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    考点09一元二次方程及其应用(解析版)-2022年数学中考一轮复习考点透析(青岛版) 试卷

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    考点09一元二次方程及其应用(解析版)-2022年数学中考一轮复习考点透析(青岛版)

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    这是一份考点09一元二次方程及其应用(解析版)-2022年数学中考一轮复习考点透析(青岛版),共13页。试卷主要包含了一元二次方程的概念,一元二次方程的解法,一元二次方程根的判别式,一元二次方程根与系数的关系,1,x2=1等内容,欢迎下载使用。


    考点09一元二次方程及其应用

    考点总结

    1.一元二次方程的概念

    定义:含有1个末知数,并且末知数的最高次数为2的整式方程,其一般形式为

    注意:一元二次方程一般式中的隐含条件为

    2.一元二次方程的解法

    直接开平方法:它适合于形式的方程.

    配方法:通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法,叫做配方法.

    注意:配方的关键是在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方.

    公式法:一元二次方程的求根公式是

    因式分解法:把方程化为,得的形式.

    注意:常用因式分解的方法有提公因式法、公式法.

    3.一元二次方程根的判别式

    对关于的一元二次方程的根的判别式.

    (1)方程有两个不相等的实数根;

    (2)方程有两个相等的实数根;

    (3)方程没有实数根;

    注意:在使用根的判别式解决问题时,如果二次项系数中含有字母,要加上二次项系数不为0这个限制条件.

    4.一元二次方程根与系数的关系

    根与系数关系:一元二次方程的两个根为,

    注意:

    (1)一元二次方程的根与系数的关系为:两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数,两根的积等于常数项与二次项系数的比;

    (2)利用一元二次方程的根与系数的关系时要注意根的判别式.

     

    真题演练

     

    一、单选题

    1.(2021·山东滨州·中考真题)下列一元二次方程中,无实数根的是(   

    A B

    C D

    【答案】D

    【分析】

    计算出各个选项中的Δ的值,然后根据Δ0有两个不等式的实数根,Δ=0有两个相等实数根,Δ0无实数根判断即可.

    【详解】

    解:在x2-2x-3=0中,Δ=b2-4ac=-22-4×1×-3=160,即该方程有两个不等实数根,故选项A不符合题意;

    x2+3x+2=0中,Δ=b2-4ac=32-4×1×2=10,即该方程有两个不等实数根,故选项B不符合题意;

    x2-2x+1=0中,Δ=b2-4ac=-22-4×1×1=0,即该方程有两个相等实数根,故选项C不符合题意;

    x2+2x+3=0中,Δ=b2-4ac=22-4×1×3=-80,即该方程无实数根,故选项D符合题意;

    故选:D

    2.(2021·山东泰安·中考真题)已知关于x的一元二次方程标有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是(  )

    A B

    C D

    【答案】C

    【分析】

    由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0;由方程有两个不相等的实数根,得出“△>0”,解这两个不等式即可得到k的取值范围.

    【详解】

    解:由题可得:,

    解得:

    故选:C

    3.(2021·山东菏泽·中考真题)关于的方程有实数根,则的取值范围是(   

    A B C D

    【答案】D

    【分析】

    根据方程有实数根,利用根的判别式来求的取值范围即可.

    【详解】

    解:当方程为一元二次方程时,

    关于的方程有实数根,

    ,且

    解得,

    当方程为一元一次方程时,k=1,方程有实根

    综上,

    故选:D

    4.(2021·山东枣庄·中考真题)在平面直角坐标系中,直线垂直于轴于点(点在原点的右侧),并分别与直线和双曲线相交于点,且,则的面积为(   

    A B

    C D

    【答案】B

    【分析】

    设点的坐标为,从而可得,再根据可得一个关于的方程,解方程求出的值,从而可得的长,然后利用三角形的面积公式即可得.

    【详解】

    解:设点的坐标为,则

    解得

    经检验,均为所列方程的根,

    1)当时,

    的面积为

    2)当时,

    的面积为

    综上,的面积为

    故选:B

    5.(2021·山东济宁·中考真题)已知是一元二次方程的两个实数根,则代数式的值等于(   

    A2019 B2020 C2021 D2022

    【答案】B

    【分析】

    根据一元二次方程根的定义得到,则,再利用根与系数的关系得到,然后利用整体代入的方法计算.

