考点07二次根式（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北京版）

考点07二次根式

考点总结

一、二次根式有意义及化简

1．二次根式有意义的条件

（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；

（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零。

2．二次根式的化简

①利用二次根式的基本性质进行化简；

②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简

＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）

二、同类二次根式及分母有理化

1．同类二次根式

（1）一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。

（2）合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变。

2．分母有理化

（1）分母有理化是指把分母中的根号化去，分母有理化是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式。

①＝＝；   ②＝＝．

（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式，一个二次根式的有理化因式不止一个。

三、二次根式混合运算

1．与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；

2．在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”。

四、二次根式的应用

【高频考点精讲】

二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法。

真题演练

一、单选题

1．若，，分别表示的相反数、绝对值、倒数，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据题意分别列出，，分别表示的数，然后比较即可得出结论．

【详解】

由题意，，，，

∴，

故选：D．

2．以下变形正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据二次根式的法则计算即可

【详解】

解：

A、，故错误

B、，故错误

C、，故错误

D、，正确

故选：D

3．下列各式中与是同类二次根式的是（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据同类二次根式的定义“化简后被开方数相同的二次根式是同类二次根式”逐项判断即可求解．

【详解】

解：.与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；

.，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；

.，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；

.，与是同类二次根式，故本选项符合题意．

故选：．

4．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（　　）

A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3

【答案】D

【分析】

根据同类二次根式的定义得出方程，求出方程的解即可．

【详解】

解：∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，

∴x+3＝2x，

解得：x＝3，

故选：D．

5．函数中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x≠3 B．x≥3 C．x＞3 D．x≤3

【答案】B

【分析】

根据二次根式有意义的条件，即根号下大于等于0，求出即可．

【详解】

∵有意义的条件是：x﹣3≥0．

∴x≥3．

故选B．

6．在数轴上，点A，B表示的数互为相反数，若点A在点B的左侧，且AB=2，则点A，点B表示的数分别是（    ）

A．-， B．，- C．0，2 D．-2，2

【答案】A

【分析】

根据相反数的定义即可求解．

【详解】

解：由A、B表示的数互为相反数，且AB=2，点A在点B的左侧，得
点A，点B表示的数分别是-，．
故选：A．

7．下列计算正确的是（　　）

A．a2+a2＝2a4 B．（2a）2＝4a C． D．

【答案】C

【分析】

A、合并同类项，系数相加，字母和字母的指数不变；B、系数和字母都乘方；C、D利用二次根式的乘除法计算．

【详解】

解：A、a2+a2＝2a2，故A选项错误；

B、（2a）2＝4a2，故B选项错误；

C、，此C选项正确；

D、÷3＝，故D选项错误．

故选：C．

8．下列运算正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】D

【详解】

解：A．，故此选项错误；

B．，故此选项错误；

C．，故此选项错误；

D．，正确；

故选D．

9．若﹣1＜x＜0，则﹣＝（　　）

A．2x+1 B．1 C．﹣2x﹣1 D．﹣2x+1

【答案】C

【分析】

直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．

【详解】

解：∵﹣1＜x＜0，

∴x+1＞0

∴﹣

＝﹣x﹣（x+1）

＝﹣x﹣x﹣1

＝﹣2x﹣1．

故选：C．

10．如果，那么代数式的值为（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】B

【分析】

先根据分式的混合运算法则化简原式，再把a的值代入化简后的式子计算即可．

【详解】

解：原式==；

当时，原式=．

故选：B．

二、填空题

11．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．

【答案】

【分析】

根据二次根式有意义的条件即可求解．

【详解】

根据题意得：，

解得，

故答案为：．

12．若的值为有理数，请你写出一个符合条件的实数a的值_________．

【答案】答案不唯一，如：

【分析】

根据合并同类项和有理数的定义，即可得到答案．

【详解】

解：∵的值为有理数，

∴，（答案不唯一）；

故答案为：答案不唯一，如：．

13．若有意义，则的取值范围是____________．

【答案】

【分析】

根据被开方数大于或等于0，列式计算即可得解．

【详解】

解：∵有意义，

∴2x-6≥0，

解得x≥3．

故答案为：x≥3．

14．下列命题错误的序号是_________．

①若和是同位角，则；②如果一个三角形的两条边和一个角与另一个三角形的两条边和一个角相等，那么这两个三角形全等；③是二次根式；④某班投票选班长，小丽15票，小伟20票，小刚18票，这组数据的众数是20；⑤为排查肺炎疑似病人同机乘客的健康情况，应采用全面调查的方式进行．

