5.2 平行线及其判定 基础巩固训练 初中数学人教版七年级下册（2022年）

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5.2 平行线及其判定一、选择题．1．如图，点E在射线AB上，要AD∥BC，只需（　　）A．∠A＝∠CBE B．∠A＝∠C C．∠C＝∠CBE D．∠A+∠D＝180°【解答】解：要AD∥BC，只需∠A＝∠CBE，故选：A．2．如图，可以判定AD∥BC的条件是（　　）A．∠3＝∠4 B．∠B＝∠5 C．∠1＝∠2 D．∠B+∠BCD＝180°【解答】解：A、∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，本选项不符合题意；B、∵∠B＝∠5，∴AB∥CD，本选项不符合题意；C、∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，本选项符合题意；D、∵∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD，本选项不符合题意．故选：C．3．如图，下面哪个条件能判断DE∥BC的是（　　）A．∠1＝∠2 B．∠4＝∠C C．∠1+∠3＝180° D．∠3+∠C＝180°【解答】解：当∠1＝∠2时，EF∥AC；当∠4＝∠C时，EF∥AC；当∠1+∠3＝180°时，DE∥BC；当∠3+∠C＝180°时，EF∥AC；故选：C．4．如图，能判定AB∥EF的条件是（　　）A．∠ABD＝∠FEC B．∠ABC＝∠FEC C．∠DBC＝∠FEB D．∠DBC＝∠FEC【解答】解：A、当∠ABD＝∠FEC，无法判定AB∥EF，故选项错误；B、当∠ABC＝∠FEC时，AB∥EF，故选项正确；C、当∠DBC＝∠FEB时，无法判定AB∥EF，故选项错误；D、当∠DBC＝∠FEC时，BD∥EF，故选项错误．故选：B．5．如图，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠B＝∠DCE；④∠B+∠BAD＝180°，其中能推出AB∥DC的是（　　）A．①② B．①③ C．②③ D．②④【解答】解：①∵∠1＝∠2，∴AB∥DC，本选项符合题意；②∵∠3＝∠4，∴AD∥CB，本选项不符合题意；③∵∠B＝∠DCE，∴AB∥CD，本选项符合题意；④∵∠B+∠BAD＝180°，∴AD∥CB，本选项不符合题意．则符合题意的选项为①③．故选：B．6．如图，下列条件：①∠1＝∠5；②∠2＝∠6；⑧∠3＝∠7；④∠4＝∠8．其中能判定AB∥CD的是（　　）A．①② B．②③ C．①④ D．②④【解答】解：①∵∠1＝∠5，∴AB∥CD，能判定AB∥CD；②∵∠2＝∠6，∴AD∥BC，不能判定AB∥CD；③∵∠3＝∠7；∴AD∥BC，不能判定AB∥CD；④∵∠4＝∠8，∴AB∥CD，能判定AB∥CD．故选：C．7．如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（　　）A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A【解答】解：A、因为∠A＝∠3，所以AB∥DF（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．B、因为∠A+∠2＝180，所以AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意．C、因为∠1＝∠4，所以AB∥DF（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．D、因为∠1＝∠A，所以AC∥DE（同位角相等，两直线平行），不能证出AB∥DF，故本选项符合题意．故选：D．8．如图所示，下列判断错误的是（　　）A．若∠1＝∠3，AD∥BC，则BD是∠ABC的平分线 B．若AD∥BC，则∠1＝∠2＝∠3 C．若∠3+∠4+∠C＝180°，则AD∥BC D．若∠2＝∠3，则AD∥BC【解答】解：A、∵AD∥BC，∴∠2＝∠3，又∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，则BD是∠ABC的平分线；B、∠2，∠3是直线AD和直线BC被直线BD所截形成的内错角，若AD∥BC，则∠2＝∠3，∠1是直线AB和直线AD被直线BD所截形成的角，因此，若AD∥BC，不能证明∠1＝∠2＝∠3；C、∠3+∠4+∠C＝180°，即同旁内角∠ADC+∠C＝180°，则AD∥BC；D、内错角∠2＝∠3，则AD∥BC．故选：B．9．如图，下列条件能判断AD∥BC的是（　　）A．