考点09一元二次方程及其应用(解析版)-2022年数学中考一轮复习考点透析(青岛版)
展开这是一份考点09一元二次方程及其应用(解析版)-2022年数学中考一轮复习考点透析(青岛版),共13页。试卷主要包含了一元二次方程的概念,一元二次方程的解法,一元二次方程根的判别式,一元二次方程根与系数的关系,1,x2=1等内容,欢迎下载使用。
考点09一元二次方程及其应用
考点总结
1.一元二次方程的概念
定义:含有1个末知数,并且末知数的最高次数为2的整式方程,其一般形式为
注意:一元二次方程一般式中的隐含条件为
2.一元二次方程的解法
直接开平方法:它适合于或形式的方程.
配方法:通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法,叫做配方法.
注意:配方的关键是在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方.
公式法:一元二次方程的求根公式是
因式分解法:把方程化为,得或的形式.
注意:常用因式分解的方法有提公因式法、公式法.
3.一元二次方程根的判别式
对关于的一元二次方程的根的判别式.
(1)方程有两个不相等的实数根;
(2)方程有两个相等的实数根;
(3)方程没有实数根;
注意:在使用根的判别式解决问题时,如果二次项系数中含有字母,要加上二次项系数不为0这个限制条件.
4.一元二次方程根与系数的关系
根与系数关系:一元二次方程的两个根为,
则
注意:
(1)一元二次方程的根与系数的关系为:两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数,两根的积等于常数项与二次项系数的比;
(2)利用一元二次方程的根与系数的关系时要注意根的判别式.
真题演练
一、单选题
1.(2021·山东滨州·中考真题)下列一元二次方程中,无实数根的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】
计算出各个选项中的Δ的值,然后根据Δ>0有两个不等式的实数根,Δ=0有两个相等实数根,Δ<0无实数根判断即可.
【详解】
解:在x2-2x-3=0中,Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×(-3)=16>0,即该方程有两个不等实数根,故选项A不符合题意;
在x2+3x+2=0中,Δ=b2-4ac=32-4×1×2=1>0,即该方程有两个不等实数根,故选项B不符合题意;
在x2-2x+1=0中,Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×1=0,即该方程有两个相等实数根,故选项C不符合题意;
在x2+2x+3=0中,Δ=b2-4ac=22-4×1×3=-8<0,即该方程无实数根,故选项D符合题意;
故选:D.
2.(2021·山东泰安·中考真题)已知关于x的一元二次方程标有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是( )
A. B.
C.且 D.
【答案】C
【分析】
由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0;由方程有两个不相等的实数根,得出“△>0”,解这两个不等式即可得到k的取值范围.
【详解】
解:由题可得:,
解得:且;
故选:C.
3.(2021·山东菏泽·中考真题)关于的方程有实数根,则的取值范围是( )
A.且 B.且 C. D.
【答案】D
【分析】
根据方程有实数根,利用根的判别式来求的取值范围即可.
【详解】
解:当方程为一元二次方程时,
∵关于的方程有实数根,
∴,且 ,
解得,且,
当方程为一元一次方程时,k=1,方程有实根
综上,
故选:D.
4.(2021·山东枣庄·中考真题)在平面直角坐标系中,直线垂直于轴于点(点在原点的右侧),并分别与直线和双曲线相交于点,,且,则的面积为( )
A.或 B.或
C. D.
【答案】B
【分析】
设点的坐标为,从而可得,,再根据可得一个关于的方程,解方程求出的值,从而可得的长,然后利用三角形的面积公式即可得.
【详解】
解:设点的坐标为,则,
,
,
,
解得或,
经检验,或均为所列方程的根,
(1)当时,,
则的面积为;
(2)当时,,
则的面积为;
综上,的面积为或,
故选:B.
5.(2021·山东济宁·中考真题)已知,是一元二次方程的两个实数根,则代数式的值等于( )
A.2019 B.2020 C.2021 D.2022
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程根的定义得到,则,再利用根与系数的关系得到,然后利用整体代入的方法计算.
【详解】
解:∵m是一元二次方程的实数根,
∴,
∴,
∴,
∵m、n是一元二次方程的两个实数根,
∴,
∴,
故选:B.
6.(2021·山东聊城·中考真题)关于x的方程x2+4kx+2k2=4的一个解是﹣2,则k值为( )
A.2或4 B.0或4 C.﹣2或0 D.﹣2或2
【答案】B
【分析】
把x=-2代入方程即可求得k的值;
【详解】
解:将x=-2代入原方程得到:,
解关于k的一元二次方程得:k=0或4,
故选:B.
