考点09分式方程及其应用（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（人教版）

考点09分式方程及其应用

考点总结

1.分式方程的概念

定义:分母中含未知数的方程叫做分式方程.

2.分式方程的解法

去分母法:方程两边同乘各分式的最简公分母，,化为整式方程,再求根﹑验根.

检验方法:

解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,因此应做如下检验:

将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解﹔否则,这个解不是原分式方程的解.

换元法:用换元思想将原方程变形,然后去分母,化为整式方程,求出新方程的解,最后代入换元的式子,求方程的根,最后验根.

3.列分式方程解决应用问题

易错点:

列分式方程的应用题要检验两次,第一次是对原方程检验,第二次是对实际意义检验.

真题演练

一、单选题

1．（2021·福建·厦门双十中学思明分校二模）数学家裴波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分10元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（    ）

A． B．

C．10x＝40（x+6） D．10（x﹣6）＝40x

【答案】A

【分析】

设第二次分钱的人数为人,则第一次分钱的人数为人,根据两次每人分得的钱数相同,即可得出关于的分式方程,此题得解．

【详解】

解:设第二次分钱的人数为人,则第一次分钱的人数为人,

依据题意:,

故选A．

2．（2021·广东·广州市第三中学三模）甲、乙两个工程队修路，已知甲队每天比乙队少修路12米，现在甲队修路400米所用的时间与乙队修路500米所用的时间相等．设甲队每天修路x米，下列方程正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

设甲队每天修路x米，则乙队每天修路（x+12）米，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲队修路400米所用的时间与乙队修路500米所用的时间相等，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

【详解】

解：设甲队每天修路x米，则乙队每天修路（x+12）米，

依题意得：，

故选：D．

3．（2021·河北·邯郸市永年区教育体育局教研室八年级期中）某次列车平均提速v km/h，用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50km，则方程 所表达的等量关系是（     ）

A．提速前列车行驶s km与提速后行驶(s＋50)km的时间相等

B．提速后列车每小时比提速前列车每小时多开v km

C．提速后列车行驶(s＋50)km的时间比提速前列车行驶s km多v h

D．提速后列车用相同的时间可以比提速前多开50km

【答案】B

【分析】

根据题意可以知道s+50表示列车提速后同样的时间内行驶的路程，根据路程=速度×时间公式即可得到答案，

【详解】

解：∵用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50km

∴s+50表示列车提速后同样的时间内行驶的路程，

∵某次列车平均提速v km/h，路程=速度×时间

∴方程表达的含义提速后列车每小时比提速前列车每小时多开v km，

故选B.

4．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）若关于x的分式方程无解，则a的值为（    ）

A．3 B．0 C． D．0或3

【答案】C

【分析】

直接解分式方程，再根据分母为0列方程即可．

【详解】

解：，

去分母得：2﹣x﹣a＝2（x﹣3），

解得：x＝，

当时，方程无解，

解得．

故选：C．

5．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）2020年疫情防控期间，鄂尔多斯市某电信公司为了满足全体员工的需要，花1万元购买了一批口罩，随着2021年疫情的缓解，以及各种抗疫物资充足的供应，每包口罩下降10元，电信公司又花6000元购买了一批口罩，购买的数量比2020年购买的数量还多100包，设2020年每包口罩为x元，可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

根据题中等量关系“2021年购买的口罩数量比2020年购买的口罩数量多100包”即可列出方程．

【详解】

解：设2020年每包口罩x元，则2021年每包口罩（x-10）元．

根据题意，得，

即：

故选：C

6．（2021·湖北襄阳·二模）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

分别找到当前和原计划每小时的产量，根据时间相等列方程

【详解】

设原计划平均每天生产台机器，则现在每小时生产台机器；

根据现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，有：

故选A

7．（2021·黑龙江佳木斯·三模）已知关于的分式方程有解，则的取值范围为（    ）

A． B．

C．且 D．且

【答案】C

【分析】

先解方程，再根据分母不为零，列出不等式即可．

【详解】

解：，

去分母得，，

解得，，

∵关于的分式方程有解，

∴且，

解得，且

故选：C．

8．（2021·广西贺州·中考真题）如，我们叫集合，其中1，2，叫做集合的元素．集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是（    ）