∠1＝∠4 B．∠1＝∠2 C．∠2＝∠3 D．∠3＝∠4【解答】解：A、∵∠1＝∠4，∴AD∥BC，符合题意；B、∵∠1＝∠2，不能判定AD∥BC，不符合题意；C、∵∠2＝∠3，∴AB∥DC，不符合题意；D、∵∠3＝∠4，不能判定AD∥BC，不符合题意；故选：A．二、填空题．10．如图，写出一个能判定AD∥BC的条件：　∠A＝∠CBE（答案不唯一）　．【解答】解：∠A＝∠CBE，∵∠A＝∠CBE，∴AD∥BC，故答案为：∠A＝∠CBE（答案不唯一）．11．如图，射线CA，直线BE交于点O，已知∠C＝65°，请你添加一个条件　∠AOE＝∠C（答案不唯一）　，使得BE∥CD．【解答】解：添加的条件是∠AOE＝∠C，∵∠AOE＝∠C，∴BE∥CD．故答案为：∠AOE＝∠C（答案不唯一）．12．如图，添加一个你认为合适的条件　∠ADF＝∠C或∠A＝∠ABE或∠A+∠ABC＝180°或∠C+∠ADC＝180°　，使AD∥BC．【解答】解：当∠ADF＝∠C时，AD∥BC；当∠A＝∠ABE时，AD∥BC；当∠A+∠ABC＝180°时，AD∥BC；当∠C+∠ADC＝180°时，AD∥BC．故答案为：∠ADF＝∠C或∠A＝∠ABE或∠A+∠ABC＝180°或∠C+∠ADC＝180°．13．如图，点C在射线BD上，请你添加一个条件　∠B＝∠ECD或∠B+∠BCE＝180°或∠A＝∠ACE　，使得AB∥CE．【解答】解：当∠B＝∠ECD时，AB∥CE；当∠B+∠BCE＝180°时，AB∥CE；当∠A＝∠ACE时，AB∥CE．故答案为∠B＝∠ECD或∠B+∠BCE＝180°或∠A＝∠ACE．14．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，∠1+∠2＝103°，则∠3﹣∠4的度数为　77°　．【解答】解：如图，∵AB∥CD，∴∠5＝180°﹣∠2，∵AC∥BD，∴∠3＝∠5，∵AE∥BF，∴∠1＝∠6，∵EF∥AB，∴∠4＝∠6，∴∠3﹣∠4＝180°﹣∠2﹣∠1＝180°﹣（∠1+∠2）＝77°．故答案为：77°．15．如图，下列条件中：①∠BAD+∠ABC＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠BAD＝∠BCD，能判定AD∥BC的是　①②③　．【解答】解：①由∠∠BAD+∠ABC＝180°，得到AD∥BC，本选项符合题意；②由∠1＝∠2，得到AD∥BC，本选项符合题意；③由∠3＝∠4，得到AD∥BC，本选项符合题意；④由∠BAD＝∠BCD，不能判定出平行，本选项不合题意．故答案为：①②③．16．如图，直线c与a，b相交，∠1＝40°，∠2＝70°，要使直线a与b平行，直线a顺时针旋转的度数至少是　30　°．【解答】解：如图．∵∠3＝∠2＝70°时，a∥b，∴要使直线a与b平行，直线a顺时针旋转的度数至少是70°﹣40°＝30°．故答案为：30．17．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝　30°或150°　时，CD∥AB．【解答】解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD＝∠D＝30°；如图所示，当AB∥CD时，∠C＝∠BAC＝60°，∴∠BAD＝60°+90°＝150°；故答案为：150°或30°．18．将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．对于给出的四个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30'；②∠2＝2∠1；③∠1+∠2＝90°；④∠ACB＝∠1+∠2；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判断直线m∥n的有　①⑤　．（填序号）【解答】解：①∵∠1＝25.5°+∠ABC＝55.5°＝∠2＝55°30'，所以，m∥n；②没有指明∠1的度数，当∠1≠30°，∠2≠∠1+30°，不能判断直线m∥n，故∠2＝2∠1，不能判断直线m∥n；③∠1+∠2＝90°，不能判断直线m∥n；④∠ACB＝∠1+∠2，不能判断直线m∥n；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1，判断直线m∥n；故答案为：①⑤19．如图，两块三角板形状、大小完全相同，边AB∥CD的依据是　内错角相等两直线平行　．【解答】解：由题意：∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD（内错角相等两直线平行）故答案为：内错角相等两直线平行．