考点06分式方程（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（苏科版）

考点06分式方程

考点总结

1、分式方程

分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

2、分式方程的一般方法

解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：

（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母

（2）解所得的整式方程

（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。

3、分式方程的特殊解法

换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。

真题演练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•姑苏区校级一模）在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据原计划的天数﹣实际的天数＝提前的天数可以列出相应的方程，本题得以解决．

【解答】解：由题意可得，

2，

故选：A．

2．（2021•张湾区模拟）某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】关键描述语：单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；可列等量关系为：所用B型包装箱的数量＝所用A型包装箱的数量﹣6，由此可得到所求的方程．

【解答】解：根据题意，得：．

故选：C．

3．（2020•海南）分式方程1的解是（　　）

A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝5 D．x＝2

【分析】根据解分式方程的步骤进行计算即可．

【解答】解：去分母，得

x﹣2＝3，

移项合并同类项，得

x＝5．

检验：把x＝5代入x﹣2≠0，

所以原分式方程的根为：x＝5．

故选：C．

4．（2020•黑龙江）若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（　　）

A．3 B．5 C．3或5 D．3或4

【分析】解分式方程，得x，因为分式方程有正整数解，进而可得整数m的值．

【解答】解：解分式方程，得x，

经检验，x是分式方程的解，

因为分式方程有正整数解，

则整数m的值是3或4．

故选：D．

5．（2021•柳南区校级模拟）清明节前，某班分成甲、乙两组去距离学校4km的烈士陵园扫墓．甲组步行，乙组骑自行车，他们同时从学校出发，结果乙组比甲组早20min到达目的地．已知骑自行车的速度是步行速度的2倍，设步行的速度为x km/h，则x满足的方程为（　　）

A．20 B．20 C． D．

【分析】首先表示出骑自行车速度为2xkm/h，再根据时间＝路程÷速度表示出去距离学校4km的烈士陵园扫墓步行所用的时间与骑自行车所用时间，根据时间相差20min可得方程．

【解答】解：20minh，

步行的速度为xkm/h，则骑自行车速度为2xkm/h，由题意得：

，

故选：C．

6．（2020•南通模拟）如方程1有增根，则a的值是（　　）

A．2 B．2或6 C．2或﹣6 D．6

【分析】由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程求出a的值即可；

【解答】解：分式方程去分母得：x﹣a＝﹣4，

由分式方程有增根，得到（x+2）（x﹣2）＝0，即x＝2或x＝﹣2，

把x＝2代入整式方程得：2﹣a＝﹣4，即a＝6；

把x＝﹣2代入整式方程得：﹣2﹣a＝﹣4，即a＝2，

综上，a的值为2或6；

故选：B．

7．（2020•梁溪区校级二模）“绿水青山就是金山银山”．为改造太湖水质，某工程队对2400平方公里的水域进行水质净化，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前了40天完成任务．设实际每天净化的水域面积为x平方公里，则下列方程中正确的是（　　）

A．40 

B．40 

C．40 

D．40

【分析】直接利用提高工作效率后，提前了40天完成任务得出等式求出答案．

【解答】解：设实际每天净化的水域面积为x平方公里，根据题意可得：

40．

故选：C．

8．（2020•南通模拟）方程1的解是（　　）

A．1 B．0 C．无解 D．2

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：去分母得：1＝1﹣x，

解得：x＝0，

经检验x＝0是分式方程的解．

故选：B．

9．（2020•淮阴区二模）某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】设原计划每天挖x米，则实际每天挖（x+20）米，由题意可得等量关系：原计划所用时间﹣实际所用时间＝4，根据等量关系列出方程即可．

