考点08二元一次方程组及其应用（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（人教版）

考点08二元一次方程组及其应用

考点总结

1.二元一次方程的有关概念

定义:含有2个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.

二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.

2.二元一次方程组的有关概念

定义:把两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组.

二元一次方程组的解:一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.

3.二元一次方程组的解法

代入消元法:在二元一次方程组中选取一个适当的方程,将一个未知数用另一个未知数表示出来,再代入另一个方程,消去一个未知数得到一元一次方程,求出这个未知数的值,进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫做代入消元法,简称代入法.

易错点:

(1)在用代入消元法求解时,不能正确地用其中一个未知数去表示另一个未知数﹔

(2)在求一个未知数时,还原代人.

加减消元法:两个二元一次方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时,将两个方程的两边分别相加或相减,从而消去这个未知数,得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法,简称加减法.

其它方法:在解二元一次方程组时,也常用整体代入、换元等方法来解决.

4.运用二元一次方程组解决实际问题

步骤:

(1)设两个未知数x，y;

(2)根据已知条件列出与未知数的个数相等的两个独立方程组成的方程组﹔

(3)解方程组;

(4)检验求得的未知数的值是否符合实际意义.

真题演练

一、单选题

1．（2021·山西·太原师范学院附属中学八年级阶段练习）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？其意思为：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个．已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？买甜果和苦果各需要多少文钱？若设买甜果个，买苦果个，则下列关于、的二元一次方程组中符合题意的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

设买甜果x个，买苦果y个，根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．

【详解】

解：设买甜果个，买苦果个，由题意可得，

，

故选：．

2．（2021·台湾·模拟预测）小文原本计划使用甲、乙两台影印机于10：00开始一起印制文件并持续到下午，但10：00时有人正在使用乙，于是他先使用甲印制，于10：05才开始使用乙一起印制，且到10：15时乙印制的总张数与甲相同，到10：45时甲、乙印制的总张数合计为2100张若甲、乙的印制张数与印制时间皆成正比，则依照小文原本的计划，甲、乙印制的总张数会在哪个时间达到2100张？（   ）

A．10：40 B．10：41 C．10：42 D．10：43

【答案】C

【分析】

设甲影印机每分钟印制x张，乙影印机每分钟印制y张，根据“10：00时使用甲印制，10：05才开始使用乙一起印制，到10：15时乙印制的总张数与甲相同，到10：45时甲、乙印制的总张数合计为2100张”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用所需时间=需要印制的总张数甲、乙两影印机的工作效率之和，即可求出结论．

【详解】

解：设甲影印机每分钟印制x张，乙影印机每分钟印制y张，

依题意得：，

解得：，

，

依照小文原本的计划，甲、乙印制的总张数会在10：42达到2100张．

故选：C．

3．（2021·台湾·模拟预测）已知捷立租车行有甲、乙两个营业据点，顾客租车后当日须于营业结束前在任意一个据点还车某日营业结束清点车辆时，发现在甲归还的自行车比从甲出租的多4辆若当日从甲出租且在甲归还的自行车为15辆，从乙出租且在乙归还的自行车为13辆，则关于当日从甲、乙出租的自行车数量下列比较何者正确？（   ）

A．从甲出租的比从乙出租的多2辆 B．从甲出租的比从乙出租的少2辆

C．从甲出租的比从乙出租的多6辆 D．从甲出租的比从乙出租的少6辆

【答案】B

【分析】

设当日从甲、乙出租的自行车数量分别为x辆，y辆，根据题意列方程组解答即可．

【详解】

解：设当日从甲、乙出租的自行车数量分别为x辆，y辆，根据题意得：

，

所以，

即从甲出租的比从乙出租的少2辆．

故选：B．

4．（2021·台湾·模拟预测）如图为某超商促销活动的内容，今阿贤到该超商拿相差4元的2种饭团各1个结帐时，店员说：要不要多买2瓶指定饮料？搭配促销活动后2组优惠价的金额，只比你买2个饭团的金额多30元若阿贤只多买1瓶指定饮料，且店员会以对消费者最便宜的方式结帐，则与原本只买2个饭团相比，他要多付多少元？（   ）

A．12 B．13 C．15 D．16

【答案】B

【分析】

设价格较低的饭团的售价为x元，价格较高的饭团的售价为y元，根据“两种饭团的价格之差为4元，且搭配促销活动后2组优惠价的金额比购买2个饭团的金额多30元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入中即可求出结论．

