．

18．（2021·山东聊城·中考真题）先化简，再求值：，其中a＝﹣．

【答案】；6

【分析】

先把分式化简后，再把a的值代入求出分式的值即可．

【详解】

解：原式＝

，

当时，原式＝6．