    【详解】

    解:m是一元二次方程的实数根,

    mn是一元二次方程的两个实数根,

    故选:B

    6.(2021·山东聊城·中考真题)关于x的方程x24kx2k24的一个解是﹣2,则k值为(   

    A24 B04 C﹣20 D﹣22

    【答案】B

    【分析】

    x=-2代入方程即可求得k的值;

    【详解】

    解:将x=-2代入原方程得到:

    解关于k的一元二次方程得:k=04

    故选:B

    7.(2021·山东临沂·中考真题)方程的根是(  

    A B C D

    【答案】C

    【分析】

    利用因式分解法解方程即可得到正确选项.

    【详解】

    解:

    x+7=0x-8=0

    x1=-7x2=8

    故选:C

    8.(2021·山东·邹城市看庄中学一模)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是(   

    A B C D

    【答案】B

    【分析】

    根据一元二次方程的定义和的意义得到k≠00,即(-22-4×k×-1)>0,然后解不等式即可得到k的取值范围.

    【详解】

    解:关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,
    k≠00,即(-22-4×k×-1)>0

    解得k-1k≠0
    k的取值范围为k-1k≠0

    故选:B

    9.(2021·山东·日照港中学二模)已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣10有两个不相等的实数根,则二次项系数a的取值范围是(  )

    Aa1 Ba﹣2 Ca1a≠0 Da﹣1a≠0

    【答案】D

    【分析】

    由关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣10有两个不相等的实数根,即可得判别式0且二次项系数a≠0,继而可求得a的范围.

    【详解】

    解:一元二次方程ax2﹣2x﹣10有两个不相等的实数根,

    ∴△=(﹣22﹣4×a×﹣1)>0,且a≠0

    解得:a﹣1a≠0

    故选:D

    10.(2021·山东博山·一模)设是方程的两个实数根,则的值为(   

    A2020 B2021 C2022 D2023

    【答案】B

    【分析】

    由题意根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出,将其代入中即可得出答案.

    【详解】

    解:是方程的两个实数根,

    =2022-1=2021

    故选:B

     

    二、填空题

    11.(2021·山东济南·中考真题)关于的一元二次方程的一个根是2,则另一个根是__________

    【答案】-3

    【分析】

    由题意可把x=2代入一元二次方程进行求解a的值,然后再进行求解方程的另一个根.

    【详解】

    解:由题意把x=2代入一元二次方程得:

    ,解得:

    原方程为

    解方程得:

    方程的另一个根为-3

    故答案为-3

    12.(2021·山东枣庄·中考真题)若等腰三角形的一边长是4,另两边的长是关于的方程的两个根,则的值为______

    【答案】89

    【分析】

    4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况,再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得.

    【详解】

    解:由题意,分以下两种情况:

    1)当4为等腰三角形的腰长时,则4是关于的方程的一个根,

    因此有

    解得

    则方程为,解得另一个根为

    此时等腰三角形的三边长分别为,满足三角形的三边关系定理;

    2)当4为等腰三角形的底边长时,则关于的方程有两个相等的实数根,

    因此,根的判别式

    解得

    则方程为,解得方程的根为

    此时等腰三角形的三边长分别为,满足三角形的三边关系定理;

    综上,的值为89

    故答案为:89

    13.(2021·山东乳山·模拟预测)如图,是分别以为直角顶点,一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形,其斜边的中点均在反比例函数的图象上,则的值为____________

    【答案】20

    【分析】

    根据点C1的坐标,确定y1,由点C1是等腰直角三角形的斜边中点,可以得到OA1的长,然后再设未知数,表示点C2的坐标,确定y2,代入反比例函数的关系式,建立方程解出未知数,表示点C3的坐标,确定y3y100,然后再求和,即可求解.

    【详解】

    解:如图,过点C1C2C3 分别作x轴的垂线,垂足分别为D1D2D3,则OD1C1=∠OD2C2=∠OD3C3=90°

    是分别以为直角顶点,一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形,

    ∴∠OC1D1=∠C1OD1=45°

    OD1=C1D1

    x1=y1

    在反比例函数的图象上,

    x1y1=4

    解得:x1=2y1=2

    OD1=C1D1=2

    OA1=2OD1=4

    A1D2=a,则C2D2=a,此时C24+aa),代入,得:

    a(4+a)=4,解得:(舍去),

    同理,

    故答案为:

    14.(2021·山东乳山·模拟预测)若方程的两个根是,则的值为________

    【答案】

    【分析】

    利用一元二次方程根与系数的关系可得 ,然后利用完全平方公式的变形可求出,即可求解.

