考点07一元一次方程及应用（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北师大版）

考点07一元一次方程及应用

【命题趋势】

一元一次方程及应用是中考的必考内容，同时也是中考的重要热点。中考主要以选择题、填空题、解答题形式考一元一次方程的解法及解决简单的实际问题，有时还将其与不等式相结合考查。通常考基础题。

【常考知识】

一元一次方程的解法及解决简单的实际问题。

【夺分技巧】

①含有未知数的等式叫做方程。

②能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。

③等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。

④只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项。

真题演练

一、单选题

1．（2021·全国·七年级专题练习）我国古代的数学著作《九章算术》中有下列问题：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺，问每日各织多少布？设她第一天织布尺，则下面所列方程正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

直接根据题意表示出5天每天织布的尺数，进而得出方程求出答案．

【详解】

解：第一天织布尺，则第二天织布尺，第三天织布尺，第四天织布尺，第五天织布尺，根据题意可得

．

故选：A

2．（2021·广西凤山·二模）若6（y+2）=30,则y的值是(    )

A．6 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【分析】

将方程化简计算即可.

【详解】

解：，两边除以6得：

所以，

故选：B．

3．（2021·全国·七年级专题练习）已知九年级某班30位同学种树72棵，男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生x人，则    （    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

先设男生x人，根据题意可得.

【详解】

设男生x人，则女生有(30－x)人，由题意得：，故选D.

4．（2021·山东·日照港中学一模）程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：

一百馒头一百僧，大僧三个更无争，

小僧三人分一个，大小和尚得几丁．

意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人，下列求解结果正确的是（　　）

A．大和尚25人，小和尚75人 B．大和尚75人，小和尚25人

C．大和尚50人，小和尚50人 D．大、小和尚各100人

【答案】A

【分析】

根据100个和尚分100个馒头，正好分完．大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到等量关系为：大和尚的人数+小和尚的人数=100，大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数=100，依此列出方程即可．

【详解】

设大和尚有x人，则小和尚有（100﹣x）人，

根据题意得：3x+=100，

解得x=25，

则100﹣x=100﹣25=75（人），

所以，大和尚25人，小和尚75人，

故选A．

5．（2021·河北海港·一模）下列变形中，一定正确的是（  ）

A．若,那么 B．若，则

C．若，那么 D．若，则

【答案】D

【分析】

根据等式的性质,方程的解法,比的性质判断即可.

【详解】

A.仅当c=0时, ,该选项错误;

B. 若，则,该选项错误;

C. 若，当c≠0时,那么,该选项错误;

D. 若，则,该选项正确;

故选D.

6．（2021·福建厦门·一模）我国古代名著《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？原文意思是：现在有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？如果假设共有人，则可列方程为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据这个物品的价格不变，列出一元一次方程进行求解即可．

【详解】

解：设共有x人，可列方程为：8x-3=7x+4．

故选：B

7．（2021·内蒙古新城·二模）在公元前4世纪的印度巴克沙利手稿中记载着一题:甲乙丙丁四人各持金，乙为甲的二倍，丙为乙的三倍，丁为丙的四倍，并知四人持金的总数为132卢比，则乙的持金数为（  ）

A．4卢比 B．8卢比 C．12卢比 D．16卢比

【答案】B

【分析】

设甲持金数为x，则可表示出乙、丙、丁的持金数，然后根据持金总数列方程求解即可.

【详解】

设甲持金数为x，则乙为2x，丙为6x，丁为24x，

由题意得：x+2x+6x+24x=132，

解得：x=4，

∴2x=8，即乙的持金数为8卢比，

故选B.

