考点09二元一次方程组（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北京版）

考点09二元一次方程组

考点总结

一、解二元一次方程组

1．用代入法解二元一次方程组的一般步骤

①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来；

②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；

④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值；

⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．

2．用加减法解二元一次方程组的一般步骤

①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数；

②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

③解这个一元一次方程，求得未知数的值；

④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值；

⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．

二、由实际问题抽象出二元一次方程组

1．由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系；

2．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：

①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符；

3．找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：

①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系；

②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系；

③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系；

④图形问题：分析图形的长宽，从中找等量关系。

三、列二元一次方程组解决实际问题

1．审题：找出已知条件和未知量及它们之间的关系；

2．设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来，直接设元与间接设元；

3．列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组；

4．求解；

5．检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答。

四、三元一次方程组的应用

在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程。

1．把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础；

2．通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性。

真题演练

一、单选题

1．方程组的解为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

利用加减消元法求出解即可．

【详解】

解：，

①+②得：，

解得：，

把代入到①中得：，

解得：，

则方程组的解是：，

故选：B．

2．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《磁不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数，物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据译文可知“人数×8-3=钱数和人数×7+4=钱数”即可列出方程组．

【详解】

解：由题意可得，，

故选：B．

3．《九章算术》中记载:“今有上禾三秉,益实六斗,当下禾十秉.下禾五秉,益实一斗,当上禾二秉.问上、下禾实一秉各几何?”其大意是:今有上等稻子三捆,若打出来的谷子再加六斗,则相当于十捆下等稻子打出来的谷子.有下等稻子五捆,若打出来的谷子再加一斗,则相当于两捆上等稻子打出来的谷子.问上等、下等稻子每捆能打多少斗谷子?设上等稻子每捆能打x斗谷子,下等稻子每捆能打y斗谷子,根据题意,可列方程组为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据题意，明确等量关系，列出方程组即可.

【详解】

根据“今有上等稻子三捆,若打出来的谷子再加六斗,则相当于十捆下等稻子打出来的谷子”，得，

“有下等稻子五捆,若打出来的谷子再加一斗,则相当于两捆上等稻子打出来的谷子”，得，

∴

故选：A.

4．若二元一次方程组的解为则a+b的值为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．4

【答案】C

【分析】

根据方程组的解的定义得出关于a、b的方程组，解之求得a、b的值即可得出答案．

【详解】

解：把代入方程组得：，

解得：，

则a+b＝2，

故选：C．

5．小明在学习之余去买文具，打算购买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，期间他与售货员对话如图：1支笔和1本笔记本应付(    )

A．10元 B．11元 C．12元 D．13元

【答案】C

【分析】

设1支签字笔的价格为x元，1本笔记本的价格为y元，根据小明与售货员的对话，列出关于x和y的二元一次方程组，解之即可．

【详解】

解：设1支签字笔的价格为x元，1本笔记本的价格为y元，

根据题意得：，

解得： ，

8＋4＝12（元），

即1支笔和1本笔记本应付12元，

故选：C．

6．以方程组的解为坐标的点（x，y）在平面直角坐标系中的位置是（   ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】

先求出方程组的解，然后即可判断点的位置．

【详解】

解：解方程组，得，

∴点（1.5，0.5）在第一象限．

故选：A．

7．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）：马三匹、牛五头，共价三十八两问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据等量关系：4匹的钱数+6条牛的钱数=48，3匹的钱数+5条牛的钱数=38，可列出方程组，从而可得答案．

【详解】

由题意，得方程组：

故选：D．

8．《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，大桶加小桶共盛斛米，大桶加小桶共盛斛米，依据该条件，大桶加小桶共盛（    ）

A．斛米 B．斛米 C．斛米 D．斛米

【答案】C

【分析】

设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组，利用整体思想解题即可．

【详解】

解：设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛，

根据题意得：  ，

①②得

解得：

即大桶加小桶共盛斛米，

故选：C．

9．数学课上，李老师出示了明代数学家程大位的《算法统宗》中的一个问题（如图），其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两（注：明代时1斤两，故有“半斤八两”这个成语）．给出四种设未知数及列方程（组）的思路：①设有x人分银子，据题意得；②设所分银子有y两，据题意得；③设所分银子有t两，据题意得；④设有m人分银子，所分银子有n两，根据题意得，其中正确的是（    ）

A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④

【答案】A

【分析】

根据题意和一元一次方程，二元一次方程组的定义对各个选项进行分析得出答案即可．

【详解】

解：①设有x人分银子，据题意得则表示第一种分法的总人数，表示第二种分法的总人数，两次总人数是一样的，故，此说法正确；

②设所分银子有y两，据题意得表示第一次参与分银子的人数，表示第二次参与分银子的人数，两次总人数是一样的，故，此说法正确；

③设所分银子有t两，据题意得，由②得结论可以判断此说法错误；

④设有m人分银子，所分银子有n两，根据题意得此说法错误；

故正确答案为①②

故选A．

10．某工厂中标生产一批型号相同的新能源汽车配件的订单，该工厂把订单任务平均分给了两车间，两车间每天都按各自的生产速度同时进行生产，中途因工厂同时对两车间设备进行检修维护，两车间停产4天后又各自按原来的速度进行生产，该工厂未完成的订单任务量y（件）与生产时间x（天）之间的函数关系如图所示．下列结论：