    【详解】

    解:方程的两个根是

    故答案为:

    15.(2021·山东省诸城市树一中学三模)商家通常依据乐观系数准则确定商品的销售价格,即根据商品的最低销售限价,最高销售限价以及实数确定实际销售价格,这里的被称为乐观系数.经验表明,最佳乐观系数恰好使得,据此可得,最佳乐观系数的值等于__________

    【答案】

    【分析】

    得到:,再根据,可得

    ,再列方程,解方程可得答案;

    【详解】

    解:由得到:

    即:

    解得:

    不合题意,

    故答案为:

     

    三、解答题

    16.(2021·山东滨州·中考真题)某商品原来每件的售价为60元,经过两次降价后每件的售价为48.6元,并且每次降价的百分率相同.

    1)求该商品每次降价的百分率;

    2)若该商品每件的进价为40元,计划通过以上两次降价的方式,将库存的该商品20件全部售出,并且确保两次降价销售的总利润不少于200元,那么第一次降价至少售出多少件后,方可进行第二次降价?

    【答案】110%;(26

    【分析】

    1)根据某商品原来每件的售价为60元,经过两次降价后每件的售价为48.6元,并且每次降价的百分率相同,可设每次降价的百分率为x,从而可以列出方程601-x2=48.6,然后求解即可;

    2)根据题意和(1)中的结果,可以列出相应的不等式,然后即可求得第一次降价出售的件数的取值范围,再根据件数为整数,即可得到第一次降价至少售出多少件后,方可进行第二次降价.

    【详解】

    解:(1)设该商品每次降价的百分率为x

    601-x2=48.6

    解得x1=0.1x2=1.9(舍去),

    答:该商品每次降价的百分率是10%

    2)设第一次降价售出a件,则第二次降价售出(20-a)件,

    由题意可得,[601-10%-40]a+48.6-40×20-a≥200

    解得a

    a为整数,

    a的最小值是6

    答:第一次降价至少售出6件后,方可进行第二次降价.

    17.(2021·山东淄博·中考真题)为更好地发展低碳经济,建设美丽中国.某公司对其生产设备进行了升级改造,不仅提高了产能,而且大幅降低了碳排放量.已知该公司去年第三季度产值是2300万元,今年第一季度产值是3200万元,假设公司每个季度产值的平均增长率相同.

    科学计算器按键顺序

    计算结果(已取近似值)

    解答过程中可直接使用表格中的数据哟!

    1.18

    1.39

    1.64

    1)求该公司每个季度产值的平均增长率;

    2)问该公司今年总产值能否超过1.6亿元?并说明理由.

    【答案】1)该公司每个季度产值的平均增长率为18%;(2)该公司今年总产值能超过1.6亿元,理由见详解.

    【分析】

    1)设该公司每个季度产值的平均增长率为x,由题意可得,然后求解即可;

    2)由(1)及题意可直接进行求解.

    【详解】

    解:(1)设该公司每个季度产值的平均增长率为x,由题意可得:

    解得:(舍去);

    答:该公司每个季度产值的平均增长率为18

    2)该公司今年总产值能超过1.6亿元,理由如下:

    由(1)及题意可得:

    (万元)=1.6672亿元;

    ∵1.66721.6

    今年总产值超过了1.6亿元.

    18.(2021·山东东营·中考真题)杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水箱亩产量700公斤的目标,第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标.

    1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同,求亩产量的平均增长率;

    2)按照(1)中亩产量增长率,科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤,请通过计算说明他们的目标能否实现.

    【答案】120%;(2)能

    【分析】

    1)设亩产量的平均增长率为x,依题意列出关于x的一元二次方程,求解即可;

    2)根据(1)求出的平均增长率计算第四阶段亩产量即可.

    【详解】

    解:(1)设亩产量的平均增长率为x,根据题意得:

    解得:(舍去),

    答:亩产量的平均增长率为20%

    2)第四阶段的亩产量为(公斤),

    他们的目标可以实现.

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