8．（2021·云南·一模）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，当第n个图形中实心圆点的个数为104个时，则n为（    ）

A．32 B．33 C．34 D．35

【答案】C

【分析】

根据已知图形中实心圆点的个数得出规律：第n个图形中实心圆点的个数为3n +2，据此列方程求解可得．

【详解】

解：∵第①个图形中实心圆点的个数：5=2+3×1，

第②个图形中实心圆点的个数：8=2+3×2，

第③个图形中实心圆点的个数：11=2+3×3，

……

第n个图形中实心圆点的个数：2+3n

，

解得，

故选：C．

9．（2021·江苏·苏州高新区第二中学二模）定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形中，则它的优美比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由已知可以写出∠B和∠C，再根据三角形内角和定理可以得解．

【详解】

解：由已知可得：∠B=∠C=k∠A=（36k）°，

由三角形内角和定理可得：2×36k+36=180，

∴k=2，

故选B．

10．（2021·全国·七年级单元测试）某超市正在热销一种商品，其标价为每件12元，打8折销售后每件可获利2元，该商品每件的进价为（    ）

A．7.6元 B．7.7元 C．7.8元 D．7.9元

【答案】A

【分析】

设该商品每件的进价为x元，根据利润=售价-成本，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．

【详解】

解：设该商品每件的进价为x元，

依题意，得：12×0.8-x=2，

解得：x=7.6．

故选：A．

二、填空题

11．（2021·湖南师大附中博才实验中学一模）若是关于的方程的解，则的值等于_______________________．

【答案】

【分析】

把代入方程，化简求值即可得到答案．

【详解】

解：把代入方程，

得，

解得，

故答案为：-2．

12．（2021·全国·七年级专题练习）已知x＝﹣1是关于x的一元一次方程5x﹣3＝2m﹣8x的解，则m＝___．

【答案】-8

【分析】

根据x=-1为已知方程的解，将x=-1代入方程求m的值即可．

【详解】

解：把x=-1代入方程5x-3=2m-8x，

得-5-3=2m+8，

解得m=-8．

故答案为：-8．

13．（2021·辽宁大连·中考真题）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹每人六竿多十四，每人八竿恰齐足”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知与多少人和竹竿每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为__________．

【答案】6x+14=8x

【分析】

设有牧童x人，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”，竹竿的总数不变，列出方程，即可．

【详解】

解：设有牧童x人，

根据题意得：6x+14=8x，

故答案是：6x+14=8x．

14．（2021·浙江拱墅·二模）某城市用电收费实行阶梯电价，收费标准如下表所示，用户5月份交电费45元，则所用电量为_____度．

【答案】20

【详解】

设所用电量为x度，由题意得：

12×2+6×2.5+3（x﹣18）=45，

解得：x=20，

故答案为20．

15．（2021·山东中区·二模）由10块相同的小长方形地砖拼成面积为1.6m2的长方形ABCD（如图），则长方形ABCD的周长为________． 

【答案】5.2m

【详解】

根据题意可知小长方形的面积为： 1.6÷10=0.16m2，设小长方形的宽为xm，则小长方形的长为：4xm，因此可得小长方形的面积为4x2=0.16，解得小长方形的宽为x=0.2m，所以大长方形的宽为5×0.2=1m，长为：8x=8×0.2=1.6m，所以大长方形的周长为：（1+1.6）×2=5.2m.

16．（2021·上海·模拟预测）钓鱼岛自古就是中国领土，中国政府已对钓鱼岛开展常态化巡逻.某天，为按计划准点到达指定海域，某巡逻艇凌晨1：00出发，匀速行驶一段时间后，因中途出现故障耽搁了一段时间，故障排除后，该艇加快速度仍匀速前进，结果恰好准点到达.如图是该艇行驶的路程y（海里）与所用时间t（小时）的函数图象，则该巡逻艇原计划准点到达的时刻是_______．

【答案】7：00．

【详解】

观察函数图象，知巡逻艇出现故障前的速度为80÷1＝80（海里／时），

故障排除后的速度为（180－80）÷1＝100（海里／时）．

设巡逻艇的航行全程为x海里，

由题意，得，

解得x＝480．

则原计划行驶的时间为480÷80＝6（小时）．

故计划准点到达的时刻为7：00．

故答案为：7：00．

17．（2021·天津·南开翔宇学校七年级阶段练习）代数式与代数式的和为4，则_____．

【答案】﹣1.

【分析】

根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．

【详解】

根据题意得：，

去分母得：，

移项合并得：，

解得：，

故答案为﹣1.

