考点07分式方程（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（华师大版）

考点07分式方程

考点总结

真题演练

一、单选题

1．（2021·山东淄博·中考真题）甲、乙两人沿着总长度为的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为，则下列方程中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据题意可直接进行求解．

【详解】

解：由题意得：；

故选D．

2．（2021·山东临沂·中考真题）某工厂生产、两种型号的扫地机器人．型机器人比型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫所用的时间型机器人比型机器人多用40分钟． 两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设型扫地机器人每小时清扫，根据题意可列方程为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

根据清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟列出方程即可．

【详解】

解：设A型扫地机器人每小时清扫xm2，

由题意可得：，

故选D．

3．（2020·山东枣庄·中考真题）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据题中的新运算法则表达出方程，再根据分式方程的解法解答即可．

【详解】

解：

∴方程表达为：

解得：，

经检验，是原方程的解，

故选：B．

4．（2021·山东淄川·一模）方程的解为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据分式方程的求解步骤求解即可，注意验证x-1．

【详解】

解：去分母得2−x-2=3x−3，

合并同类项得4x=3，

解得x=，

经检验，当x=时，x−1≠0，

∴x=是原分式方程的解．

故选：C．

5．（2021·山东河东·二模）为了缓解城市用水紧张及提倡节约用水，某市自2021年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25%，该市林老师家2020年12月份的水费是18元，而2021年1月份的水费是36元，且已知林老师家2021年1月份的用水量比2020年12月份的用水量多3m3，求该市去年的居民用水价格？设去年的居民用水价格x元/m3，则所列方程正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．

【详解】

解：由题意可得：

，

故选：B．

6．（2021·山东福山·模拟预测）若关于x的分式方程有增根，则a的值为（   ）

A．−3 B．3 C．2 D．

【答案】A

【分析】

去分母化分式方程为整式方程，将增根x=2代入整式方程即可求得．

【详解】

解：，

去分母，得：．

∵分式方程有增根，

∴增根为x=2，

将x=2代入整式方程，得：，

得：．

解得

故选A．

7．（2021·山东诸城·一模）已知关于的分式方程的解为正数，则正整数可以取（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】C

【分析】

先去分母，将原方程转化为整式方程，求得方程的解，再根据解为正数及m为正整数求得答案即可．

【详解】

解：方程两边同时乘以（x-1）得：

∴

∵解为正数，

∴

∴m＜5，

又∵m为正整数，

∴m=1或m=2或m=3或m=4．

∵当时，x-1=0，

∴m=3不符合题意．

∴正整数m的值为1，2或4．

故选：C．

8．（2021·山东·济宁学院附属中学三模）随着快递业务量的增加，某快递公司为快递品更换快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每天300件提高到420件，平均每人每天比原来多投递8件．若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每天投递快件多少件？设原来平均每人每天投递快件件，根据题意可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

设原来平均每人每天投递快件x件，则更换快捷的交通工具后平均每人每天投递快件（x+8）件，根据该快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

【详解】

解：设原来平均每人每天投递快件x件，则更换快捷的交通工具后平均每人每天投递快件（x+8）件，

依题意得：．

故选：D．

9．（2021·山东兰山·二模）网上购物已经成为人们常用的一种购物方式．购物方式的改变给快递行业带来了商机，也带来了挑战．为了提高效率，某快递公司研发了快递机器人专门负责分拣包裹，已知单个机器人比人工（一个人）每小时多分拣100个，单个机器人分拣9000个包裹和人工（一个人）分拣6000个包裹所用时间相同．设人工（一个人）每小时分拣x个包裹，则可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

根据单个机器人比人工（一个人）每小时多分拣100个，单个机器人分拣9000个包裹和人工（一个人）分拣6000个包裹所用时间相同，可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．

【详解】

解：设人工（一个人）每小时分拣x个包裹，则单个机器人每小时分拣个

由题意可得，，

故选：A．

10．（2021·山东泗水·一模）暑假期间，某科幻小说的销售量急剧上升．某书店分别用600元和800元两次购进该小说，第二次购进的数量比第一次多40套，且两次购书时，每套书的进价相同．若设书店第一次购进该科幻小说x套，由题意列方程正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

根据第一次进书的总钱数÷第一次购进套数＝第二次进书的总钱数÷第二次购进套数列方程可得．

【详解】

若设书店第一次购进该科幻小说x套，

由题意列方程正确的是，

故选：C．

二、填空题

11．（2021·山东青岛·中考真题）在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同．摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中．不断重复这一过程，共摸球100次．其中有40次摸到黑球，估计袋中红球的个数是__________．

【答案】6

【分析】

估计利用频率估计概率可估计摸到黑球的概率为 ，然后根据概率公式构建方程求解即可．

【详解】

解：设袋中红球的个数是x个，根据题意得：

，

解得：x=6，

经检验：x=6是分式方程的解，

即估计袋中红球的个数是6个．

故答案为：6．

12．（2021·山东潍坊·中考真题）若x＜2，且，则x＝_______．

【答案】1

【分析】

先去掉绝对值符号，整理后方程两边都乘以x﹣2，求出方程的解，再进行检验即可．

【详解】

解：|x﹣2|+x﹣1＝0，

∵x＜2，

∴方程为2﹣x+x﹣1＝0，

即1，

方程两边都乘以x﹣2，得1＝﹣（x﹣2），

解得：x＝1，

经检验x＝1是原方程的解，

故答案为：1．

13．（2021·山东东营·中考真题）某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为万平方米，则所列方程为________．

【答案】

【分析】

原计划每天绿化的面积为万平方米，则实际每天绿化的面积为万平方米，根据工作时间=工作总量工作效率，结合实际比原计划提前30天完成了这一任务，即可列出关于的分式方程．

【详解】

设原计划每天绿化的面积为万平方米，则实际每天绿化的面积为万平方米，

依据题意：

故答案为：

14．（2021·山东·日照市田家炳实验中学一模）已知关于x的方程无解，则m的值是___．

【答案】或1

【分析】

分方程有增根，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值和方程没有增根两种情况进行讨论.

