考点03整式（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（青岛版）

考点03整式

考点总结

1.整式的概念

整式：单项式和多项式统称为整式.

单项式：由数或字母的积构成的式子叫做单项式;

单独的一个数或一个字母也是单项式.

单项式的系数：单项式中的数字叫做单项式的系数.

单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数.

多项式：几个单项式的和叫做多项式.

多项式的次数：一个多项式中，最高次项的次数叫做这个多项式的次数.

2.整式的加减运算

同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项;

几个常数项也是同类项.

合并同类项：把多项中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并同类项所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母部分不变.

注意：

(1)只有同类项才能合并﹔

(2)在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变.

整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类相；

3.幂的运算法则

同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加

幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘.

积的乘方：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把乘方的幂相乘.

同底数幂除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减.

4.整式的乘除法

单项式与单项式相乘：把相同字母的指数分别相加，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

单项式与多项式相乘：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

单项式的除法：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.

多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.

5. 乘法公式

平方差公式：

完全平方公式：

变形公式：

注意：不要犯类似下面的错误：

真题演练

一、单选题

1．（2021·山东济宁·中考真题）按规律排列的一组数据：，，□，，，，…，其中□内应填的数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

分子为连续奇数，分母为序号的平方，根据规律即可得到答案．

【详解】

观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方，

第个数据为：

当时的分子为，分母为

这个数为

故选：．

2．（2021·山东临沂·中考真题）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．下图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg镭缩减为1mg所用的时间大约是（   ）

A．4860年 B．6480年 C．8100年 D．9720年

【答案】C

【分析】

根据物质所剩的质量与时间的规律，可得答案．

【详解】

解：由图可知：

1620年时，镭质量缩减为原来的，

再经过1620年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的，

再经过1620×2=3240年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的，

...，

∴再经过1620×4=6480年，即当8100年时，镭质量缩减为原来的，

此时mg，

故选C．

3．（2021·山东滨州·中考真题）下列计算中，正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据单项式加单项式和合并同类项的方法可以判断A，根据同底数幂的乘法可以判断B，根据单项式乘单项式可以判断C，根据幂的乘方可以判断D．

【详解】

解：2a+3a=5a，故选项A不符合题意；

a2•a3=a5，故选项B不符合题意；

2a•3a=6a2，故选项C符合题意；

（a2）3=a6，故选项D不符合题意；

故选：C．

4．（2021·山东济宁·中考真题）下列各式中，正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

根据合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．

【详解】

解：A、，此选项错误，不符合题意；

B、，此选项错误，不符合题意；

C、，此选项错误，不符合题意；

D、，此选项正确，符合题意；

故选：D．

5．（2021·山东菏泽·中考真题）下列等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式和积的乘方法则对每个选项一一判断即可．

【详解】

解：A、，故A选项错误；

B、，故B选项错误；

C、，故C选项错误；

D、，故D选项正确，

故选：D．

6．（2021·山东东营·中考真题）下列运算结果正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方的运算法则、二次根式的运算法则依次计算各项后即可解答．

