考点06分式与分式方程及其应用（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北师大版）

考点06分式与分式方程及其应用

【命题趋势】

分式与分式方程及其应用是中考的必考内容，同时也是中考的重要热点。中考主要以选择题、填空题、解答题形式考分式的概念、基本性质和分式的化简求值、分式方程的应用。但分式的化简求值以解答题为主，考查形式有两种：①分式化简，②分式的化简求值。分式方程的应用主要在应用题的第（1）问中考查。通常考中档题。

【常考知识】

分式的概念、基本性质和分式的化简求值、分式方程及应用。

【夺分技巧】

①分式有意义的条件是分母不为零。

②分式的值为零的条件是：分子为0且分母不为零。

③要先化简，再求值，不要直接代入。

④分式方程转化整式方程时，由于去分母导致未知数的取值范围发生变化，有可能产生增根，因此，在解分式方程时一定要验根。

⑤代值时一定要使原分式有意义.

⑥代值方法：①直接代入、②整体代入、条件代入、④分类代入。

真题演练

一、单选题

1．（2021·辽宁·沈阳市第七中学九年级期中）若＝，则的值是（    ）

A．3 B． C． D．2

【答案】C

【分析】

根据＝得，将代入中即可得出答案．

【详解】

解：∵＝，

∴，

将代入中，

得，

故选：C．

2．（2021·内蒙古海拉尔·模拟预测）H7N9病毒直径为30纳米，已知1纳米＝0.000 000 001米．用科学记数法表示这个病毒直径的大小，正确的是（ ）

A．米 B．米 C．米 D．米

【答案】B

【分析】

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个非零数字前面的0的个数所决定．

【详解】

解：300.000 000 001=0.000 000 03=．

故选：B．

3．（2021·四川遂宁·中考真题）下列说法正确的是（　　）

A．角平分线上的点到角两边的距离相等

B．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形

C．在代数式，，，，，中，，，是分式

D．若一组数据2、3、x、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是4

【答案】A

【分析】

根据角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数的性质分别进行判断即可．

【详解】

解：A.角平分线上的点到角两边的距离相等，故选项正确；

B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；

C.在代数式，，，，，中，，是分式，故选项错误；

D.若一组数据2、3、x、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是3，故选项错误；

故选：A．

4．（2021·广西百色·中考真题）当x＝﹣2时，分式的值是（    ）

A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15

【答案】A

【分析】

先把分子分母进行分解因式，然后化简，最后把代入到分式中进行正确的计算即可得到答案.

【详解】

解：

把代入上式中

原式
故选A.

5．（2021·内蒙古包头·三模）若式子有意义，则x的取值范围是（    ）

A． B．且 C．且 D．

【答案】D

【分析】

根据立方根的性质和分式有意义的条件即可判断．

【详解】

解：由题意得，式子有意义，

则，

故选：D．

6．（2021·重庆·二模）若关于的一元一次不等式组，有且仅有个整数解，且关于的分式方程有正数解，则所有满足条件的整数的和为（　　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

解不等式组和分式方程得出关于x的范围及x的值，根据不等式组有3个整数解和分式方程的解为正数得出a的范围，继而可得整数a的取值之和．

【详解】

解：解不等式组得：≤x＜5，

∵不等式组有且仅有3个整数解，

∴1＜≤2，

解得：2＜a≤6，

解分式方程得x＝，

∵分式方程有正数解，

∴＞0，

解得：a＞1，

又∵x＝≠1，

∴a≠5，

综上，a的取值范围是2＜a≤6，且a≠5，

则所有满足条件的整数a的值之和为3+4+6＝13，

故选：B．

7．（2021·浙江浙江·九年级期末）一家工艺品厂按计件方式结算工资．小鹿去这家工艺品厂打工，第一天工资60元，第二天比第一天多做了5件，工资为75元．设小鹿第一天做了件，根据题意可列出方程为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据题意列分式方程即可

【详解】

解：由题意可知，每件工艺品的单价不变，则有

故选：A

8．（2021·云南昆明·三模）若关于的方程的解为负数，且关于的不等式组无解．则所有满足条件的整数的值之积是（    ）

A．-2 B．-1 C．0 D．1

【答案】A

【分析】

先求得分式方程的解，根据解是负数，确定a的范围，注意x=3和x=-3时a的值，求解不等式组的解集，根据不等式组无解，确定a的范围，整体判断a的范围，求得a的整数解，计算判断即可；

【详解】

去分母得：．

解得：．

解为负数，

．

．

当时，；时，，此时分式的分母为0，

，且．

将不等式组整理得：．

不等式组无解，

．

的取值范围为：，且．

满足条件的整数a的值为：-1，1，2，

所有满足条件的整数a的值之积是-2．

故选：A．

9．（2021·四川武侯·二模）分式方程的解为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据解分式方程的方法把方程化为整式方程，即可求解．

