2022届新教材北师大版导数及其运用单元测试含答案3

2022届新教材北师大版  导数及 其运用   单元测试

一、选择题

1、
已知抛物线的焦点为是抛物线上异于坐标原点的任意一点，过点的直线交轴的正半轴于点，且同在一个以为圆心的圆上，另有直线，且与抛物线相切于点，则直线经过的定点的坐标是（   ）

A．     B．     C．     D．

2、设函数，则等于（   ）

A. -2    B. 0    C. 3    D. 2

3、函数f（x）=excosx的图像在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为（   ）

A．0     B．    C．1    D．

4、点是曲线上的任意一点，则点到直线的最小距离为（   ）

A.        B.        C.        D.

5、质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且v＝v(t)，则v′(1)表示(　　)

A． t＝1 s时的速度    B． t＝1 s时的加速度

C． t＝1 s时的位移    D． t＝1 s时的平均速度

6、在曲线上切线的倾斜角为的点是（    ）

A．（0,0）    B．（2,4）    C．    D．

7、已知直线与曲线相切，则的值为（    ）

A.     B.     C.     D.

8、已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为  （    ）

A．4 B．3  C．2 D．

9、设为实数，函数的导数为，且是偶数，则曲线：在点处的切线方程为（     ）

A.     B.     C.     D.

10、设为曲线上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为 ，则点横坐标的取值范围为（    ）

A．           B．     C．           D．

11、已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是（）

   A．[0,)       B．      C．       D．

12、一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（    ）

A．5米/秒           B．6米/秒           C．7米/秒            D．8米/秒

二、填空题

13、函数f（x）=lnx+x的图象在x=1处的切线方程为___．

14、曲线在点处的切线与直线垂直，则________.

15、函数的图象在点处的切线方程是，则__________．

16、函数的图象在点处的切线方程为__________．

三、解答题

17、（本小题满分10分）求曲线在点（1,1）处的切线方程.

18、（本小题满分12分）设P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．

19、（本小题满分12分）已知，求函数的图象在处的切线方程．

20、（本小题满分12分）设点是曲线上的任意一点,P点处切线倾斜角的取值范围

参考答案

1、答案A

利用导数的几何意义求得，利用两点式、化简可得直线的方程为，从而可得结果.

详解：，设，

都在以同一个以为圆心的圆上，

 ，

解得，

，得，

从而得，的方程为，

化为，过点，故答案为.

点睛：探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据 求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
 

2、答案D

解析，.故选D.

3、答案B

解析，．

由导数的几何意义可知在点处的切线的斜率，所以其倾斜角为．故B正确．

考点：导数的几何意义．

4、答案D

解析设，为其图像上任一点，则，令，可得，从而得，则点到直线的最小距离即为所求，并且最小距离为，故选D.

考点：1、导数的几何意义；2、点到直线的距离.

5、答案B

解析由导数的物理意义可知，导数即为瞬时变化率，从而对速度求导即为加速度.

详解

v(t)的导数v′(t)表示t时刻的加速度．

答案：B

点睛

本题主考查了导数的物理意义，属于基础题.

6、答案D

解析依题意，此时，故选.

7、答案A

解析 ,因为直线 与曲线 相切，所以切线斜率是 ，则 ，所以切点是 ，因为切点在切线上，所以 ，解得 ，故选A.

方法点睛本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点 (不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.

8、答案C

9、答案D

解析，因为为偶函数，故，所以且，因此且切线的斜率，故而切线方程为：，整理得.选D.

点睛：（1）一般地，对于多项式函数，如果为偶函数，那么；如果为奇函数，那么.

（2）曲线在某点处的切线的斜率，就是函数在该点横坐标处的导数，因此切点的横坐标是处理切线问题的核心.

10、答案A

解析曲线在点处切线斜率，不妨设，则，因此

考点：导数的几何意义；

11、答案D

解析本题考查了导数的几何意义，求导运算以及三角函数的知识。因为，即tan a≥-1,所以

12、答案C      

解析由题： ，求瞬时速度则： ， 即为秒末的瞬时速度。

考点：导数的实际意义.

13、答案2x﹣y﹣1=0

解析求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程.

详解

函数f（x）=lnx+x的导数为，

可得函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为k=2，

切点为（1，1），

可得切线的方程为y﹣1=2（x﹣1）；即2x﹣y﹣1=0.

故答案为：2x﹣y﹣1=0.

点睛

本题考查利用导数求切线的方程，是基本题．

14、答案．

解析先对函数求导，求出其在点处的切线斜率，进而可求出结果.

详解

因为，所以，

因此，曲线在点处的切线斜率为；

又该切线与直线垂直，所以.

故答案为

点睛

本题主要考查导数在某点处的切线斜率问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.

15、答案4

解析因为切线方程为 ，当 时， ，即 ，由导数的几何意义， ，所以 .

16、答案

解析求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，由点斜式方程写出切线方程。

详解

，，又

所以切线方程为，即。

点睛

本题主要考查函数图像在某点处的切线方程求法。

17、答案

解析由原函数求得其导函数，利用导数的几何意义可求得切线的斜率，进而由点斜式方程得到切线方程

试题解析：

曲线在点（1，1）处的切线的斜率

切线的方程为即.

考点：导数的几何意义及直线方程

18、答案

详解

y'=ex，令y'=ex=1，得x=0，故P（0，1）

点P到直线y=x的最小距离为=

点睛

本题考点是导数的几何意义，借且导数的几何意义把求曲线上点到直线距离的最小值问题转化为求导数，利用导数的几何意义建立关于切点的坐标的方程，求出切点的坐标，灵活转化是求解本题的关键．

解析

19、答案．

详解：解：∵，

∴，，

∴，

∴切线方程为，即．

点睛

本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．

解析

20、答案C

解析因，故切线斜率，切线倾斜角的取值范围是．

考点：导数的应用．