A．－1 B．0 C．1 D．2

【答案】C

【分析】

根据集合的确定性、互异性、无序性，对于集合B的元素通过分析，与A的元素对应分类讨论即可．

【详解】

解：∵集合B的元素，，可得，

∴，

∴，，

∴，

当时，，，，不满足互异性，情况不存在，

当时，，（舍），时，，，满足题意，

此时，．

故选：Ｃ

9．（2021·四川青白江·二模）分式方程 的解为（   ）

A．x=﹣1 B．x=1或x=﹣1 C．x=0或x=1 D．x=1

【答案】D

【分析】

先去分母将分式方程转化为整式方程，再求出整式方程的解，然后检验可得方程的解．

【详解】

解：去分母得：3x=x+2

 2x=2

 解得：x=1

 当x=1时，x（x+1）≠0

 ∴x=1是原方程的解．

故答案为：D．

10．（2021·广东天河·二模）小明把分式方程去分母后得到整式方程，由此他判断该分式方程只有一个解．对于他的判断，你认为下列看法正确的是（    ）

A．小明的说法完全正确 B．整式方程正确，但分式方程有2个解

C．整式方程不正确，分式方程无解 D．整式方程不正确，分式方程只有1个解

【答案】C

【分析】

解分式方程去分母后得到整式方程，由于，得到方程无实数根，于是得到结论．

【详解】

解：∵分式方程去分母后得到整式方程，

，

∴方程无实数根，

∴方程无解，

故整式方程不正确，分式方程无解，

故选：C．

二、填空题

11．（2021·西藏·中考真题）若关于x的分式方程﹣1＝无解，则m＝___．

【答案】2

【分析】

去分母，将分式方程转化为整式方程，根据分式方程有增根时无解求m的值．

【详解】

解：﹣1＝，

方程两边同时乘以x﹣1，得2x﹣（x﹣1）＝m，

去括号，得2x﹣x＋1＝m，

移项、合并同类项，得x＝m﹣1，

∵方程无解，

∴x＝1，

∴m﹣1＝1，

∴m＝2，

故答案为2．

12．（2021·江苏射阳·三模）目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗．对比手机数据发现：小琼步行13500步与小刚步行9000步消耗的能量相同．若每消耗1千卡能量小琼行走的步数比小刚多15步．设小刚每消耗1千卡能量需要行走步，则根据题意可列方程为__________．

【答案】

【分析】

设小刚每消耗1千卡能量需要行走步，则小琼每消耗1千卡能量需要行走步，根据消耗能量千卡数＝行走步数÷每消耗1千卡能量需要行走步数，结合小琼步行13500步与小刚步行9000步消耗的能量相同，即可得出关于的分式方程．

【详解】

设小刚每消耗1千卡能量需要行走步，则小琼每消耗1千卡能量需要行走步，

∵小琼步行13500步与小刚步行9000步消耗的能量相同，

∴，

故答案为：

13．（2021·山东潍坊·中考真题）若x＜2，且，则x＝_______．

【答案】1

【分析】

先去掉绝对值符号，整理后方程两边都乘以x﹣2，求出方程的解，再进行检验即可．

【详解】

解：|x﹣2|+x﹣1＝0，

∵x＜2，

∴方程为2﹣x+x﹣1＝0，

即1，

方程两边都乘以x﹣2，得1＝﹣（x﹣2），

解得：x＝1，

经检验x＝1是原方程的解，

故答案为：1．

14．（2021·山东滨城·模拟预测）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为______．

【答案】且

【分析】

根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，可得答案．

【详解】

解：

去分母，得：，

移项、合并，得：

系数化为1得：

∵分式方程的解为非负数，

∴且，

解得：且，

故答案为：且．

15．（2021·黑龙江道外·一模）如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，且∠ABD＝2∠BDC，若CE＝2，DE=5，则BE的长为___．

【答案】4

【分析】

以A为圆心AB为半径画圆，根据圆周角定理可得∠ABD＝2∠BDC＝∠BAC，再根据△ABE∽△DBA得线段比例关系，进而求出BE的长度．

【详解】

解：如图，以A为圆心AB为半径画圆，

∵AB＝AC＝AD，

∴点B、C、D都在圆上，

又∵∠ABD＝2∠BDC，

∴∠ABD＝2∠BDC＝∠BAC，（同弧所对的圆周角是圆心角的一半），

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠BDA，

∴∠BAC＝∠BDA，又∠ABE=∠DBA，

∴△ABE∽△DBA，BE=AE，

∴＝，

设BE＝AE＝x，则AC＝AB＝2+x，BD=5+x，

∴＝，

解得x＝4，

经检验，x=4是所列分式方程的解，

∴BE=4，

故答案为：4．

16．（2021·四川雅安·中考真题）若关于x的分式方程的解是正数，则k的取值范围是______．

【答案】且

【分析】

根据题意，将分式方程的解用含的表达式进行表示，进而令，再因分式方程要有意义则，进而计算出的取值范围即可．

【详解】

解：

根据题意且

∴

∴

∴k的取值范围是且．

17．（2021·湖北天门·中考真题）关于x的方程有两个实数根．且．则_______．

【答案】3

【分析】

先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，再根据可得一个关于的方程，解方程即可得的值．

【详解】

解：由题意得：，

，

，

化成整式方程为，

解得或，

经检验，是所列分式方程的增根，是所列分式方程的根，

故答案为：3．

18．（2021·黑龙江富拉尔基·模拟预测）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是_____．