【详解】

选项A，和不是同类项，不能够合并，选项A错误；

选项B，根据完全平方公式可得，选项B正确；

选项C，根据积的乘方的运算法则可得，选项C错误；

选项D，与不能够合并，选项D错误．

故选B．

7．（2021·山东枣庄·中考真题）计算正确的是（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

对每个选项进行计算判断即可．

【详解】

解：A. 和不是同类项，不能合并，选项错误；

B. ，选项错误；

C. ，选项正确；

D. ，选项错误．

故选：C．

8．（2021·山东泰安·中考真题）下列运算正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

分别根据合并同类项法则、积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式进行判断即可．

【详解】

解：A、x2和x3不是同类项，不能合并，此选项错误；

B、，此选项错误；

C、，此选项错误；

D、，此选项正确，

故选：D．

9．（2021·山东聊城·中考真题）下列运算正确的是（    ）

A．a2•a4＝a8 B．﹣a（a﹣b）＝﹣a2﹣ab

C．（﹣2a）2÷（2a）﹣1＝8a3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2

【答案】C

【分析】

依次分析各选项，利用同底数幂的乘法法则、单项式乘多项式、积的乘方、负整数指数幂、同底数幂的除法、乘法公式进行运算即可得出A、B、D三个选项错误，只有A选项正确．

【详解】

解：∵，，，

故A、B、D三个选项错误；

∵，

∴C选项正确，

故选：C．

10．（2021·山东威海·中考真题）下列运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

分别根据积的乘方和幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法、完全平方公式以及合并同类项的运算法则对各项进行计算后再判断即可．

【详解】

解：A. ，原选项计算错误，不符合题意；

B. 原选项计算正确 ，符合题意；

C. ，原选项计算错误，不符合题意；

D. ，原选项计算错误，不符合题意；

故选：B．

二、填空题

11．（2021·山东省诸城市树一中学三模）按一定规律排列的一列数依次为2，-5，10，-17，26，-37，…，按此规律排列下去，这列数中的第20个数是__________．

【答案】-401

【分析】

先看符号，奇数个为正数，偶数个为负数．再看各个数的绝对值，规律是n2+1，根据规律求解即可．

【详解】

根据排列规律可知奇数个为正数，偶数个为负数，

第一个数的绝对值为2=11+1，

第二个数的绝对值为5=22+1，

第三个数的绝对值为10=32+1，

第四个数的绝对值为17=42+1，

……

∴第n个数的绝对值为n2+1，

∴第20个数是-[（20）2+1]=-401，

故答案为：-401

12．（2021·山东·济宁学院附属中学三模）若代数式与是同类项，则的值为________．

【答案】2

【分析】

根据同类项的定义确定的值，再代入代数式求解即可．所含字母相同，并且相同字母的次数也分别相同的项叫做同类项．

【详解】

代数式与是同类项，

，

解得，

．

故答案为：．

13．（2021·山东台儿庄·二模）已知，．若，则的值为______．

【答案】

【分析】

根据幂的乘方以及同底数幂的除法法则计算即可求出，再根据算术平方根的定义即可求出x 的值．

【详解】

解：∵，，

∴，

∴，

∴，即：，

∵＞0，

∴=．

14．（2021·山东南区·二模）___________．

【答案】

【分析】

直接利用积的乘方，幂的乘方，幂的除法运算法则即可．

【详解】

解：，

故答案是：．

15．（2021·山东长清·二模）化简（a﹣b）2﹣a（a﹣2b）的结果是___．

【答案】

【分析】

根据多项式的乘法法则进行计算即可．

【详解】

（a﹣b）2﹣a（a﹣2b）

故答案为：．

三、解答题

16．（2021·山东日照·中考真题）（1）若单项式与单项式是一多项式中的同类项，求、的值；

（2）先化简，再求值：，其中．

【答案】（1）m=2，n=-1；（2），

【分析】

（1）根据同类项的概念列二元一次方程组，然后解方程组求得和的值；

（2）先通分算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．

【详解】

解：（1）由题意可得，

②①，可得：，

解得：，

把代入①，可得：，

解得：，

的值为2，的值为；

（2）原式

，

当时，

原式．

17．（2021·山东青岛·中考真题）问题提出：

最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形．）

问题探究：

为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论．

（1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1.按照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为，有1个，所以总共有个整数边三角形．

表①

（2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2.根据三角形任意两边之和大于第三边，当最短边长为1时，第三边长只能是2，记为，有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，记为，有1个，所以总共有个整数边三角形．

表②

（3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况：

表③

（4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况：

表④

（5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空：

表⑤

问题解决：

（1）最长边长为6的整数边三角形有___________个．

（2）在整数边三角形中，设最长边长为，总结上述探究过程，当为奇数或为偶数时，整数边三角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为的整数边三角形的个数．