【解答】解：设原计划每天挖x米，由题意得：

4，

故选：C．

10．（2019•荆州）已知关于x的分式方程2的解为正数，则k的取值范围为（　　）

A．﹣2＜k＜0 B．k＞﹣2且k≠﹣1 C．k＞﹣2 D．k＜2且k≠1

【分析】根据分式方程的解法即可求出答案．

【解答】解：∵2，

∴2，

∴x＝2+k，

∵该分式方程有解，

∴2+k≠1，

∴k≠﹣1，

∵x＞0，

∴2+k＞0，

∴k＞﹣2，

∴k＞﹣2且k≠﹣1，

故选：B．

二．填空题（共5小题）

11．（2021•宿迁）方程1的解是 　　．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：去分母得：2﹣x（x+2）＝x2﹣4，

去括号得：2﹣x2﹣2x＝x2﹣4，

移项合并同类项得：x2+x﹣3＝0，

解得：x，

经检验x是分式方程的解．

故答案为：．

12．（2021•淮安）方程1的解是 　x＝1　．

【分析】方程两边都乘以x+1得出2＝x+1，求出方程的解，再进检验即可．

【解答】解：1，

方程两边都乘以x+1，得2＝x+1，

解得：x＝1，

检验：当x＝1时，x+1≠0，所以x＝1是原方程的解，

即原方程的解是x＝1，

故答案为：x＝1．

13．（2021•滨海县一模）若分式的值等于1，则x＝　0　．

【分析】根据题意列出分式方程，求出分式方程的解即可得到x的值．

【解答】解：根据题意得：1，

去分母得：x+2＝2，

解得：x＝0，

检验：把x＝0代入得：x+2≠0，

∴分式方程的解为x＝0．

故答案为：0．

14．（2021•邳州市模拟）方程的解为　x＝8　．

【分析】方程两边都乘以（x+4）（x﹣2），将分式方程转化为整式方程，解整式方程，最后检验即可．

【解答】解：方程两边都乘以（x+4）（x﹣2）得：2（x﹣2）＝x+4，

解得：x＝8，

检验：当x＝8时，（x+4）（x﹣2）≠0，

∴x＝8是原方程的根．

故答案为：x＝8．

15．（2021•射阳县三模）目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗．对比手机数据发现：小琼步行13500步与小刚步行9000步消耗的能量相同．若每消耗1千卡能量小琼行走的步数比小刚多15步．设小刚每消耗1千卡能量需要行走x步，则根据题意可列方程为　　．

【分析】设小刚每消耗1千卡能量需要行走x步，则小琼每消耗1千卡能量需要行走（x+15）步，根据数量关系消耗能量千卡数＝行走步数÷每消耗1千卡能量需要行走步数结合小琼步行13500步与小刚步行9000步消耗的能量相同，即可得出关于x的分式方程．

【解答】解：设小刚每消耗1千卡能量需要行走x步．

根据题意，得．

故答案为：．

三．解答题（共3小题）

16．（2021•镇江）（1）解方程：0；

（2）解不等式组：．

【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；

（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集即可．

【解答】解：（1）去分母得：3（x﹣2）﹣2x＝0，

去括号得：3x﹣6﹣2x＝0，

解得：x＝6，

检验：把x＝6代入得：x（x﹣2）＝24≠0，

∴分式方程的解为x＝6；

（2），

由①得：x≥1，

由②得：x＞2，

则不等式组的解集为x＞2．

17．（2021•泰州）（1）分解因式：x3﹣9x；

（2）解方程：1．

【分析】（1）原式提取x，再利用平方差公式分解即可；

（2）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：（1）原式＝x（x2﹣9）

＝x（x+3）（x﹣3）；

（2）方程整理得：1，

去分母得：2x+x﹣2＝﹣5，

解得：x＝﹣1，

检验：当x＝﹣1时，x﹣2＝﹣3≠0，

∴分式方程的解为x＝﹣1．

18．（2021•徐州）某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？

【分析】设该商品打折前每件x元，则打折后每件0.8x元，400元该商品打折前可购件，打折后可购件，根据“用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件”列出方程，解方程求出x问题得解．

【解答】解：设该商品打折前每件x元，则打折后每件0.8x元，

根据题意得，2，

解得，x＝50，

检验：经检验，x＝50是原方程的解．

答：该商品打折前每件50元．