【答案】m≥－6且m≠﹣4

【分析】

根据分式方程的解是非负数可得，解出m的取值范围且分子不能为0．

【详解】

解：∵，

解得：，

∵关于x的分式方程的解是非负数，

∴，

解得：，

又∵

∴，

∴，

故答案为：m≥－6且m≠﹣4．

三、解答题

19．（2021·吉林·长春市解放大路学校模拟预测）在一次10km跑步锻炼中，先匀速跑了4km，之后提速20%并匀速跑完剩余路程，这样小致一共用了跑完全程，求小致前4km的速度是多少？

【答案】小亮前4km的速度为

【分析】

设小亮前4km的速度为，利用前所用的时间后所用的时间总时间列式运算即可．

【详解】

设小亮前4km的速度为．

根据题意，得： 

解得：．

经检验，是原方程的解，且符合题意．

答：小亮前4km的速度为．

20．（2021·广西·南宁十四中三模）为切实做好疫情防控工作，我市某校准备在民联药店购买口罩和医用酒精发给每个学生．已知每盒口罩有只，每盒医用酒精有瓶，每盒口罩价格比每盒医用酒精价格多元，用元购买口罩所得盒数与用元购买医用酒精所得盒数相同．

（1）每盒口罩和每盒医用酒精的价格各是多少元？

（2）如果给每位学生发放只口罩和瓶医用酒精，且口罩和医用酒精均需整合购买．设购买口罩盒（为正整数），则购买医用酒精多少盒能与口罩刚好配套？请用含的代数式表示．

（3）在民联药店累计购买医用品超过元后，超出元的部分可享受折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付元，求关于的函数关系式．若该校九年级有名学生，需要购买口罩和医用酒精各多少盒？所需总费用为多少元？

【答案】（1）每盒口罩的价格为80元，则每盒医用酒精的价格为50元；（2）；（3），需要购买口罩盒，医用酒精盒，所需总费用为元

【分析】

（1）设每盒口罩的价格为元，则每盒医用酒精的价格为元，根据题意列分式方程解决问题；

（2）根据配套问题，设购买医用酒精盒能和口罩刚好配套，根据口罩的数量等于医用酒精的5倍列出方程即可用含的代数式表示；

（3）由（1）（2）的结论求得关于的函数关系式，再根据实际情况求得的值，代入解析式求得购买口罩和医用酒精是数量以及总费用．

【详解】

（1）设每盒口罩的价格为元，则每盒医用酒精的价格为元，根据题意得：

解得

每盒医用酒精的价格为

答：每盒口罩的价格为80元，则每盒医用酒精的价格为50元．

（2）设购买口罩盒（为正整数），则口罩共有个，

设购买瓶医用酒精盒能和口罩刚好配套，则

答：购买医用酒精盒能与口罩刚好配套．

（3）由题意可得

解得

当时，

当时，

该校九年级有名学生，需要购买口罩（盒）

需要购买医用酒精（盒）

当时（元）

答：关于的函数关系式为，需要购买口罩盒，医用酒精盒，所需总费用为元．

21．（2021·江苏镇江·中考真题）（1）解方程：﹣＝0；

（2）解不等式组：．

【答案】（1）x＝6；（2）x＞2

【分析】

（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；

（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集即可．

【详解】

解：（1）﹣＝0

去分母得：3（x﹣2）﹣2x＝0，

去括号得：3x﹣6﹣2x＝0，

解得：x＝6，

检验：把x＝6代入得：x（x﹣2）＝24≠0，

∴分式方程的解为x＝6；

（2），

由①得：x≥1，

由②得：x＞2，

则不等式组的解集为x＞2．

22．（2021·江苏鼓楼·二模）某同学解方程﹣2＝，过程如下：

第一步：整理，得﹣2＝，

第二步：…．

（1）请你说明第一步变化过程的依据是：　        　；

（2）请把以上解方程的过程补充完整．

【答案】（1）分式的基本性质；（2）见解析

【分析】

（1）根据分式的基本性质将原方程进行变形；
（2）先将分式方程变为整式方程，然后去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1求解，最后注意分式方程结果要检验．

【详解】

（1）由题意可得：第一步变化过程的依据是：分式的基本性质，

故答案为：分式的基本性质；

（2）方程两边同乘（x﹣3）得：x﹣2﹣2（x﹣3）＝10﹣3x，

去括号，得：x﹣2﹣2x+6＝10﹣3x，

移项，得：x﹣2x+3x＝10﹣6+2，

合并同类项，得：2x＝6，

系数化1，得：x＝3，

检验：当x＝3时，x﹣3＝0，

∴x＝3是原方程的增根，

∴原分式方程无解．

23．（2021·江苏南通·中考真题）（1）化简求值：，其中；

（2）解方程．

【答案】（1）原式=4；（2）．

【分析】

（1）先用完全平方差公式与多项式乘法公式将原式化简为，再将已知条件代入即可；

（2）根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验依次进行求解即可．

【详解】

解：（1）

=

=

当时，原式==；

（2），

去分母得：，

解得：，

经检验，是原方程的解．

则原方程的解为：．