考点08二元一次方程组及其应用（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（青岛版）

考点08二元一次方程组及其应用

考点总结

1.二元一次方程的有关概念

定义:含有2个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.

二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.

2.二元一次方程组的有关概念

定义:把两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组.

二元一次方程组的解:一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.

3.二元一次方程组的解法

代入消元法:在二元一次方程组中选取一个适当的方程,将一个未知数用另一个未知数表示出来,再代入另一个方程,消去一个未知数得到一元一次方程,求出这个未知数的值,进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫做代入消元法,简称代入法.

易错点:

(1)在用代入消元法求解时,不能正确地用其中一个未知数去表示另一个未知数﹔

(2)在求一个未知数时,还原代人.

加减消元法:两个二元一次方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时,将两个方程的两边分别相加或相减,从而消去这个未知数,得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法,简称加减法.

其它方法:在解二元一次方程组时,也常用整体代入、换元等方法来解决.

4.运用二元一次方程组解决实际问题

步骤:

(1)设两个未知数x，y;

(2)根据已知条件列出与未知数的个数相等的两个独立方程组成的方程组﹔

(3)解方程组;

(4)检验求得的未知数的值是否符合实际意义.

真题演练

一、单选题

1．（2021·山东淄川·一模）若点与点是正比例函数图象上关于原点的对称点，则的值为（    ）

A． B． C．1 D．－1

【答案】B

【分析】

根据关于原点对称的点的坐标特征，列出方程组求得m、n的值后，再利用函数解析式即可求得k的值．

【详解】

解：∵点A(1，m)与点 B(m−n，n) 关于原点对称，

∴．

解得，．

∴．

∵点在正比例函数的图象上，

∴．

故选：B

2．（2021·山东长清·一模）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

设合伙人数为x人，物价为y钱，根据题意得到相等关系：①8×人数-物品价值=3，②物品价值-7×人数=4，据此可列方程组．

【详解】

解：设合伙人数为人，物价为钱，根据题意，

可列方程组：，

故选：C．

3．（2021·山东东昌府·一模）已知是二元一次方程组的解，则的值为（      ）

A． B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】

将代入原方程组得出关于a，b的二元一次方程组，解方程组求出a，b的值，再代入所求式子计算即可．

【详解】

解：将代入方程组，

得，

解得，

所以5a-3b=10-9=1．

故选：B．

4．（2021·山东沂南·一模）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，也是世界上最早的印刷本数学书，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．书中有如下问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出8元，则多了3元；如果每人出7元，则少了4元，问有多少人？该物品价值多少元？若设有人，物品价值元，根据题意，可列方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据“每人出8元，则多了3元；每人出7元，则少了4元”可得方程组．

【详解】

解：设有x人，物品价值y元，

根据题意，可列方程组为：，

故选：A．

5．（2021·山东任城·二模）《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，物品价格为y钱，可列方程组为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题．

【详解】

解：由题意可得，

，

故选：A．

6．（2021·山东·一模）已知,则a+b等于(    )

A．2 B． C．3 D．1

【答案】C

【详解】

由①＋②得4a＋4b＝12，

∴a＋b＝3，故选C．

7．（2021·山东兰陵·一模）《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？此问题中羊价为（　　）

A．160钱 B．155钱 C．150钱 D．145钱

【答案】C

【分析】

设共有x人合伙买羊，羊价为y钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【详解】

解：设共有x人合伙买羊，羊价为y钱，

依题意，得：，

解得：．

故选：C．

8．（2020·山东临沂·中考真题）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组．

【详解】

解：设有x人，y辆车，
依题意得： ，
故选B．

9．（2021·山东罗庄·一模）学校计划用200元钱购买、两种奖品，种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（    ）

A．2种 B．3种 C．4种 D．5种

【答案】B

【分析】

设购买了A种奖品x个，B种奖品y个，根据学校计划用200元钱购买A、B两种奖品，其中A种每个15元，B种每个25元，钱全部用完可列出方程，再根据x，y为正整数可求出解．

【详解】

设购买了种奖品个，种奖品个，

根据题意得：，

化简整理得：，得，

∵，为非负整数，

∴，，，

∴有3种购买方案：

方案1：购买了种奖品0个，种奖品8个；

方案2：购买了种奖品5个，种奖品5个；

方案3：购买了种奖品10个，种奖品2个.

故选：B.

10．（2021·山东·东营市胜利油田第十五中学一模）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设鸡有只，兔有只，则根据题意，下列方程组中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据“上有三十五头”和“下有九十四足”两个等量关系列二元一次方程组即可．

【详解】

解：设鸡有只，兔有只

根据上有三十五头，可得x+y=35；

下有九十四足，2x+4y=94

即．

故答案为A．

二、填空题

11．（2021·山东枣庄·中考真题）已知，满足方程组，则的值为______．

【答案】

【分析】

将方程组中的两个方程相减即可得．

【详解】

解：，

由①②得：，

则，

故答案为：．

12．（2021·山东泰安·中考真题）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱数为x，乙持钱数为y，可列方程组为________．

【答案】

【分析】甲持钱数为x，乙持钱数为y，根据题意可得：甲的钱+乙的钱的一半=50，乙的钱+甲所有钱的=50，据此列方程组即可.