【详解】

解：①当方程有增根时

方程两边都乘，得，

∴最简公分母，

解得，

当时，

故m的值是1，

②当方程没有增根时

方程两边都乘，得，

解得，

当分母为0时，此时方程也无解，

∴此时，

解得，

∴综上所述，当或1时，方程无解.

故答案为：或1.

15．（2021·山东滨城·模拟预测）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为______．

【答案】且

【分析】

根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，可得答案．

【详解】

解：

去分母，得：，

移项、合并，得：

系数化为1得：

∵分式方程的解为非负数，

∴且，

解得：且，

故答案为：且．

三、解答题

16．（2021·山东青岛·中考真题）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用100元购进乙品牌洗衣液数量的．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．

（1）求两种品牌洗衣液的进价；

（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？

【答案】（1）甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶；（2）购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元

【分析】

（1）设甲品牌洗衣液每瓶的进价是x元，则乙品牌洗衣液每瓶的进价是（x-6）元，根据数量=总价÷单价，结合用1800元购进乙品牌洗衣液数量的，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设可以购买m瓶乙品牌洗手液，则可以购买（100-m）瓶甲品牌洗手液，根据总价=单价×数量，结合总费用不超过1645元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．

【详解】

解：（1）设甲品牌洗衣液进价为元/瓶，则乙品牌洗衣液进价为元/瓶，

由题意可得，，

解得，

经检验是原方程的解.

答：甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶.

（2）设利润为元，购进甲品牌洗衣液瓶，

则购进乙品牌洗衣液瓶，

由题意可得，，

解得，

由题意可得，，

∵，∴随的增大而增大，

∴当时，取最大值，.

答：购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元．

17．（2021·山东济南·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．

（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？

（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？

【答案】（1）乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元；（2）最多购进87个甲种粽子

【分析】

（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，然后根据“购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个”可列方程求解；

（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，然后根据（1）及题意可列不等式进行求解．

【详解】

解：（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，由题意得：

，

解得：，

经检验是原方程的解，

答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元．

（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，由（1）及题意得：

，

解得：，

∵m为正整数，

∴m的最大值为87；

答：最多购进87个甲种粽子．

18．（2021·山东威海·中考真题）六一儿童节来临之际，某商店用3000元购进一批玩具，很快售完；第二次购进时，每件的进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件．

（1）求第一次每件的进价为多少元？

（2）若两次购进的玩具售价均为70元，且全部售完，求两次的总利润为多少元？

【答案】（1）第一次每件的进价为50元；（2）两次的总利润为1700元．

【分析】

（1）设第一次每件的进价为x元，则第二次进价为（1+20%）x，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；

（2）根据总利润=总售价-总成本，列出算式，即可求解．

【详解】

解：（1）设第一次每件的进价为x元，则第二次进价为（1+20%）x，

根据题意得：，解得：x=50，

经检验：x=50是方程的解，且符合题意，

答：第一次每件的进价为50元；

（2）（元），

答：两次的总利润为1700元．

19．（2021·山东济宁·中考真题）某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．

（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？

（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可以多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；（2）当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．

【分析】

（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意列出方程，解方程即可得出结论；
（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，根据题意列出函数解析式，根据二次函数的性质求出函数的最值．

【详解】

解：（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意得：

，
整理得：x2-18x+45=0，
解得：x=15或x=3（舍去），
经检验，x=15是原分式方程的解，符合实际，
∴x-5=15-5=10（元），
答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；
（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，由题意得：

w=（15-a）（100+20a）=-20a2+200a+1500=-20（a-5）2+2000，
∵a=-20，
当a=5时，函数有最大值，最大值是2000元，
答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．

20．（2021·山东聊城·中考真题）为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用600元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5元．

（1）A，B两种花卉每盆各多少元？

（2）计划购买A，B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的，求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？

【答案】（1）A 种花弃每盆1元，B种花卉每盆1.5元；（2）购买A 种花卉1500盆时购买这批花卉总费用最低，最低费用为 8250元

【分析】

（1）设A 种花弃每盆x元，B 种花卉每盆（x＋0.5）元，根据题意列分式方程，解出方程并检验；

（2）设购买A种花卉∶t盆，购买这批花卉的总费用为w元，则t≤（6000－t），w＝t＋1.5（6000－t）＝－0.5t＋9000，w随t的增大而减小，所以根据t的范围可以求得w的最小值．

【详解】

解：（1）设A 种花弃每盆x元，B 种花卉每盆（x＋0.5）元．

根据题意，得．

解这个方程，得x＝1.

经检验知，x＝1是原分式方程的根，并符合题意．

此时x＋0.5＝1＋0.5＝1.5（元）．

所以，A种花弃每盆1元，B种花卉每盆1.5元．

（2）设购买A种花卉∶t盆，购买这批花卉的总费用为w元，则t≤（6000－t），

解得∶t≤1500.

由题意，得w＝t＋1.5（6000－t）＝－0.5t＋9000.

因为w是t的一次函数，k＝－0.5＜0，w随t的增大而减小，所以当t＝1500 盆时，w最小．

w＝－0.5×1500＋9000＝8250（元）．

所以，购买A种花卉1500盆时购买这批花卉总费用最低，最低费用为8250元．