2022届新教材北师大版导数及其运用单元测试含答案6

2022届新教材北师大版  导数及其运用  单元测试

一、选择题

1、曲线在处的节线过点，则实数（ ）

A.     B.     C.     D.

2、已知物体的运动方程为s＝t2＋ (t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为(　　)

A．     B．     C．     D．

3、已知函数，曲线在点处的切线方程为，则（    ）

A． B． C．2 D．4

4、

函数y＝－在点x＝4处的导数是(　　)

A．    B．－

C．    D．－

5、f（x）=x3﹣x2+ax﹣1己知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为(     )

A．（3，+∞）        B．（3，）        C．（﹣∞，]        D．（0，3）

6、已知函数在上满足，曲线在点处的

切线为，点在上，且，则（   ）

A．      B．       C．      D．

7、若曲线y=x2+ax+b在点(0，b)处的切线方程是x-y+1=0，则　(　　)

A.a=1，b=1                  B.a=-1，b=1

C.a=1，b=-1                 D.a=-1，b=-1

8、设曲线在点（0，0）处的切线方程为，则a＝（    ）

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

9、已知函数，若函数在处的切线方程为，则的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

10、函数f(x)=lnx在点(1,f(1))处的切线方程为（   ）

A．    B．    C．    D．

11、若曲线的切线斜率都是正数,则实数的取值范围是

A.     B.     C.     D.

12、若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 （）

A．64            B．32               C．16            D．8

二、填空题

13、若函数，则曲线在点处的切线的斜率为____________。

14、已知为偶函数，当时， ，则曲线在处的切线方程是       ．

15、若函数的图象在点处的切线方程为，则的值为______．

16、设曲线 在点处的切线与直线平行，则实数______．

三、解答题

17、（本小题满分10分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1,1)，Q(2，－1)，且在点Q处与直线y＝x－3相切，求实数a、b、c的值．

18、（本小题满分12分）某河流在一段时间xmin内流过的水量为ym3，y是x的函数，y＝f(x)＝.

(1)当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？

(2)求f′(27)并解释它的实际意义．

19、（本小题满分12分）已知a>0,f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),l是曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线,求切线l的方程.

20、（本小题满分12分）求证：在双曲线xy＝a2(a≠0)上任何一点处的切线与坐标轴构成的三角形的面积为常数(如图)．

参考答案

1、答案C

解析因，故切线的斜率，又两点连线的斜率是，则，应选答案C。

2、答案D

解析根据位移的导数是速度，求出s的导函数即速度与时间的函数，将2代入求出物体在时刻t=2时的速度．

详解

物体的运动速度为v（t）=

所以物体在时刻t=2时的速度为v（2）=

故选：D．

点睛

本题考查导数在物理上的应用：对物体位移求导得到物体的瞬时速度．

3、答案B

解析根据已知求出和切点，将代入切线方程得，即得解.

详解：由题得，

所以，

所以，

所以，所以，

所以切点为，

将代入切线方程得，

∴．

故选：B.

点睛

本题主要考查导数的几何意义，考查导数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

4、答案C

解析

分析

欲求函数在处的导数,先求出的导函数,然后把代入即可求出所求.

详解

令f(x)＝－，则f′(4)＝＝

＝＝＝.

答案：C

点睛

本题考查了导数的定义与计算，要求熟练掌握求导法则，属于基础题.

5、答案B

试题解析：解：f（x）=x3﹣x2+ax﹣1的导数为f′（x）=2x2﹣2x+a，

由题意可得2x2﹣2x+a=3，即2x2﹣2x+a﹣3=0有两个不等的正根，

则△=4﹣8（a﹣3）＞0，x1+x2=1＞0，x1x2=（a﹣3）＞0，

解得3＜a＜．

故选B．

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．

6、答案D

解析

根据导数的几何意义可得，

曲线在点处的切线斜率过的切线方程为：

即所以满足，即是以为首项，公差的等差数列，==，故选D．

考点：1、利用导数求切线斜率；2、等差数列的通项．

方法点睛本题主要考查利用导数求切线方程及等差数列求通项，属于难题． 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：① 已知切点求斜率,即求该点处的导数；② 已知斜率求切点即解方程；③ 已知切线过某点（不是切点）求切点, 设出切点利用求解．本题是根据①求出切线方程后，再利用等差数列求通项的．

7、答案A

解析曲线y=x2+ax+b在点(0，b)处的导数为

=2x+a，

又f'(0)=a=1，0-b+1=0，

所以a=1，b=1，故选A.