①其中一个车间24天完成生产任务；

②两车间生产速度之差是200件/天；

③该工厂订单任务是24000件；

④该工厂34天完成订单任务．

其中正确的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】

根据图象即可知其中速度快的一个车间24天完成生产任务，即①正确；设速度快的车间每天生产x件，速度慢的车间每天生产y件，根据图象可列出方程组，解出x、y，即可判断②；根据x、y的值，结合图象又可计算出订单任务量，即可判断③；求出速度慢的车间在速度快的车间完成后又生产的天数，即可求出完成订单任务用的总天数，即可判断④．

【详解】

根据图象可知生产速度快的车间24天完成任务．故①正确．

设速度快的车间每天生产x件，速度慢的车间每天生产y件．

根据图象可列方程组，

解得：．

即速度快的车间比速度慢的车间每天多生产600-400=200件/天．故②正确．

订单任务量为件．故③正确．

在速度快的车间完成后速度慢的车间又生产了天，即完成订单任务用了24+10=34天．故④正确．

综上，①②③④都正确．

故选D．

二、填空题

11．某活动小组购买了3个篮球和4个足球，一共花费330元，其中篮球的单价比足球的单价少5元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为_____．

【答案】．

【分析】

根据题意可得等量关系：①3个篮球的花费+4个足球的花费＝330元，②篮球的单价=足球的单价-5元，根据等量关系列出方程组即可．

【详解】

解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为．

故答案是：．

12．某企业有两条加工相同原材料的生产线．在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为______________．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为______________．

【答案】2∶3       

【分析】

设分配到生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为，进而求解即可得出答案．

【详解】

解：设分配到生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得：

，解得：，

∴分配到B生产线的吨数为5-2=3（吨），

∴分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为2∶3；

∴第二天开工时，给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料，

∵加工时间相同，

∴，

解得：，

∴；

故答案为，．

13．方程组的解为________．

【答案】

【分析】

利用加减消元法解方程组求出解即可．

【详解】

解：，

①+②得：，

解得：，

把代入②得：，

则方程组的解为．

故答案为：．

14．若二元一次方程组的解为，则的值是______．

【答案】2

【分析】

根据方程组的解的定义得出关于a、b的方程组，解之求得a、b的值即可得出答案．

【详解】

解：把代入，得

解得：

故答案为：．

15．4月23日是世界读书日，甲、乙两位同学在读书日到来之际共购买图书22本，其中甲同学购买的图书数量比乙同学购买的图书数量的2倍多1，求甲、乙两位同学分别购买的图书数量．设甲同学购买图书x本、乙同学购买图书y本，则可列方程组为___________．

【答案】

【分析】

根据题意分别列出二元一次方程，组成方程组即可．

【详解】

由题意得：，

故答案为：．

三、解答题

16．在平面直角坐标系中，直线与直线平行，且过点．

（1）求直线的表达式；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫作整点．直线与直线关于y轴对称，直线与直线围成的区域W内（不包含边界）恰有6个整点，求m的取值范围．

【答案】（1）；（2）或．

【分析】

（1）根据直线与直线平行，且过点A（2，7）从而可以求出对应的函数解析式即可；

（2）根据直线与直线关于y轴对称，在根据（1）中求得的，求出对应的，再根据整点的定义求解即可．

【详解】

解：（1）∵直线与直线平行

∴直线

又∵直线过点A（2，7）

∴，即

∴直线的解析式为

（2）∵直线

∴直线与x轴的交点为（，0），与y轴的交点为（0，1）

设直线的解析式为

∵直线与直线关于y轴对称

∴直线与x轴的交点为（，0），与y轴的交点为（0，1）

∴解得

故可画出如下图所示的函数图像

当，由图像可知m值越小所围的区域越大

当时，整点有（0，0）、（0，-1）、（0，-2）、（0，-3）、（1，-3）、（-1，-3）恰好6个整点

当时，只有（0，0）、（0，-1）、（0，-2）三个整点，（0，-3）、（1，-3）、（-1，-3）这三个点正好在边界上

故时恰好有6个整点

故由对称性可知当，所围成的区域也恰好有6个整点

综上所述：或．

17．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.其中第七卷《盈不足》记载了一道有趣的数学问题:“今有大器五、小器一容三斛；大器-、小器五容二斛.向大、小器各容几何?”

译文:“今有大容器个，小容器个，总容量为斛；大容器个，小容器个，总容量为斛.向大容器、小容器的容积各是多少斛？”

【答案】大器容斛，小器容斛.

【分析】

设大容器的容积是x斛，小容器的容积是y斛，根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【详解】

解：设大器容斛，小器容斛，根据题意，列出方程组

解得：

答：大器容斛，小器容斛.

18．解方程组：．

【答案】

【分析】

由②得x＝3+y③，把③代入①得到一个关于y的一元一次方程，求出y，把y的值代入③求出x即可．

【详解】

由题意可知：

由②得：x＝3+y③，

把③代入①得  2(3+y)+3y＝1，

解得    y＝﹣1．

把y＝﹣1代入③得  x＝2．

∴原方程组的解是．