7.(2021·山东临沂·中考真题)方程的根是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
利用因式分解法解方程即可得到正确选项.
【详解】
解:∵,
∴,
∴,
∴x+7=0,x-8=0,
∴x1=-7,x2=8.
故选:C.
8.(2021·山东·邹城市看庄中学一模)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是( )
A. B.且 C. D.且
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△>0,即(-2)2-4×k×(-1)>0,然后解不等式即可得到k的取值范围.
【详解】
解:∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,
∴k≠0且△>0,即(-2)2-4×k×(-1)>0,
解得k>-1且k≠0.
∴k的取值范围为k>-1且k≠0.
故选:B.
9.(2021·山东·日照港中学二模)已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根,则二次项系数a的取值范围是( )
A.a>1 B.a>﹣2 C.a>1且a≠0 D.a>﹣1且a≠0
【答案】D
【分析】
由关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根,即可得判别式△>0且二次项系数a≠0,继而可求得a的范围.
【详解】
解:∵一元二次方程ax2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根,
∴△=(﹣2)2﹣4×a×(﹣1)>0,且a≠0,
解得:a>﹣1且a≠0,
故选:D.
10.(2021·山东博山·一模)设,是方程的两个实数根,则的值为( )
A.2020 B.2021 C.2022 D.2023
【答案】B
【分析】
由题意根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出,将其代入中即可得出答案.
【详解】
解:∵,是方程的两个实数根,
∴,
∴=2022-1=2021.
故选:B.
二、填空题
11.(2021·山东济南·中考真题)关于的一元二次方程的一个根是2,则另一个根是__________.
【答案】-3
【分析】
由题意可把x=2代入一元二次方程进行求解a的值,然后再进行求解方程的另一个根.
【详解】
解:由题意把x=2代入一元二次方程得:
,解得:,
∴原方程为,
解方程得:,
∴方程的另一个根为-3;
故答案为-3.
12.(2021·山东枣庄·中考真题)若等腰三角形的一边长是4,另两边的长是关于的方程的两个根,则的值为______.
【答案】8或9
【分析】
分4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况,再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得.
【详解】
解:由题意,分以下两种情况:
(1)当4为等腰三角形的腰长时,则4是关于的方程的一个根,
因此有,
解得,
则方程为,解得另一个根为,
此时等腰三角形的三边长分别为,满足三角形的三边关系定理;
(2)当4为等腰三角形的底边长时,则关于的方程有两个相等的实数根,
因此,根的判别式,
解得,
则方程为,解得方程的根为,
此时等腰三角形的三边长分别为,满足三角形的三边关系定理;
综上,的值为8或9,
故答案为:8或9.
13.(2021·山东乳山·模拟预测)如图,,,,…是分别以,,,…为直角顶点,一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形,其斜边的中点,,,…均在反比例函数的图象上,则的值为____________.
【答案】20
【分析】
根据点C1的坐标,确定y1,由点C1是等腰直角三角形的斜边中点,可以得到OA1的长,然后再设未知数,表示点C2的坐标,确定y2,代入反比例函数的关系式,建立方程解出未知数,表示点C3的坐标,确定y3,,y100,然后再求和,即可求解.
【详解】
解:如图,过点C1、C2、C3 分别作x轴的垂线,垂足分别为D1、D2、D3,则∠OD1C1=∠OD2C2=∠OD3C3=90°,
∵,,,…是分别以,,,…为直角顶点,一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形,
∴∠OC1D1=∠C1OD1=45°,
∴OD1=C1D1,
∴x1=y1,
∵点在反比例函数的图象上,
∴x1y1=4,
解得:x1=2,y1=2,
即OD1=C1D1=2,
∴OA1=2OD1=4,
设A1D2=a,则C2D2=a,此时C2(4+a,a),代入,得:
a(4+a)=4,解得: 或(舍去),
即,
同理, ,
,
,
∴.
故答案为: .
14.(2021·山东乳山·模拟预测)若方程的两个根是,,则的值为________.
【答案】
【分析】
利用一元二次方程根与系数的关系可得 , ,然后利用完全平方公式的变形可求出,即可求解.
【详解】
解:∵方程的两个根是,,
∴ , ,
∵,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵,
∴
∴.
故答案为:.
15.(2021·山东省诸城市树一中学三模)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品的销售价格,即根据商品的最低销售限价,最高销售限价以及实数确定实际销售价格,这里的被称为乐观系数.经验表明,最佳乐观系数恰好使得,据此可得,最佳乐观系数的值等于__________.
