考点09一元二次方程及其应用（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（青岛版）

考点09一元二次方程及其应用

考点总结

1.一元二次方程的概念

定义:含有1个末知数,并且末知数的最高次数为2的整式方程,其一般形式为

注意:一元二次方程一般式中的隐含条件为

2.一元二次方程的解法

直接开平方法:它适合于或形式的方程.

配方法:通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法,叫做配方法.

注意:配方的关键是在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方.

公式法:一元二次方程的求根公式是

因式分解法:把方程化为,得或的形式.

注意:常用因式分解的方法有提公因式法、公式法.

3.一元二次方程根的判别式

对关于的一元二次方程的根的判别式.

(1)方程有两个不相等的实数根;

(2)方程有两个相等的实数根;

(3)方程没有实数根;

注意:在使用根的判别式解决问题时,如果二次项系数中含有字母,要加上二次项系数不为0这个限制条件.

4.一元二次方程根与系数的关系

根与系数关系:一元二次方程的两个根为,

则

注意:

(1)一元二次方程的根与系数的关系为:两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数,两根的积等于常数项与二次项系数的比;

(2)利用一元二次方程的根与系数的关系时要注意根的判别式.

真题演练

一、单选题

1．（2021·山东滨州·中考真题）下列一元二次方程中，无实数根的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

计算出各个选项中的Δ的值，然后根据Δ＞0有两个不等式的实数根，Δ=0有两个相等实数根，Δ＜0无实数根判断即可．

【详解】

解：在x2-2x-3=0中，Δ=b2-4ac=（-2）2-4×1×（-3）=16＞0，即该方程有两个不等实数根，故选项A不符合题意；

在x2+3x+2=0中，Δ=b2-4ac=32-4×1×2=1＞0，即该方程有两个不等实数根，故选项B不符合题意；

在x2-2x+1=0中，Δ=b2-4ac=（-2）2-4×1×1=0，即该方程有两个相等实数根，故选项C不符合题意；

在x2+2x+3=0中，Δ=b2-4ac=22-4×1×3=-8＜0，即该方程无实数根，故选项D符合题意；

故选：D．

2．（2021·山东泰安·中考真题）已知关于x的一元二次方程标有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）

A． B．

C．且 D．

【答案】C

【分析】

由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围．

【详解】

解：由题可得：,

解得：且；

故选：C．

3．（2021·山东菏泽·中考真题）关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ）

A．且 B．且 C． D．

【答案】D

【分析】

根据方程有实数根，利用根的判别式来求的取值范围即可．

【详解】

解：当方程为一元二次方程时，

∵关于的方程有实数根，

∴，且 ，

解得，且，

当方程为一元一次方程时，k=1，方程有实根

综上，

故选：D．

4．（2021·山东枣庄·中考真题）在平面直角坐标系中，直线垂直于轴于点（点在原点的右侧），并分别与直线和双曲线相交于点，，且，则的面积为（    ）

A．或 B．或

C． D．

【答案】B

【分析】

设点的坐标为，从而可得，，再根据可得一个关于的方程，解方程求出的值，从而可得的长，然后利用三角形的面积公式即可得．

【详解】

解：设点的坐标为，则，

，

，

，

解得或，

经检验，或均为所列方程的根，

（1）当时，，

则的面积为；

（2）当时，，

则的面积为；

综上，的面积为或，

故选：B．

5．（2021·山东济宁·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ）

A．2019 B．2020 C．2021 D．2022

【答案】B

【分析】

根据一元二次方程根的定义得到，则，再利用根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．

【详解】

解：∵m是一元二次方程的实数根，

∴，

∴，

∴，

∵m、n是一元二次方程的两个实数根，

∴，

∴，

故选：B．

6．（2021·山东聊城·中考真题）关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（    ）

A．2或4 B．0或4 C．﹣2或0 D．﹣2或2

【答案】B

【分析】

把x=-2代入方程即可求得k的值；

【详解】

解：将x=-2代入原方程得到：，

解关于k的一元二次方程得：k=0或4，

故选：B．

7．（2021·山东临沂·中考真题）方程的根是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

利用因式分解法解方程即可得到正确选项．

【详解】

解：∵，

∴，

∴，

∴x+7=0，x-8=0，

∴x1=-7，x2=8．

故选：C．

8．（2021·山东·邹城市看庄中学一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ）

A． B．且 C． D．且

【答案】B

【分析】

根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（-2）2-4×k×（-1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即（-2）2-4×k×（-1）＞0，

解得k＞-1且k≠0．
∴k的取值范围为k＞-1且k≠0．

故选：B．

9．（2021·山东·日照港中学二模）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则二次项系数a的取值范围是（　　）

A．a＞1 B．a＞﹣2 C．a＞1且a≠0 D．a＞﹣1且a≠0

【答案】D

【分析】

由关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞0且二次项系数a≠0，继而可求得a的范围．

【详解】

解：∵一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，

∴△＝（﹣2）2﹣4×a×（﹣1）＞0，且a≠0，

解得：a＞﹣1且a≠0，

故选：D．

10．（2021·山东博山·一模）设，是方程的两个实数根，则的值为（    ）

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023

【答案】B

【分析】

由题意根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出，将其代入中即可得出答案．

【详解】

解：∵，是方程的两个实数根，

∴，

∴=2022-1=2021．

故选：B．

二、填空题

11．（2021·山东济南·中考真题）关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是__________．