20．如图，点E是AD延长线上一点，∠B＝30°，∠C＝120°．如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为　∠1＝30°或∠2＝120°　．（只填一个即可）【解答】解：可以添加：∠1＝30°或∠C＝120°即可．理由：∵∠1＝30°，∠B＝30°，∴∠B＝∠1，∴BC∥AE．∵∠C＝∠2＝120°，∴BC∥AE．故答案为：∠1＝30°或∠2＝120°．三、解答题．21．如图，已知∠B＝30°，∠D＝20°，∠BCD＝50°，试说明AB∥DE．【解答】证明：如图，作CM∥AB，则∠B＝∠BCM，∵∠BCD＝50°，∠B＝30°，∴∠MCD＝50°﹣30°＝20°，∵∠D＝20°，∴∠D＝∠MCD，∴CM∥ED，∴AB∥DE．22．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2，试问DG与BA是否平行？说明你的理由．【解答】解：DG与BA平行，理由：∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴EF∥AD，∴∠1＝∠BAD，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠BAD，∴DG∥BA．23．已知：如图，∠1+∠2＝180°，求证：a∥b．【解答】证明方法一：∵∠1＝∠3（对顶角相等），∠1+∠2＝180°（已知），∴∠3+∠2＝180°（等量代换），∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）；证明方法二：∵∠1+∠2＝180°（已知），∠1+∠4＝180°（邻补角的定义），∴∠2＝∠4（同角的补角相等），∴a∥b（内错角相等，两直线平行）．24．如图，已知点E在BD上，AE⊥CE且EC平分∠DEF．（1）求证：EA平分∠BEF；（2）若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD．【解答】证明：（1）∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°，∴∠2+∠3＝90°且∠1+∠4＝90°，又∵EC平分∠DEF，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2，∴EA平分∠BEF；（2）∵∠1＝∠A，∠4＝∠C，∴∠1+∠A+∠4+∠C＝2（∠1+∠4）＝180°，∴∠B+∠D＝（180°﹣2∠1）+（180°﹣2∠4）＝360°﹣2（∠1+∠4）＝180°，∴AB∥CD．25．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，求证：CE∥BF．【解答】证明：∵∠3＝∠4，∴DF∥BC，∴∠5＝∠BAF，∵∠5＝∠6，∴∠6＝∠BAF，∴AB∥CD，∴∠2＝∠AGE，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠AGE，∴CE∥BF．26．如图，已知∠A＝∠EDF，∠C＝∠F．求证：BC∥EF．【解答】证明：∵∠A＝∠EDF（已知），∴AC∥DE（同位角相等，两直线平行），∴∠C＝∠CGF（两直线平行，内错角相等）．又∵∠C＝∠F（已知），∴∠CGF＝∠F（等量代换），∴BC∥EF（内错角相等，两直线平行）．27．将△ABC纸片沿DE折叠，其中∠B＝∠C．（1）如图1，点C落在BC边上的点F处，AB与DF是否平行？请说明理由；（2）如图2，点C落在四边形ABCD内部的点G处，探索∠B与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）AB与DF平行．理由如下：由翻折，得∠DFC＝∠C．又∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠DFC，∴AB∥DF．（2）连接GC，如图所示．由翻折，得∠DGE＝∠ACB．∵∠1＝∠DGC+∠DCG，∠2＝∠EGC+∠ECG，∴∠1+∠2＝∠DGC+∠DCG+∠EGC+∠ECG＝（∠DGC+∠EGC）+（∠DCG+∠ECG）＝∠DGE+∠DCE＝2∠ACB．∵∠B＝∠ACB，∴∠1+∠2＝2∠B．28．如图，在△ABC中，∠EGF+∠BEC＝180°，∠EDF＝∠C，试判断DE与BC的位置关系并说明理由．【解答】解：DE∥BC．理由如下：∵∠EGF+∠BEC＝180°，∴DF∥AC，∴∠BFD＝∠C，∵∠EDF＝∠C，∴∠EDF＝∠BFD，∴DE∥BC．