【详解】

解：给方程两边同乘以得，

去括号得，

解得．

将代入原方程中得：等式左右两边相等

故是原分式方程的解．

故选B．

10．（2021·四川遂宁·八年级期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

将分式方程转化为2m−1−7x＝5（x−1），根据增根的意义得到x＝1，然后将x＝1代入整式方程，即可求出m的值．

【详解】

解：，

方程两边都乘（x−1）得2m−1−7x＝5（x−1），

∵原方程有增根，

∴最简公分母x−1＝0，

解得x＝1，

当x＝1时，2m−1−7＝0，

解得m＝4．

故选：D．

二、填空题

11．（2021·四川巴中·中考真题）函数y中自变量x的取值范围是___________．

【答案】x≤2且x≠−3

【分析】

根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．

【详解】

解：由题意得，2−x≥0且x＋3≠0，
解得x≤2且x≠−3．
故答案为：x≤2且x≠−3．

12．（2021·福建省福州第一中学八年级期中）当______时，分式值为零．

【答案】﹣2．

【分析】

根据分式值为零及分式成立的条件求解即可．

【详解】

解：要使分式为零，则分子x2﹣4＝0解得：x＝±2，

而x＝﹣2时，分母x﹣2＝﹣4≠0，

x＝2时分母x﹣2＝0，分式没有意义，

所以x的值为﹣2．

故答案为：﹣2．

13．（2021·黑龙江铁锋·一模）在函数y＝+（x﹣4）0中，自变量x的取值范围是_____．

【答案】x＞3且x≠4．

【分析】

结合二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不能为零，零的零次幂没有意义等知识点求解自变量取值范围．

【详解】

解：要使函数y＝+（x﹣4）0有意义，

则x﹣3＞0且x﹣4≠0，

解得x＞3且x≠4，

故答案为：x＞3且x≠4．

14．（2021·湖北蔡甸·二模）方程的解是______

【答案】．

【分析】

将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．

【详解】

解：去分母得：，

移项、合并，得：﹣2x=5，

解得：，

检验：当时，，

∴是分式方程的解．

故答案为：．

15．（2021·四川宜宾·八年级期中）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大．为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度．现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件，依据题意列出关于x的方程________．

【答案】

【分析】

设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x＋30）万件产品，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

【详解】

解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x＋30）万件产品，
依题意，得：．
故答案为：．

16．（2021·四川金牛·二模）关于的分式方程有增根，则________．

【答案】3或

【分析】

解分式方程，先将原方程变形为整式方程，然后根据方程有增根的概念可知，或是原方程的增根，代入求值即可求解．

【详解】

解：方程左右两边同时乘以得：

∵原方程有增根

∴或，

当时，

当时，

故答案为：3或．

17．（2021·重庆·二模）一个盆子中有若干个红球和个白球，这些球除了颜色外都相同，再往该盒子中放入个相同的红球，摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到红球的概率是，则盒子中原有的红球个数为____．

【答案】16

【分析】

设原来有x个红球，利用概率公式得到分式方程，求解即可．

【详解】

解：设原来有x个红球，则，

解得，

经验证是原分式方程的解，

故答案为：16．

三、解答题

18．（2021·河南永城·二模）先化简，再求值：，其中为－1，1，2中一个合适的值．

【答案】；2

【分析】

根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件选择一个数代入计算，得到答案．

【详解】

解：

=，

=，

=，

=，

x= -1、2时，原式无意义，

当时，原式．

19．（2021·广东·深圳外国语学校八年级期末）先化简（－x＋1）÷，再从－1，0，1中选择合适的x值代入求值．

【答案】；-1

【分析】

先将小括号内的分式通分化简，再根据除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，结合完全平方公式、平方差公式解题，约分、化简，最后根据分式有意义的条件代入，计算求值即可．

【详解】

当时，

原式

20．（2021·山东济南·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．

（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？

（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？

【答案】（1）乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元；（2）最多购进87个甲种粽子

【分析】

（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，然后根据“购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个”可列方程求解；

（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，然后根据（1）及题意可列不等式进行求解．

【详解】

解：（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，由题意得：

，

解得：，

经检验是原方程的解，

答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元．

（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，由（1）及题意得：

，

解得：，

∵m为正整数，

∴m的最大值为87；

答：最多购进87个甲种粽子．

21．（2021·江苏镇江·二模）（1）解方程：；      （2）解不等式组：．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）先将分式方程化成整式方程，再解一元一次方程即可得；

（2）先求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即为不等式组的解．

【详解】

解：（1），

方程两边同乘以得：，

去括号得：，

移项、合并同类项得：，

系数化为1得：，

经检验，是原分式方程的解，

故方程的解为；

（2），

解不等式①得：，

解不等式②得：，

则不等式组的解为．