三、解答题

18．（2021·吉林·长春市解放大路学校模拟预测）甲、乙两人共同制作一批手工艺品，甲先开始制作，两个小时以后乙也开始制作，乙每小时制作30个，一段时间后，甲、乙两人互相配合制作，这样每小时制作的数量是两人各自制作1小时数量和的1.6倍，b小时两人完成任务，设甲、乙两人制作手工艺品的数量和为y（件），甲制作的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示．

（1）______；______；

（2）当时y与x之间的函数关系式；

（3）求甲、乙两人配合比a小时后仍各自加工完成这批手工艺品少用多少小时．

【答案】（1）5，6；（2）；（3）甲、乙两人配合少用0.6小时

【分析】

（1）利用工作总量=工作效率时间列方程运算即可；

（2）利用待定系数法列出方程组运算求解即可；

（3）利用函数关系式求出甲、乙两人配合时间，即可求解．

【详解】

（1）解：∵甲的速度个每小时

∴

解得：

甲乙合作的速度个每小时

∴

解得：

故答案为：5，6

（2）设与之间的函数关系式为．

将，代入，

得解得

∴当时，y与x之间的函数关系式为．

（3）当时，，解得．

∴．

答：甲、乙两人配合少用0.6小时．

19．（2021·江苏·苏州市胥江实验中学校二模）某校为改善办学条件，计划购进A，B两种规格的书架，经市场调查发现有线下和线上两种购买方式，具体情况如下表：

（1）如果在线下购买A，B两种书架共20个，花费6720元，求A，B两种书架各购买了多少个；

（2）如果在线上购买A，B两种书架共20个，且购买B种书架的数量不少于A种书架的2倍，总共花费不超过6400元，请问总共有几种购买方案．

【答案】（1）购买A种书架8个，B种书架12个；（2）总共有三种方案：购买A种书架4个，B种书架16个；购买A种书架5个，B种书架15个；购买A种书架6个，B种书架14个.

【分析】

（1）设线下购买A种书架x个，则购买B种书架（20－x）个，根据在线下购买A、B两种书架20个共花费6720元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；

（2）设线上购买总花费为y元，购买A种书架m个，则购买B种书架（20-m）个，根据总价=单价×数量可得出y关于m的函数关系式，由购买B种书架的数量不少于A种书架的2倍和总花费不超过6400元可得出关于m的不等式，解之即可得出m的取值范围即可得到答案．

【详解】

解：（1）设购买A种书架x个，则购买B种书架（20－x）个，根据题意，得

300x+360（20－x）＝6720，         

解得：x＝8，20－x=20－8＝12，     

答：购买A种书架8个，B种书架12个．

（2）设购买A种书架m个，所需总费用为y元，根据题意，得

y＝（260+20）m+（300+30）（20－m）＝－50m+6600，

∵购买B种书架的数量不少于A种书架的2倍和总花费不超过6400元

∴

解不等式① 得

解不等式② 得

∴不等式的解集为

又∵为整数

∴一共有如下三种方案：购买A种书架4个，B种书架16个；购买A种书架5个，B种书架15个；购买A种书架6个，B种书架14个

20．（2021·河北桥西·模拟预测）幻方是一个古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方——九宫图．如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等．

（1）请求出中间行三个数字的和；

（2）九宫图中，的值分别是多少？

【答案】（1）3；（2），

【分析】

（1）根据题意把表格中间三个数相加即可；

（2）根据每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都为定值，列出方程运算求解即可．

【详解】

解：（1）

（2）由（1）可知：每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都等于3，

∴，，

∴，．

21．（2021·全国·七年级单元测试）某企业组织员工外出旅游，如果单独租用45座客车若干辆，则刚好坐满；如果单独租用60座客车，也刚好坐满，且可以少租一辆．

请根据以上信息，提出一个能用方程（组）解决的问题，并写出这个问题的解答过程．

【答案】问员工的人数是多少？员工人数是180人．（答案不唯一）

【分析】

可以从员工人数和租车辆数等方面考虑 ．

【详解】

解：问题可以为：员工的人数是多少？解答过程如下：
设员工人数为x人

解这个方程得  x=180    

答：员工人数是180人．