【详解】

解：设价格较低的饭团的售价为x元，价格较高的饭团的售价为y元，

依题意得：，

解得：，

∴

故选：B．

5．（2021·台湾·模拟预测）若二元一次联立方程式的解为，，则之值为何？（   ）

A． B． C．5 D．25

【答案】D

【分析】

运用加减消元法求出方程组的解，即可得到x，y的值，再求即可．

【详解】

解：，

得：，

，

把代入得：，

，

故选：D．

6．（2021·湖北武汉·中考真题）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返同，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离（单位：）与慢车行驶时间（单位：）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

求出慢车离从甲地到乙地的函数关系为，再求出快车往返解析式，快车从甲地到乙地的解析式，快车从乙地到甲地的解析式，快车从甲地到乙地与慢车相遇时间，快车从乙地到甲地与慢车相遇即可 ．

【详解】

解：设慢车离甲地的距离（单位：）与慢车行驶时间（单位：）的函数关系为y=kt过（6，），

代入得,解得，

∴慢车解析式为：，

设快车从甲地到乙地的解析式，

过（2，0），（4，）两点，代入解析式的，

解得，

快车从甲地到乙地的解析式，

设快车从乙地到甲地的解析式，

过（4，），（6，0）两点，代入解析式的，

解得，

快车从乙地到甲地的解析式，

快车从甲地到乙地与慢车相遇，

解得，

快车从乙地到甲地与慢车相遇，

解得，

两车先后两次相遇的间隔时间是-3=h．

故选择B．

7．（2021·黑龙江·中考真题）为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180 元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（    ）

A．5种 B．6种 C．7种 D．8种

【答案】A

【分析】

设购买甲种奖品为x件，乙种奖品为y件，由题意可得，进而求解即可．

【详解】

解：设购买甲种奖品为x件，乙种奖品为y件，由题意可得：

，

∴，

∵，且x、y都为正整数，

∴当时，则；

当时，则；

当时，则；

当时，则；

当时，则；

∴购买方案有5种；

故选A．

8．（2021·湖南益阳·中考真题）解方程组时，若将①-②可得（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据加减消元法即可得．

【详解】

解：①-②得：，

即，

故选：D．

9．（2021·安徽·二模）若，是方程组的解，，，都在反比例函数上，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

解方程组求得a、b．然后利用待定系数法求出y的值即可判断．

【详解】

解：方程组，解得，

∵点A（3，y1）、B（-1，y2）、C（2，y3）都在反比例函数的图象上，

∴y1=2，y2=-6，y3=3，

∴y2＜y1＜y3，

故选：D．

10．（2021·浙江滨江·三模）以方程组的解为坐标，点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】

此题可解出的、的值，然后根据、的值可以判断出该点在何象限内．

【详解】

解：，

①②得，，

解得，．

把代入①得，，

解得．

，，根据各象限内点的坐标特点可知，

点在平面直角坐标系中的第一象限．

故选：A．

二、填空题

11．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是，类似的，图（2）所示的算筹图用方程组表示出来，就是______________．

【答案】

【分析】

先根据例子和图（2）列出二元一次方程组并求解即可．

【详解】

解：由图1可得，第一列为x的系数、第二列为y的系数，第三列和第四列为方程右边的常数，且前两列一竖表示1，第三列一横表示10，第四列一竖表示1，一横表示5

则根据图2可得：．

故填．

12．（2021·江苏·扬州中学教育集团树人学校三模）若a、b满足式子（a﹣2b）2﹣2（a﹣2b）＋|2a﹣b﹣5|＝﹣1，则a﹣b的值为___．

【答案】2

【分析】

变形后根据非负数的性质求出a、b的值，然后代入a﹣b计算即可．

【详解】

解：∵(a﹣2b)2﹣2(a﹣2b)＋|2a﹣b﹣5|=﹣1，

∴(a﹣2b)2﹣2(a﹣2b)+1＋|2a﹣b﹣5|=0，

∴(a﹣2b-1)2＋|2a﹣b﹣5|=0，

∴，

∴，

∴a-b=3-1=2，

故答案为：2．

13．（2021·江苏建邺·一模）如图，在平面直角坐标系中，、、、，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到线段（与，与是对应点），则旋转中心的坐标为__________．

