考点03整式及其运算（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北师大版）

考点03整式及其运算

【命题趋势】

整式及其运算也是一个必考内容出现，一直是中考的一个热点。主要考简单的选择题、填空题、简答题，此部分内容较为简单。选择题、填空题考查实幂的运算、乘法公式，而简答题主要考查整式的化简求值。通常考基础题。

【常考知识】

幂的运算性质、乘法公式。

【夺分技巧】

①幂的运算实质：幂的加减法实质是系数的加减；幂的乘法运算实质转化为指数加法运算；幂的乘方实质转化为指数的乘法运算；幂的除法运算实质转化为指数的减法运算。

②整式的运算先合并同类项，再代入计算，有事也要考虑整体代入，并注意乘法公式的灵活运用。

③规律探究题常见的类型有“数式规律型”、“图形规律型”、“与坐标系结合的图形变化规律型”

真题演练

一、单选题

1．（2021·云南昆明·一模）观察等式：1+2+22＝23﹣1；1+2+22+23＝24﹣1；1+2+22+23+24＝25﹣1；若1+2+22+…+29＝210﹣1＝a，则用含a的式子表示210+211+212+…+218+219的结果是（　　）

A．a20﹣1 B．a2+a C．a2+a+1 D．a2﹣a

【答案】B

【分析】

根据题意由已知规律可得：1+2+22+…+29+210+211+212+…+218+219＝220﹣1，再由已知1+2+22+…+29＝210﹣1＝a，进而分析求得.

【详解】

解：由已知可得1+2+22+…+29+210+211+212+…+218+219＝220﹣1，

∵1+2+22+…+29＝210﹣1＝a，

∴210+211+212+…+218+219＝220﹣1﹣210+1＝220﹣210，

∵210﹣1＝a，

∴220﹣210＝a（a+1），

故选：B．

2．（2021·云南·一模）观察“田”字中各数之间的关系：

则a+d﹣b﹣c的值为（　　）

A．52 B．﹣52 C．51 D．51

【答案】B

【分析】

根据题目中的图形，可以发小数字的变化规律，从而可以求得a、b、c、d的值，从而可以解答本题．

【详解】

解：由图可得，

左上角的数字分别为1，3，5，7，9，…，是一些连续的奇数，

左下角的数字依次是2，4，8，16，32，…，则可以用2n表示，

右下角的数字是左上角和左下角的数字之和，

右上角的数字比右下角的数字小1，

则a＝11，b＝26＝64，d＝11+64＝75，c＝75﹣1＝74，

∴a+d﹣b﹣c＝11+75﹣64﹣74＝﹣52，

故选B．

3．（2021·广东·广州市第十六中学二模）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）=3n+1；②当n为偶数时，F（n）=（其中k是使F（n）为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取n=24，则：

若n=13，则第2018次“F”运算的结果是（　　）

A．1 B．4 C．2018 D．42018

【答案】A

【分析】

计算出n=13时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律再进行解答即可．

【详解】

若n=13，

第1次结果为：3n+1=40，

第2次结果是：，

第3次结果为：3n+1=16，

第4次结果为：=1，

第5次结果为：4，

第6次结果为：1，

…

可以看出，从第四次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，

且当次数为偶数时，结果是1；次数是奇数时，结果是4，

而2018次是偶数，因此最后结果是1，

故选A．

4．（2021·山东东营·中考真题）下列运算结果正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方的运算法则、二次根式的运算法则依次计算各项后即可解答．

【详解】

选项A，和不是同类项，不能够合并，选项A错误；

选项B，根据完全平方公式可得，选项B正确；

选项C，根据积的乘方的运算法则可得，选项C错误；

选项D，与不能够合并，选项D错误．

故选B．

5．（2021·全国·七年级专题练习）小军到水果店买水果，他身上带的钱恰好可以购买15个苹果或21个橙子，若小军先买了9个苹果，则他身上剩下的钱最多可买橙子（    ）．