【答案】①②③④

【分析】

分别根据同位角的概念、全等三角形的判定、二次根式的定义、众数的定义及全面调查的意义进行判断，即可得出结论．

【详解】

解：①两直线平行时，同位角相等，不是所有互为同位角的两个角都相等，故此命题错误；

②根据三角形全等的判定定理可知，当一个三角形的两个边和其夹角与另一个三角形的对应边角相等时，两个三角形才会全等，故此命题错误；

③一般地，形如的式子叫作二次根式，需要这个条件存在，题中没有，故此命题错误；

④一组数据中出现次数最多的那个数据叫作这组数据的众数，故此命题错误；

⑤排查所有同机乘客需要进行全面调查，故此命题正确．

15．已知，_______．

【答案】2

【分析】

根据二次根式有意义的条件，确定的值，进而求得的值，再代入代数式中求得立方根即可

【详解】

，

，

解得，

，

．

故答案为：2．

三、解答题

16．小超在观看足球比赛时，发现了这样一个问题：两名运动员从不同的位置出发，沿着不同的方向，以不同的速度，朝着同一个目标直线奔跑，什么时候他们离对方最近呢？

小超通过一定的测量，并选择了合适的比例尺，把上述问题抽象成如下数学问题：

如图，，，，点以的速度从点向点运动，点以的速度从点向点运动．当其中一点先到达点时，两点同时停止运动．若点，同时出发，多长时间后取得最小值？

小超猜想当时，最小．探究后发现用几何的知识解决这个问题有一定的困难，于是根据函数的学习经验，设，两点间的距离为，，两点间的距离为，对函数随自变量的变化规律进行了探究．

下面是小超的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，得到了与的几组对应值；

（说明：补全表格时相关数值保留两位小数）

（2）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

（3）结合画出的函数图象，解决问题：

①小超的猜想______（填“正确”或“不正确”），理由是______．

②在运动过程中，当、两点距离最近时，距二者同时出发的时间约为______．

【答案】（1）2.51（2）见解析；（3）①不正确，理由见解析；②5.1．

【分析】

（1）根据图象结合测量可得结论；

（2）描点后用光滑的曲线画图象即可；

（3）①作出符合题意的图形，根据勾股定理计算DE的长，可得答案，②结合表格信息与观察图像，可得出结论．

【详解】

（1）根据图像结合测量可得：当时，，

故答案为：2.51．

（2）画出函数图像如图：

（3）①不正确；理由如下：

如图，设运动秒时，

则

由

显然，此时的长不是最小值．

故答案为：不正确，不是最小值．

②结合表格信息与观察所画图像可得当、两点距离最近时，距二者同时出发的时间约为5.1秒．

故答案为：．

17．（1）计算：；

（2）先化简，再求值：，其中．

【答案】（1）-4；（2），

【分析】

（1）先算零指数幂，负整数指数幂，绝对值以及锐角三角函数值，再算加减法，即可求解；

（2）先算分式的减法，再算分式的除法，最后代入求值即可．

【详解】

解：（1）原式=

=

=-4；

（2）原是=

=，

当时，原式=．

18．（1）若时，试化简；

（2）先化简，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值．

【答案】（1）；（2），当时，原式．

【分析】

（1）根据x的取值范围，可确定，，，然后根据绝对值及二次根式的性质化简即可；

（2）先进行通分，然后利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，最后根据分式的除法进行化简，然后代入求值即可．

【详解】

（1）∵，

∴，，，

原式

；

（2）

，

当时，

，，，

即：，，，

∴取，

原式．