【答案】

【分析】

设旋转中心的坐标为Q(x,y)，则QA=Q，QB=Q，根据两点之间的距离公式转化为方程组求解即可．

【详解】

设旋转中心的坐标为Q(x,y)，则QA=Q，QB=Q，

∴，

整理，得2x+3y-9=0；

∴，

整理，得2x+-y-5=0；

∴，

解得，

∴旋转中心的坐标为（3，1）．

故答案为：（3，1）．

14．（2021·重庆云阳·九年级阶段练习）随着5月底广州“新冠”疫情的爆发，为了抵抗病毒的侵袭，量子巴川中学组织教师到社区卫生服务中心接种新冠病毒疫苗，由于疫苗数量有限，所以要分批进行接种．初中三个年级都有教师参加第一批疫苗接种，其中初一年级，初二年级和初三年级参加第一批疫苗接种的教师人数之比是5：3：2，第二批疫苗到货后，初中三个年级都有教师参加第二批疫苗接种，初三年级新增接种教师人数占总新增接种教师人数的，第二批疫苗接种后初三年级接种教师总人数占这三个年级接种教师总人数之和的，并且初一年级接种教师总人数和初二年级接种教师总人数之比为，则初二年级第二批接种教师人数与初中三个年级接种教师总人数之比为______．

【答案】

【分析】

设第一批总人数为，第二批总人数为，第二批初二教师人数为，根据题目中信息推出第二批初三教师、第二批初一、第一批初一、初二、初三的人数，再根据比例建立等式进行求解．

【详解】

解：设第一批总人数为，第二批总人数为，第二批初二教师人数为，则第二批初三教师人数为，第二批初一人数为，第一批初一人数为，初二，初三，

根据题意列出方程得，

解得：，

，

故答案是：．

15．（2021·山东滨城·模拟预测）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围______．

【答案】

【分析】

两方程相减可得x-y=9-k，由x＞y知x-y＞0，据此可得9-k＞0，解之可得答案．

【详解】

解：两方程相减可得x-y=9-k，

∵x＞y，

∴x-y＞0，

则9-k＞0，

解得k＜9，

故答案为：k＜9．

16．（2021·重庆·模拟预测）新疆是我国最重要的棉花主产区，棉花的种植面积、总产量、单产量都位居世界首位．新疆的长绒棉品质暖和、透气、舒适，做衣服、被子都属于世界顶级，常年供不应求．长绒棉颜色对比分为白棉1级（记为A），白棉2级（记为B），白棉3级（记为C）．某厂家根据消费需求生产了甲、乙、丙三类被子，每床被子均由A、B、C三种棉花搭配而成，每床被子成本均为棉花成本之和．甲类被子每床由1千克A、0.5千克B、1千克C制成；乙类被子由0.5千克A、1千克B、2千克C制成．经核算，甲类被子每床成本是其A种棉花成本的2倍，且甲、乙、丙三类被子的利润率分别为30%、20%、25%，甲、丙两类被子每床售价之比为13：25，已知今年第一季度甲类被子的销售量是丙类被子的销售量的2倍，三类被子的总利润率正好与丙类被子的利润率相同，则乙类与丙类被子的销售量之比为___．

【答案】8：5

【分析】

因为A，B，C三种棉花的成本和销售量都不知道，因此可以设成本分别为x、y、z，销售量为2a、b、a．再根据甲类被子每床成本是其A种棉花成本的2倍，表示y、z和x的关系即y+2z=2x，甲、丙两类被子每床售价之比为13：25，甲的利润率30%，从而可以用x来表示三类被子的成本．最后根据总利润率=×100%，从而得到a和b的比．

【详解】

解：设A，B，C三种棉花的成本为x、y、z，则甲、乙被子的成本为x+0.5y+z，0.5x+y+2z．

∴x+0.5y+z=2x，即y+2z=2x，

∴乙的成本为0.5x+2x=2.5x．

∵甲、乙被子的利润率分别为30%、20%，

∴甲、乙的售价为2x×（1+30%）=2.6x，2.5x×（1+20%）=3x．

∵甲、丙两类被子每床售价之比为13：25，

∴2.6x×=5x．

∴丙的成本为5x÷（1+25%）=4x，

∴甲、乙、丙每床被子的利润为0.6x、0.5x、x．

设丙类被子的销售量为a，乙类被子的销售量b，则甲类被子销量为2a．

∴，

∴b=a．

即乙类与丙类被子的销售量之比为8：5．

故答案为8：5．

17．（2021·浙江衢江·一模）已知x，y满足方程组，则的值为________．

【答案】15

【分析】

原式利用平方差公式变形，把已知等式代入计算即可求出值．

【详解】

解：由方程组得：x+y=5，x−y=3，

则=(x+y)(x-y)=15，

故答案为：15．

三、解答题

18．（2021·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校二模）毕业考试结束后，班主任罗老师预购进甲乙两种奖品奖励学生，若购进甲种奖品3件和乙种奖品2件共需要40元；若购进甲种奖品2件和乙种奖品3件共需要55元．