A．7个 B．8个 C．9个 D．10个

【答案】B

【分析】

先求出15和21的最小公倍数为105，然后设小军身上带的钱为105x，则苹果的单价为：7x，橙子的单价为5x，进而即可求解．

【详解】

解：∵15和21的最小公倍数为105，

∴设小军身上带的钱为105x，则苹果的单价为：7x，橙子的单价为5x，

∵先买了9个苹果，

∴剩余的钱为：105x-9×7x=42x，

∴最多可买8个橙子，

故选B．

6．（2021·广东金平·一模）下列计算正确的是（　　）

A．a+a＝a2 B．a3÷a＝a2 C．（2a2）3＝6a6 D．3a•a3＝4a4

【答案】B

【分析】

根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、积的乘方的运算法则、同底数幂的乘法的运算法则依次计算各项后即可解答．

【详解】

选项A、a+a＝2a，故本选项错误；

选项B、a3÷a＝a2，故本选项正确；

选项C、（2a2）3＝8a6，故本选项错误；

选项D、3a•a3＝3a4，故本选项错误．

故选B．

7．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）下列运算正确的是（    ）

A．2a＋3a＝5a2 B．6m2﹣5m2＝1 C．a6÷a3＝a2 D．（﹣a2）3＝﹣a6

【答案】D

【分析】

利用合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方逐项进行计算即可．

【详解】

2a＋3a＝5a，故选项A不符合题意；
6m2﹣5m2＝m2，故选项B不符合题意；
a6÷a3＝a3，故选项C不符合题意；
（﹣a2）3＝﹣a6，故选项D符合题意．

故选D．

8．（2021·浙江宁波·模拟预测）把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①），分两种不同形式不重叠的放在一个长方形盒子底部（如图②、图③），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，设图②是长方形盒子的周长为C1，阴影部分图形的周长为l1，图③中长方形盒子的周长为C2，阴影部分图形的周长为l2，若C1﹣C2＝2，则l1，l2满足（    ）

A．l1＝l2 B．l1﹣l2＝1 C．l1﹣l2＝2 D．l1﹣l2＝4

【答案】C

【分析】

观察图②可得阴影部分的周长与长方形的周长相等，可得l1＝C1，观察图③可得阴影部分的周长与长方形的周长相等，可得l2＝C2，若C1﹣C2＝2，即可求l1，l2满足的关系式．

【详解】

解：观察图②可得阴影部分的周长与长方形的周长相等，可得l1＝C1，

观察图③可得阴影部分的周长与长方形的周长相等，可得l2＝C2，

∵C1﹣C2＝2，

∴l1﹣l2＝2.

故选：C．

9．（2021·四川江油·七年级阶段练习）已知，则化简代数式的结果是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

由于﹣1≤x≤2，根据不等式性质可得：x﹣3＜0，x+1≥0，再依据绝对值性质化简即可．

【详解】

解：∵﹣1≤x≤2，

∴x﹣3＜0，x+1≥0，

∴=（3﹣x）﹣2（x+1）＝﹣3x+1；

故选：A．

10．（2021·浙江·翠苑中学二模）若，，则（    ）

A．1 B．-1 C．3 D．-3

【答案】D

【分析】

根据平方差公式解答即可．

【详解】

解：∵a+b=3，a-b=-1，

∴a2-b2=（a+b）（a-b）=3×(-1)=-3．

故选：D．

二、填空题

11．（2021·四川绵阳·中考真题）若，，则_____．

【答案】0

【分析】

先求出，再求的平方，然后再开方即可求出．

【详解】

解：，

，

，

∵，

，

，

，

，

故答案为：0．

12．（2021·上海嘉定·二模）计算：=__________．

【答案】

【详解】

解：．

故答案为：

13．（2021·安徽宣城·一模）已知为实数，若均为多项式的因式，则__________.

【答案】100

【分析】

根据三次项系数为1，可设另一个因式为，然后建立等式，分别用k表示m，n，p的值，再代入求解即可.

【详解】

均为多项式的因式，且三次项系数为1

设另一个因式为

则

整理得：

由此可得：

故答案为：100.