8、答案D

解析由题意 由切线方程为可得解得

点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为： ．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．

9、答案B

解析对函数求导得，求得的值，再根据切点既在切线上又在曲线上，可求得的值，即可得答案.

详解

∵，

∴，解得，∴，

∴.

故选：B.

点睛

本题考查导数的几何意义，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意切点既在切线上又在曲线上的应用.

10、答案D

解析求出原函数的导函数，得到f′（1）的值，求出f（1）的值，然后直接由点斜式得切线方程．

详解

∵f（x）=lnx，

∴

∴f′（1）=1

f（1）=ln1=0，

∴点（1，f（1））即为（1，0）．

∴函数f（x）=lnx在点（1，f（1））处切线方程为y=x-1.

即x-y-1=0.

故选D．

点睛

本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的导数值，即为曲线在该点处的切线的斜率，是中档题．

11、答案D

解析满足题意时： 在定义域上恒成立，

即： 在定义域上恒成立，

二次函数，

由恒成立的条件可得实数的取值范围是 .

本题选择D选项.

12、答案A

解析本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力.，切线方程是，令，，令，，∴三角形的面积是，解得.故选A.

13、答案2+e

解析根据导数的几何意义求解即可得到结论．

详解

∵，

∴，

∴，

即曲线在点处的切线的斜率为．

故答案为．

点睛

本题考查导数的几何意义，求解的关键是正确得到导函数，进而得到导函数的函数值，属于简单题．

14、答案

解析由为偶函数当时， 切线方程是.

考点：1、函数的奇偶性；2、导数的几何意义；3、切线方程.

方法点晴本题考查导函数的奇偶性、导数的几何意义、切线方程，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先利用偶函数的性质可得:当时， 切线方程是.

15、答案

解析

16、答案

解析求导，求得,得到a的方程求解即可.

详解

切线与直线平行，斜率为，

又，

所以切线斜率，所以的斜率为，

即，解得．

故答案为：．

点睛

本题考查切线的斜率，熟记基本初等函数的求导公式，准确计算是关键，是基础题.

17、答案∵曲线y＝ax2＋bx＋c过P(1,1)点，∴a＋b＋c＝1. ①

∵y′＝2ax＋b，∴y′|x＝2＝4a＋b，∴4a＋b＝1.          ②

又曲线过Q(2，－1)点，∴4a＋2b＋c＝－1，              ③

联立①②③解得a＝3，b＝－11，c＝9.

解析

18、答案（1）见解析；（2）见解析.

（2）由导数的意义为瞬时变化率可知代表的是第27min时，每分钟水流量增加量.

详解

(1)当x从1变到8时，y关于x的平均变化率为＝＝(m3/min)，

它表示时间从1min增加到8min的过程中，每增加1min，水流量平均增加m3.

(2)f′(x)＝()′＝，f′(27)＝＝.

其实际意义是第27min时，每分钟水流量增加m3.

点睛

本题主要考查了平均变化率和瞬时变化率的运算，属于基础题.

解析

19、答案

详解

∵f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),

∴，

∴，

又f(0)=1,

∴曲线y=f(x)在点P(0,1)处的切线方程为，

即x+y-1=0.

点睛

本题考查用导数的几何意义求切线方程，解题的关键是求出切线的斜率和确定切点的坐标，属于基础题．

解析

20、答案

详解

证明：因为，所以，所以.

函数在图像上的任一点处的切线斜率，，

所以切线方程是，即．

令，得；令，得.

所以，为常数．

即在双曲线上任何一点处的切线与坐标轴构成的三角形的面积为常数.

点睛

本题考查关于导数的应用的证明，解题关键在掌握导数的几何意义.

解析