【答案】
【分析】
由得到:,再根据,可得
,再列方程,解方程可得答案;
【详解】
解:由得到:,
即:,
,
,
,
,
解得:,,
,
不合题意,
,
故答案为:.
三、解答题
16.(2021·山东滨州·中考真题)某商品原来每件的售价为60元,经过两次降价后每件的售价为48.6元,并且每次降价的百分率相同.
(1)求该商品每次降价的百分率;
(2)若该商品每件的进价为40元,计划通过以上两次降价的方式,将库存的该商品20件全部售出,并且确保两次降价销售的总利润不少于200元,那么第一次降价至少售出多少件后,方可进行第二次降价?
【答案】(1)10%;(2)6件
【分析】
(1)根据某商品原来每件的售价为60元,经过两次降价后每件的售价为48.6元,并且每次降价的百分率相同,可设每次降价的百分率为x,从而可以列出方程60(1-x)2=48.6,然后求解即可;
(2)根据题意和(1)中的结果,可以列出相应的不等式,然后即可求得第一次降价出售的件数的取值范围,再根据件数为整数,即可得到第一次降价至少售出多少件后,方可进行第二次降价.
【详解】
解:(1)设该商品每次降价的百分率为x,
60(1-x)2=48.6,
解得x1=0.1,x2=1.9(舍去),
答:该商品每次降价的百分率是10%;
(2)设第一次降价售出a件,则第二次降价售出(20-a)件,
由题意可得,[60(1-10%)-40]a+(48.6-40)×(20-a)≥200,
解得a≥,
∵a为整数,
∴a的最小值是6,
答:第一次降价至少售出6件后,方可进行第二次降价.
17.(2021·山东淄博·中考真题)为更好地发展低碳经济,建设美丽中国.某公司对其生产设备进行了升级改造,不仅提高了产能,而且大幅降低了碳排放量.已知该公司去年第三季度产值是2300万元,今年第一季度产值是3200万元,假设公司每个季度产值的平均增长率相同.
科学计算器按键顺序 | 计算结果(已取近似值) | 解答过程中可直接使用表格中的数据哟! |
1.18 | ||
1.39 | ||
1.64 |
(1)求该公司每个季度产值的平均增长率;
(2)问该公司今年总产值能否超过1.6亿元?并说明理由.
【答案】(1)该公司每个季度产值的平均增长率为18%;(2)该公司今年总产值能超过1.6亿元,理由见详解.
【分析】
(1)设该公司每个季度产值的平均增长率为x,由题意可得,然后求解即可;
(2)由(1)及题意可直接进行求解.
【详解】
解:(1)设该公司每个季度产值的平均增长率为x,由题意可得:
,
解得:(舍去);
答:该公司每个季度产值的平均增长率为18%
(2)该公司今年总产值能超过1.6亿元,理由如下:
由(1)及题意可得:
(万元)=1.6672亿元;
∵1.6672>1.6,
∴今年总产值超过了1.6亿元.
18.(2021·山东东营·中考真题)“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水箱亩产量700公斤的目标,第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标.
(1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同,求亩产量的平均增长率;
(2)按照(1)中亩产量增长率,科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤,请通过计算说明他们的目标能否实现.
【答案】(1)20%;(2)能
【分析】
(1)设亩产量的平均增长率为x,依题意列出关于x的一元二次方程,求解即可;
(2)根据(1)求出的平均增长率计算第四阶段亩产量即可.
【详解】
解:(1)设亩产量的平均增长率为x,根据题意得:
,
解得:,(舍去),
答:亩产量的平均增长率为20%.
(2)第四阶段的亩产量为(公斤),
∵,
∴他们的目标可以实现.
相关试卷
这是一份考点09分式方程及其应用(解析版)-2022年数学中考一轮复习考点透析(人教版),共15页。试卷主要包含了分式方程的概念,分式方程的解法,列分式方程解决应用问题等内容,欢迎下载使用。
这是一份考点07一元一次方程及其应用(解析版)-2022年数学中考一轮复习考点透析(青岛版),共10页。试卷主要包含了等式的概念及性质,一元一次方程的概念,一元一次方程的解法,125a元B.0等内容,欢迎下载使用。
这是一份考点03整式(解析版)-2022年数学中考一轮复习考点透析(青岛版),共17页。试卷主要包含了整式的概念,整式的加减运算,幂的运算法则,整式的乘除法, 乘法公式等内容,欢迎下载使用。