14．（2021·河北河北·模拟预测）若单项式与是同类项，则的值是_______________．

【答案】2

【分析】

先根据同类项的定义求出m与n的值，再代入计算算术平方根即可得．

【详解】

由同类项的定义得：

解得

则

故答案为：2．

15．（2021·广东·广州市番禺区市桥东风中学七年级期中）若2amb2m＋3n与a2n﹣3b8的差仍是一个单项式，则m＋n＝_____．

【答案】3

【分析】

由单项式和同类项的定义，先求出m、n的值，再求出答案即可．

【详解】

解：根据题意得：，

解得：，

∴m+n＝1+2＝3．

故答案为：3．

16．（2021·广西·台州市书生中学模拟预测）观察下面三行数：

，9，，81，，；①

0，12，，84，，；②

，3，，27，，；③

然后在每行中取第6个数，则这三个数的和为 __．

【答案】1704

【分析】

观察所给数字，找出每行数字的规律，求出每行数字的第6个数，求解即可．

【详解】

解：，9，，81，；

0，12，，84，；

，3，，27，；

第一行的第个数为，第二行的第个数为，第三行的第个数为，

当时，第一行的数为，第二行的数为，第三行的数为，

，

故答案为：1704．

17．（2021·山东临清·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4．点M1，N1，P1分别在AC，BC，AB上，且四边形M1CN1P1是正方形，点M2，N2，P2分别在P1N1，BN1，BP1上，且四边形M2N1N2P2是正方形，…，点Mn，Nn，Pn分别在Pn﹣1Nn﹣1，BNn﹣1，BPn﹣1上，且四边形MnNn﹣1NnPn是正方形，则线段MnPn的长度是_____．

【答案】

【分析】

根据相似三角形的性质求出M1P1，M2P2，M3P3的值，找出规律即可求出MnPn的长度．

【详解】

∵，

∴，

同理

∴，

设M1P1＝x，则，

解得：x＝，

∴BN1＝BC﹣x＝4﹣＝＝2M1P1，

∴

∵

∴

∴M2P2＝＝，

M3P3＝＝×2×＝×22×，

…，

∴MnPn的长度是＝．

故答案为：．

三、解答题

18．（2021·安徽·三模）观察下列不等式：

①；

②；

③；

④；…

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个不等式：                  ；

（2）写出你猜想的第n个不等式：            (用含n的等式表示) ；

（3）比较和的大小．

【答案】（1）；（2）；（3）

【分析】

（1）观察所给式子，列出第6个不等式；

（2）根据（1）中规律总结可得；

（3）根据所得不等式，得到，计算左边可得结果．

【详解】

解：（1）∵①；

②；

③；

④；

∴⑤，

⑥；

（2）第n个等式为；

（3）∵，

∴，

则，

则，

则．

19．（2021·湖南师大附中博才实验中学一模）先化简，再求值：，其中，．

【答案】，4

【分析】

先利用平方差公式和完全平方式去括号，然后合并同类项，最后代值计算即可．

【详解】

解：

，

当，时，原式．

20．（2021·北京师范大学三帆中学朝阳学校模拟预测）已知2a2+3a-6=0．求代数式3a（2a+1）-（2a+1）（2a-1）的值．

【答案】7

【分析】

先根据整式的乘法化简，然后再整体代入即可求解．

【详解】

解：

=

=

∵

∴

∴原式=7．

21．（2021·河北·邯郸市邯山区创A扬帆初中学校八年级期中）甲、乙两个长方形的边长如图所示（为正整数），其面积分别为，．

（1）用含的代数式表示出和；

（2）比较和的大小，________（用“＞”“＜”或“＝”进行连接）；

（3）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，求该正方形的面积（用含的代数式表示）．

【答案】（1），；（2）＜；（3）

【分析】

（1）根据长方形的面积等于长乘以宽，列出式子，根据多项式乘以多项式计算即可；

（2）用作差法比较大小；

（3）先求出甲，乙两个长方形的周长之和，再求出正方形的边长，最后算出正方形的面积即可．

【详解】

解：（1）S1=（m-5）（m-1）

=m2-m-5m+5

=m2-6m+5；

S2=（m-4）（m-2）

=m2-2m-4m+8

=m2-6m+8；

（2）∵S1-S2

=m2-6m+5-（m2-6m+8）

=m2-6m+5-m2+6m-8

=-3＜0，

∴S1＜S2，

故答案为：＜．

（3）甲、乙两个长方形的周长之和为：2（m-1+m-5）+2（m-4+m-2）=8m-24，

∴正方形的边长为：

（8m-24）÷4=2m-6．

该正方形的面积为：（2m-6）2=4m2-24m+36．

答：该正方形的面积为4m2-24m+36．