【答案】-3

【分析】

由题意可把x=2代入一元二次方程进行求解a的值，然后再进行求解方程的另一个根．

【详解】

解：由题意把x=2代入一元二次方程得：

，解得：，

∴原方程为，

解方程得：，

∴方程的另一个根为-3；

故答案为-3．

12．（2021·山东枣庄·中考真题）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为______．

【答案】8或9

【分析】

分4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得．

【详解】

解：由题意，分以下两种情况：

（1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于的方程的一个根，

因此有，

解得，

则方程为，解得另一个根为，

此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理；

（2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于的方程有两个相等的实数根，

因此，根的判别式，

解得，

则方程为，解得方程的根为，

此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理；

综上，的值为8或9，

故答案为：8或9．

13．（2021·山东乳山·模拟预测）如图，，，，…是分别以，，，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，…均在反比例函数的图象上，则的值为____________．

【答案】20

【分析】

根据点C1的坐标，确定y1，由点C1是等腰直角三角形的斜边中点，可以得到OA1的长，然后再设未知数，表示点C2的坐标，确定y2，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点C3的坐标，确定y3，，y100，然后再求和，即可求解．

【详解】

解：如图，过点C1、C2、C3 分别作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2、D3，则∠OD1C1=∠OD2C2=∠OD3C3=90°，

∵，，，…是分别以，，，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，

∴∠OC1D1=∠C1OD1=45°，

∴OD1=C1D1，

∴x1=y1，

∵点在反比例函数的图象上，

∴x1y1=4，

解得：x1=2，y1=2，

即OD1=C1D1=2，

∴OA1=2OD1=4，

设A1D2=a，则C2D2=a，此时C2（4+a，a），代入，得：

a(4+a)=4，解得： 或（舍去），

即，

同理， ，

，

，

∴．

故答案为： ．

14．（2021·山东乳山·模拟预测）若方程的两个根是，，则的值为________．

【答案】

【分析】

利用一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，然后利用完全平方公式的变形可求出，即可求解．

【详解】

解：∵方程的两个根是，，

∴ ， ，

∵，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵，

∴

∴．

故答案为：．

15．（2021·山东省诸城市树一中学三模）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品的销售价格，即根据商品的最低销售限价，最高销售限价以及实数确定实际销售价格，这里的被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数恰好使得，据此可得，最佳乐观系数的值等于__________．

【答案】

【分析】

由得到：，再根据，可得

，再列方程，解方程可得答案；

【详解】

解：由得到：，

即：，

，

，

，

，

解得：，，

，

不合题意，

，

故答案为：．

三、解答题

16．（2021·山东滨州·中考真题）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．

（1）求该商品每次降价的百分率；

（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？

【答案】（1）10%；（2）6件

【分析】

（1）根据某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同，可设每次降价的百分率为x，从而可以列出方程60（1-x）2=48.6，然后求解即可；

（2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的不等式，然后即可求得第一次降价出售的件数的取值范围，再根据件数为整数，即可得到第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价．

【详解】

解：（1）设该商品每次降价的百分率为x，

60（1-x）2=48.6，

解得x1=0.1，x2=1.9（舍去），

答：该商品每次降价的百分率是10%；

（2）设第一次降价售出a件，则第二次降价售出（20-a）件，

由题意可得，[60（1-10%）-40]a+（48.6-40）×（20-a）≥200，

解得a≥，

∵a为整数，

∴a的最小值是6，

答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价．

17．（2021·山东淄博·中考真题）为更好地发展低碳经济，建设美丽中国．某公司对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量．已知该公司去年第三季度产值是2300万元，今年第一季度产值是3200万元，假设公司每个季度产值的平均增长率相同．

（1）求该公司每个季度产值的平均增长率；

（2）问该公司今年总产值能否超过1.6亿元？并说明理由．

【答案】（1）该公司每个季度产值的平均增长率为18％；（2）该公司今年总产值能超过1.6亿元，理由见详解．

【分析】

（1）设该公司每个季度产值的平均增长率为x，由题意可得，然后求解即可；

（2）由（1）及题意可直接进行求解．

【详解】

解：（1）设该公司每个季度产值的平均增长率为x，由题意可得：

，

解得：（舍去）；

答：该公司每个季度产值的平均增长率为18％

（2）该公司今年总产值能超过1.6亿元，理由如下：

由（1）及题意可得：

（万元）=1.6672亿元；

∵1.6672＞1.6，

∴今年总产值超过了1.6亿元．

18．（2021·山东东营·中考真题）“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水箱亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．

（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；

（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．

【答案】（1）20%；（2）能

【分析】

（1）设亩产量的平均增长率为x，依题意列出关于x的一元二次方程，求解即可；

（2）根据（1）求出的平均增长率计算第四阶段亩产量即可．

【详解】

解：（1）设亩产量的平均增长率为x，根据题意得：

，

解得：，（舍去），

答：亩产量的平均增长率为20%．

（2）第四阶段的亩产量为（公斤），

∵，

∴他们的目标可以实现．