【详解】由题意可得，

，

故答案为．

13．（2021·山东南区·二模）在我国新冠疫情虽然得到了有效的控制，但防范意识仍不能松懈，小丽去药店购买口罩和酒精消毒湿巾，若买150只一次性口罩和10包酒精消毒湿巾，需付75元；若买200只一次性口罩和12包酒精消毒湿巾，需付96元．设一只一次性医用口罩元，一包酒精消毒湿巾元，根据题意可列二元一次方程组：___________．

【答案】

【分析】

根据150只一次性口罩和10包酒精消毒湿巾共75元；若买200只一次性口罩和12包酒精消毒湿巾共96元，即可得出关于x、y的方程组．

【详解】

解：依题意得： ，

故答案为：．

14．（2021·山东博山·一模）若方程有两个解和，则的值为_____．

【答案】12

【分析】

根据题意将两组解代入转化为关于m、n的方程组进行求解即可．

【详解】

解：由题意可得：，

①×2+②×3，得5m=30，解得m=6，

把m=6代入①，得-12+3n=6，解得n=6，

所以m+n=12．

故答案为：12．

15．（2021·山东泰安·一模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中一道题的原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为_________．

【答案】．

【分析】

设有人，辆车，根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组．

【详解】

解：设有人，辆车．

每辆车乘坐3人，则空余两辆车，坐满人的车数为（y-2），总人数3（y-2）人，可得x=3(y-2)，

若每辆车乘坐2人，则有9人步行，车上人数为2y人，总人数为（2y+9）人，可得x=2y+9，

列方程组得．

故答案为．

三、解答题

16．（2021·山东·青岛大学附属中学二模）某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元．

（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元；

（2）如果某超市计划购进一批甲、乙两种玩具共20件，其中甲的数量不少于乙种数量的2倍，请问该超市如何采购，至少要投入多少元才能完成采购计划?

【答案】（1）甲30元/件，乙27元/件；（2）甲14件，乙6件，投入582元

【分析】

（1）设甲种玩具的进价x元/件，甲种玩具的进价y元/件，根据5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元列二元一次方程组．解方程组即可；

（2）设甲种玩具计划购进m件，乙种玩具购进（20-m）件，列一次函数n=540+3m，再根据甲的数量不少于乙种数量的2倍，列不等式，再根据函数性质即可求解．

【详解】

解：（1）设甲种玩具的进价x元/件，甲种玩具的进价y元/件，

根据题意得，

解得，

经检验符合题意，

答每件甲种、乙种玩具的进价分别是30元，27元；

（2）设甲种玩具计划购进m件，乙种玩具购进（20-m）件，

要投入的钱数n=30m+27(20-m)=540+3m，

根据题意，

解得，

∴m=14,15,16,17,18,19,

∵n=540+3m，k=3＞0，

∴n随m的增大而增大，

∴当m=14时，投入最小为n=540+3×14=582元．

17．（2021·山东乳山·模拟预测）解方程组：

【答案】．

【分析】

先将原方程组化简，然后用加减消元法，求出方程组的解即可．

【详解】

解：原方程组化为

①②，得，

解得，

把代入①，解得，

所以，原方程组的解是．

18．（2021·山东南区·二模）端午节是我国历史最为悠久的民间节日之一，也是中国首个入选世界非遗的节日．每年农历五月初五，民间都有“赛龙舟、吃粽子、挂艾草菖蒲”等习俗．为了迎接今年端午节，某加工企业试生产甲、乙两种粽子礼盒试销，每个甲种礼盒所需包装纸的面积比乙种礼盒多0.2平方米．用20平方米包装纸生产甲种礼盒的个数是用同样面积生产乙种礼盒个数的，该企业共购进礼盒包装纸900平方米．

（1）每个甲种和乙种礼盒所需包装纸的面积分别是多少？

（2）加工企业拟生产甲种礼盒个，乙种礼盒个，刚好用完包装纸，求关于的函数关系式；

（3）已知每个甲种礼盒利润是10元、每个乙种礼盒利润是8元，在（2）的前提下，若将两种礼盒全部卖出，该企业要获得21000元总利润，应如何安排甲、乙两种礼盒的生产数量．

【答案】（1）乙种礼盒每个的包装纸面积是0.3平方米，甲种礼盒每个包装纸面积为0.5平方米；（2）；（3）甲种礼盒生产900个，乙种礼盒1500个

【分析】

（1）设乙种礼盒每个的包装纸面积是平方米，甲种礼盒每个包装纸面积为平方米，根据题意列出方程，然后求解即可；

（2）根据（1）求得得结果，得到，化简即可；

（3）根据题意列出方程组，然后求解即可．

【详解】

解：（1）设乙种礼盒每个的包装纸面积是平方米，则甲种礼盒每个包装纸面积为平方米，由题意得

解得

经检验是原分式方程的根，

答：乙种礼盒每个的包装纸面积是0.3平方米，甲种礼盒每个包装纸面积为0.5平方米；

（2）

（3）由题意得

解得

答：甲种礼盒生产900个，乙种礼盒1500个．