（3）最长边长为128的整数边三角形有__________个．

拓展延伸：

在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有___________个．

【答案】问题探究：见解析；问题解决：（1）12；（2）当为奇数时，整数边三角形个数为；当为偶数时，整数边三角形个数为；（3）4160；拓展延伸：295

【分析】

问题探究：

根据（1）（2）（3）（4）的具体推算，总结出相同的规律，按规律填好表格即可；

问题解决：

（1）由最长边长分别为1，2，3，4，5总结出能反应规律的算式，再根据规律直接写出最长边长为6时的三角形的个数；

（2）分两种情况讨论：当为奇数，当为偶数，再从具体到一般进行推导即可；

（3）当最长边长时，为偶数，再代入进行计算，即可得到答案；

拓展延伸：

分两种情况讨论：当9是底边的棱长时，由最长边长为9的三角形个数有：个，当9是侧棱长时，底边三角形的最长边可以为1，2，3，4，5，6，7，8，底边三角形共有：个，从而可得答案.

【详解】

解：问题探究：

问题解决：

（1）最长边长为1的三角形有：个，

最长边长为2的三角形有：个，

最长边长为3的三角形有：个，

最长边长为4的三角形有：个，

最长边长为5的三角形有：个，

所以最长边长为6的三角形有：个，

故答案为：

（2）由（1）得：

最长边长为1的三角形有：个，

最长边长为3的三角形有：个，

最长边长为5的三角形有：个，

所以当为奇数时，整数边三角形个数为；

最长边长为2的三角形有：个，

最长边长为4的三角形有：个，

最长边长为6的三角形有：个，

所以当为偶数时，整数边三角形个数为.

（3）当最长边长时，为偶数，

可得此时的三角形个数为：

故答案为：

拓展延伸：

当9是底边的棱长时，

最长边长为9的三角形个数有：个，

而直三棱柱的高分别为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，

所以这样的直三棱柱共有：个，

当9是侧棱长时，底边三角形的最长边可以为1，2，3，4，5，6，7，8，

底边三角形共有：个，

所以这样的直三棱柱共有：个，

综上，满足条件的直三棱柱共有个.

故答案为：

18．（2021·山东李沧·二模）（问题）用边形的对角线把边形分割成（个三角形，共有多少种不同的分割方案？

（探究）为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有种．

探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，．

探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：

第1类：如图③，用点，与连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有种不同的分割方案，所以，此类共有种不同的分割方案．

第2类：如图④，用点，与连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为种分割方案．

第3类：如图⑤，用点，与连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有f（4）种不同的分割方案，所以，此类共有f（4）种不同的分割方案．

所以，（种）

探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：

第1类：如图⑥，用，与连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有种不同的分割方案，所以，此类共有种不同的分割方案．

第2类：如图⑦，用，与连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有种不同的分割方案．所以，此类共有种分割方案．

第3类：如图⑧，用，与连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有种不同的分割方案．所以，此类共有种分割方案．

第4类：如图，用，与连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有种不同的分割方案．所以，此类共有种分割方案．

所以，

（种）

探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则与的关系为，共有______种不同的分割方案．

……

（结论）用边形的对角线把边形分割成个三角形，共有多少种不同的分割方案？（直接写出与之间的关系式，不写解答过程）

（应用）用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论中的关系式求解）

【答案】探究四：18，42；[结论]；[应用]429种

【分析】

[探究]根据探究的结论得到规律计算即可；

[结论]根据五边形，六边形，七边形的对角线把图形分割成三角形的方案总结规律即可得到答案；

[应用]利用规律求得八边形及九边形的对角线把图形分割成三角形的方案即可．

【详解】

所以，

=

=42．

故答案为：18，42．

[结论]由题意知，，，…

；

[应用]根据结论得：．

．

则用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形，共有429种不同的分割方案．