（1）求购进甲、乙两种奖品每件分别需要多少元？

（2）班主任罗老师决定购进甲、乙两种奖品共20件，且用于购买这20件奖品的资金不超过160元，则最多能购进乙种奖品多少件？

【答案】（1）购进每件甲种奖品需要2元，每件乙种奖品需要17元；（2）8件

【分析】

（1）设购进每件甲种奖品需要x元，每件乙种奖品需要y元，根据“若购进甲种奖品3件和乙种奖品2件共需要40元；若购进甲种奖品2件和乙种奖品3件共需要55元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设能购进乙种奖品m件，则购进甲种奖品（20-m）件，根据总价=单价×数量，结合购买这20件奖品的资金不超过160元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．

【详解】

解：（1）设购进每件甲种奖品需要x元，每件乙种奖品需要y元，

依题意得：，

解得：，

答：购进每件甲种奖品需要2元，每件乙种奖品需要17元．

（2）设能购进乙种奖品m件，则购进甲种奖品（20-m）件，

依题意得：2（20-m）+17m≤160，

解得：m≤8．

答：最多能购进乙种奖品8件．

19．（2021·江苏·常州实验初中二模）解方程组或不等式组：

（1）解方程组：            （2）解不等式组：

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）根据加减消元法解二元一次方程组即可；

（2）分别解不等式①②，进而求得不等式组的解集．

【详解】

（1）

①②得：，

解得，

将代入解得，

原方程组的解为：；

（2）

解不等式①得：，

解不等式②得：，

不等式组的解集为：．

20．（2021·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题

为振兴农村经济，某县决定购买A，B两种药材幼苗发给农民栽种，已知购买2棵A种药材幼苗和3棵B种药材幼苗共需41元．购买8棵A种药材幼苗和9棵B种药材幼苗共需137元．问每棵A种药材幼苗和每棵B种药材幼苗的价格分别是多少元？

【答案】每棵A种药材幼苗的价格是7元，每棵B种药材幼苗的价格是9元．

【分析】

设每棵A种药材幼苗的价格是x元，每棵B种药材幼苗的价格是y元，根据“购买2棵A种药材幼苗和3棵B种药材幼苗共需41元．购买8棵A种药材幼苗和9棵B种药材幼苗共需137元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【详解】

解：设每棵A种药材幼苗的价格是x元，每棵B种药材幼苗的价格是y元，

依题意得：，

解得：，

答：每棵A种药材幼苗的价格是7元，每棵B种药材幼苗的价格是9元．

21．（2021·河北·石家庄市第二十八中学三模）已知直线：经过点与轴交于点，且与直线：的图象相交于点．

（1）直接写出的值：

（2）求直线的表达式；

（3）在轴上存在点，使得的面积为6，求点坐标．

（4）过动点且垂直于轴的直线与、的交点分别为，．当点总在点上方时，直接写出的取值范围．

【答案】（1）2；（2）；（3）或；（4）

【分析】

（1）将点C坐标代入求解即可；

（2）利用待定系数法求解直线表达式即可；

（3）先求出点B坐标，再利用三角形的面积公式求出BD长，进而求解即可；

（4）由题意及直线、的表达式表示出点E、F的坐标，再由E的纵坐标大于F的纵坐标列出不等式，进而求解即可．

【详解】

解：（1）由题意，将C代入得：=2，

∴；

（2）将C，A代入得：

，解得： ，

∴直线表达式为：；

（3）当x=0时，y=0﹣2=﹣2，∴B（0，﹣2），

∵，

∴，

∴或；

（4）∵过动点且垂直于轴的直线与、的交点分别为E、F，

∴，，

∵点E总在点F上方，

∴，解得：．

22．（2021·云南·一模）截至年末，云南已建成基站万个，信息能力实现跃升．时代的到来，将给人们的生活带来巨大改变．现从云南某信息技术有限公司得知两种型号手机的进价和售价如下表所示：

某营业厅按进价购进一批两种型号手机共花费了元，按售价销售完后共获得利润元．

（1）该营业厅购进两种型号手机各多少台？

（2）若该营业厅再次按进价购进两种型号手机共台，售价不变，且购进的型号手机的数量不少于购进的型号手机数量的一半，请你帮该营业厅设计一个方案：购进两种型号手机各多少台时，销售完获得的利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）设营业厅购进型号的手机6台，购进型号的手机4台；（2）当购进型手机10台，则购进型手机20台时，销售利润最大，最大值为．

【分析】

（1）设营业厅购进两种型号手机分别为台，根据题意中的等量关系，列二元一次方程组解决问题；

（2）设购进型手机台，则购进型手机台，销售利润为，列出函数表达式，根据一次函数的性质确定最大值．

【详解】

（1）设营业厅购进两种型号手机分别为台，根据题意，得：

，

解得：．

答：设营业厅购进型号的手机6台，购进型号的手机4台．

（2）设购进型手机台，则购进型手机台，销售利润为，根据题意得：

，

，

解得，

，

当时，．

，

当购进型手机10台，则购进型手机20台时，销售利润最大，最大值为．

23．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）某校举办数学学科节需购买A，B两种纪念品，若购买A种纪念品2件和B种纪念品3件，共需65元；若购买A种纪念品3件和B种纪念品2件，共需60元．

（1）求A、B两种纪念品的单价各是多少元？

（2）学科节组委会计划购买A、B两种纪念品共100件，且A种纪念品的数量不超过B种纪念品数量的2倍，设购买A种纪念品m件，购买这些纪念品的总费用为W元，请写出W（元）与m（件）之间的函数关系式．并计算费用W的最小值．

【答案】（1）A种纪念品的单价是10元，B种纪念品的单价是15元；（2）W＝﹣5m＋1500；1170元

【分析】

（1）设A种纪念品的单价是x元，B种纪念品的单价是y元，根据关系式列出二元一次方程组；
（2）购买A种纪念品m件，购买这些纪念品的总费用为W元，根据题意列出W与m的函数关系式，由A种纪念品的数量不超过B种纪念品数量的2倍，列出不等式可求m的范围，由一次函数的性质可求解．

【详解】

解：（1）设A种纪念品的单价是x元，B种纪念品的单价是y元，

根据题意，得：，

解这个方程组，得，

答：A种纪念品的单价是10元，B种纪念品的单价是15元；

（2）设购买A种纪念品m件，购买这些纪念品的总费用为W元．

根据题意，得：W＝10m＋15（100﹣m）＝﹣5m＋1500

∵

∴．

∵﹣50，

∴W随m的增大而减小，

∴当m＝66时，W取得最小值，此时W＝﹣5×66＋1500＝1170．

答：费用的最小值为1170元．

24．（2021·广西玉林·一模）某电器超市销售每台进价分别为210元、180元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：

（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本）

（1）求A，B两种型号的电风扇的销售单价；

（2）若超市准备用不多于7650元的金额再采购这两种型号的电风扇共40台，求全部销售后获得最大利润是多少元？

【答案】（1）A、B两种型号电风扇的销售单价分别为300元、250元；（2）3100元

【分析】

（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据总价=单价数量结合近两周的销售情况统计表，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台，总利润为y，根据超市准备用不多于7650元的金额再采购这两种型号的电风扇共40台，即可得出关于a的一元一次不等式组，根据题意列出总利润y的关系式，根据不等式的结果即可求得最大利润．

【详解】

解：（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，

依题意得：，

解得：，

答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为300元、250元；

（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台，总利润为y．

依题意得：，

解得：．

，

当时，y取最大值3100，

全部销售后获得最大的利润是3100元．

25．（2021·江苏如皋·二模）（1）某运输队第一次运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；第二次装载了8节火车车厢和10辆汽车，比第一次多运输了化肥80吨．每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？

（2）如图，AB是的直径，点C在上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E．求证．

【答案】（1）每节火车车厢平均装50吨化肥，每辆汽车平均装4吨化肥；（2）证明见解析．

【分析】

（1）设每节火车车厢平均装吨化肥，每辆汽车平均装吨化肥，根据两次运输数据建立二元一次方程组，解方程组即可得；

（2）连接，先根据圆的切线的性质可得，再根据平行线的判定与性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，从而可得，最后根据角平分线的性质即可得证．

【详解】

解：（1）设每节火车车厢平均装吨化肥，每辆汽车平均装吨化肥，

由题意得：，

解得，

答：每节火车车厢平均装50吨化肥，每辆汽车平均装4吨化肥；

（2）如图，连接，

是的切线，

，

，

，

，

，

，

，

又，

（角平分线的性质）．